Biot sayısı

Yatay ekseninde Bi bulunan bir sıcaklık dağılım grafiği

Biot sayısı (Bi), adını 18. yüzyıl Fransız fizikçisi Jean-Baptiste Biot'dan (1774–1862) alan ve ısı transferi hesaplamalarında kullanılan boyutsuz bir niceliktir. Biot sayısı, bir cismin içindeki iletim (kondüksiyon) için olan ısıl direncin, cismin yüzeyindeki taşınım (konveksiyon) direncine oranıdır.

Bu oran, cisim yüzeyindeki bir ısı akısı tarafından zamanla ısıtıldığında veya soğutulduğunda cisim içindeki sıcaklığın önemli ölçüde değişip değişmediğini gösterir.

Genel olarak, küçük Biot sayılarını (1'den çok daha küçük) içeren problemler, cismin içindeki neredeyse tekdüze sıcaklık alanlarının bir sonucu olarak analitik açıdan basittir. Bir veya daha büyük mertebeden Biot sayıları, cismin içinde tekdüze olmayan sıcaklık alanlarına sahip daha zor problemleri gösterir.

Biot sayısı, transient ısı iletimi ve kanatçık (fin) ısı transferi hesaplamaları dahil olmak üzere çeşitli ısı transferi problemlerinde ortaya çıkar.

Tanım

Biot sayısı şu şekilde tanımlanır:

$\mathrm {Bi} ={\frac {h}{k}}L$

burada:

• ${k}$ cismin ısıl iletkenliğidir [W/(m·K)]
• ${h}$ taşınımsal ısı transfer katsayısıdır [W/(m²·K)]
• ${L}$ ilgili geometrinin karakteristik uzunluğudur [m].

(Biot sayısı, cismin yerine akışkanın ısıl iletkenliğini kullanan Nusselt sayısı ile karıştırılmamalıdır.)

İlgili problemlerin çoğunda karakteristik uzunluk, ısıl karakteristik uzunluk haline gelir; yani cismin hacmi ile cismin ısıtılan (veya soğutulan) yüzeyi arasındaki oran: $$L={\frac {V}{A_{\mathrm {Q} }}}$$ Burada, ısı (İngilizce heat kelimesinin karşılığı olan Q harfi) için kullanılan Q alt indisi, ilgili yüzeyin yalnızca toplam yüzeyin ısının geçtiği kısmı olduğunu belirtmek için kullanılır.

Biot sayısının fiziksel önemi, bir havuza aniden daldırılan küçük sıcak bir metal küreden çevredeki akışkana doğru olan ısı akışı hayal edilerek anlaşılabilir. Isı akışı iki dirençle karşılaşır: ilki katı metal içindeki iletim içindir (kürenin hem boyutu hem de bileşiminden etkilenir) ve ikincisi kürenin yüzeyindeki taşınım içindir. Eğer akışkan/küre arayüzünün ısıl direnci, metal kürenin içinin sunduğu ısıl direnci aşarsa, Biot sayısı birden küçük olacaktır. Biot sayısının birden çok daha küçük olduğu sistemlerde, ısı yüzeyden kürenin içine geçerken bu sıcaklık zamanla değişebilse de, kürenin içinin tekdüze bir sıcaklıkta olduğu varsayılabilir. Nesnenin içindeki bu (nispeten tekdüze) sıcaklık değişimini tanımlayan denklem, Newton soğuma yasası tarafından tanımlanan basit bir üstel denklemdir.

Buna karşılık, metal küre büyük olabilir, böylece karakteristik uzunluk büyük olur ve Biot sayısı birden büyük hale gelir. Bu durumda, küre malzemesi iyi bir iletken olsa bile küre içindeki ısıl gradyanlar önemli hale gelir. Benzer şekilde, eğer küre ahşap veya strafor gibi ısıl yalıtkan bir malzemeden yapılmışsa, çok daha küçük bir küre için bile ısı akışına karşı iç direnç, akışkan/küre sınırındaki taşınım direncini aşacaktır. Bu durumda da Biot sayısı yine birden büyük olacaktır.

Uygulamalar

Biot sayısının değeri, transient ısı transferi problemlerini çözmede belirli yöntemlerin uygulanabilirliğini (veya uygulanamazlığını) gösterebilir. Örneğin, yaklaşık 0.1'den küçük bir Biot sayısı, cisim içindeki ısı iletiminin yüzeydeki ısı taşınımından çok daha düşük ısıl direnç sunduğunu, böylece cismin içindeki sıcaklık gradyanlarının ihmal edilebilir olduğunu ifade eder (bu tür cisimler bazen "ısıl olarak ince" olarak adlandırılır). Bu durumda, bir cismin transient sıcaklık değişimini değerlendirmek için basit yığın-kapasite modeli (İng. lumped-capacitance model) kullanılabilir.

Bunun tersi de geçerlidir: yaklaşık 0.1'den büyük bir Biot sayısı, cisim içindeki ısıl direncin ihmal edilemez olduğunu ve cisme veya cisimden olan ısı transferini analiz etmede daha karmaşık yöntemlere ihtiyaç duyulduğunu gösterir (bu tür cisimler bazen "ısıl kalın" olarak adlandırılır).

Sonlu Biot sayısı için ısı iletimi

Biot sayısı 0.1 veya daha büyük olduğunda, cisim içindeki zamanla değişen ve uzamsal olarak tekdüze olmayan sıcaklık alanını belirlemek için ısı denkleminin çözülmesi gerekir.

Doğrulanmış analitik çözümlerin örnekleri ve kesin sayısal değerler mevcuttur. Genellikle bu tür problemler, bir bilgisayar ısı transferi modeli kullanılarak sayısal olarak çözülmek dışında yapılamayacak kadar zordur.

Bi ≪ 1 için ısı iletimi

Belirtildiği gibi, yaklaşık 0.1'den küçük bir Biot sayısı, bir cismin içindeki iletim direncinin yüzeydeki ısı taşınımından çok daha küçük olduğunu, böylece cismin içindeki sıcaklık gradyanlarının ihmal edilebilir olduğunu gösterir. Bu durumda, transient ısı transferinin yığın-kapasite modeli kullanılabilir. (0.1'den küçük bir Biot sayısı genel olarak yığın-kapasite modeli kullanıldığında %3'ten daha az hata olacağını gösterir.)

Akışkan sıcaklığındaki bir adım değişimi için en basit yığın kapasite çözümü türü, cismin sıcaklığının zamanla üstel olarak azaldığını ("Newtonsal" soğuma veya ısınma) gösterir; çünkü cismin iç enerjisi cismin sıcaklığı ile doğru orantılıdır ve cismin sıcaklığı ile akışkan sıcaklığı arasındaki fark, cisme giren veya cisimden çıkan ısı transfer hızı ile doğrusal olarak orantılıdır. Bu ilişkilerin termodinamiğin birinci yasası ile birleştirilmesi, basit bir birinci dereceden doğrusal diferansiyel denkleme yol açar. Buna karşılık gelen yığın kapasite çözümü şu şekilde yazılabilir:

${\frac {T-T_{\infty }}{T_{0}-T_{\infty }}}=e^{-t/\tau }$

burada $\tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{Q}}}$ cismin ısıl zaman sabitidir , $\rho$ kütle yoğunluğu (kg/m³) ve $c_{p}$ özgül ısı kapasitesidir (J/kg·K).

Mikro-kapsüllenmiş faz değiştiren bulamaçlarda ısı transferinin incelenmesi, Biot sayısının faydalı olduğu bir uygulamadır. Mikro-kapsüllenmiş faz değiştiren bulamacın dağılmış fazı için (mikro-kapsüllenmiş faz değiştiren malzemenin kendisi), Biot sayısının 0.1'in altında olduğu hesaplanır ve bu nedenle dağılmış faz içindeki ısıl gradyanların ihmal edilebilir olduğu varsayılabilir.

Kütle transferi analoğu

Biot sayısının kıyaslanabilir bir versiyonu (genellikle "kütle transferi Biot sayısı" veya $\mathrm {Bi} _{m}$ olarak adlandırılır) kütle difüzyonu süreçlerinde de kullanılır:

$\mathrm {Bi} _{m}={\frac {k_{c}}{D}}L$

burada:

• ${k_{c}}$ : taşınımsal kütle aktarım katsayısı (ısı transfer problemindeki hye analog olarak)
• $D$ : kütle difüzivitesi (ısı transfer problemindeki kye analog olarak)
• ${L}$ : karakteristik uzunluk

Ayrıca bakınız

• Taşınım
• Fourier sayısı
• Isı iletimi