Türbülanslı Prandtl sayısı

Türbülanslı Prandtl sayısı (Pr_t), momentum girdap difüzyonu ile ısı transferi girdap difüzyonu arasındaki oran olarak tanımlanan bir boyutsuz terimdir. Bu sayı, türbülanslı sınır tabaka akışlarındaki ısı transferi problemlerinin çözümünde oldukça önemlidir. Pr_t için en basit model Reynolds benzeşimi (İng. Reynolds analogy) olup, türbülanslı Prandtl sayısını 1 olarak belirler. Deneysel verilere dayanarak, Pr_t'nin ortalama değeri 0,85 olup, sıvının Prandtl sayısı'na bağlı olarak 0,7 ile 0,9 arasında değişmektedir.

Tanım

Girdap difüzyonunun ve dolayısıyla türbülanslı Prandtl sayısının tanıtımı, türbülanslı akışta mevcut olan ekstra kayma gerilmesi ve ısı akısı arasında basit bir ilişki kurmak amacıyla yapılır. Eğer momentum ve termal girdap difüzyonu sıfır ise (belirgin türbülanslı kayma gerilmesi ve ısı akısı yoksa), türbülanslı akış denklemleri laminar akış denklemlerine indirgenir. Momentum transferi için girdap difüzyonu $\varepsilon _{M}$ ve ısı transferi için $\varepsilon _{H}$ olarak tanımlayabiliriz.
$-{\overline {u'v'}}=\varepsilon _{M}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}$ ve $-{\overline {v'T'}}=\varepsilon _{H}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}$
burada $-{\overline {u'v'}}$ belirgin türbülanslı kayma gerilmesi ve $-{\overline {v'T'}}$ belirgin türbülanslı ısı akısıdır.
Türbülanslı Prandtl sayısı şu şekilde tanımlanır:
$\mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }={\frac {\varepsilon _{M}}{\varepsilon _{H}}}.$

Türbülanslı Prandtl sayısının genellikle bire eşit olmadığı çeşitli çalışmalarla gösterilmiştir (örneğin, Malhotra ve Kang, 1984; Kays, 1994; McEligot ve Taylor, 1996; ve Churchill, 2002). Bu sayı, moleküler Prandtl sayısının ve diğer parametrelerin güçlü bir fonksiyonudur ve Reynolds benzeşimi, Malhotra ve Kang tarafından belirlendiği üzere, moleküler Prandtl sayısının birden önemli ölçüde farklı olduğu durumlarda uygulanabilir değildir; ve McEligot ve Taylor ile Churchill tarafından ayrıntılı olarak açıklanmıştır.

Uygulama

Türbülanslı momentum sınır tabakası denklemi:
${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu {\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}-{\overline {u'v'}})\right].$
Türbülanslı termal sınır tabakası denklemi ise,
${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}-{\overline {v'T'}}\right).$ Girdap difüzyonu momentum ve termal denklemlere dahil etmek şu denklemleri verir:
${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu +\varepsilon _{M}){\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}\right]$
ve
${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +\varepsilon _{H}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].$
Türbülanslı Prandtl sayısının tanımını kullanarak termal denkleme yerine koymak,
${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +{\frac {\varepsilon _{M}}{\mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }}}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].$ sonucunu verir.

Sonuç

Prandtl sayısı ve türbülanslı Prandtl sayısının her ikisinin de bire eşit olduğu özel durumda (örneğin, Reynolds benzeşiminde), hız profili ve sıcaklık profilleri birbirine eşittir. Bu durum, ısı transferi probleminin çözümünü oldukça basitleştirir. Eğer Prandtl sayısı ve türbülanslı Prandtl sayısı birden farklıysa, türbülanslı Prandtl sayısını bilmek suretiyle momentum ve termal denklemler yine de çözülebilir.

Üç boyutlu türbülansın genel durumunda, girdap viskozitesi ve girdap yayılım katsayısı kavramları geçerliliğini yitirir. Bu nedenle, türbülanslı Prandtl sayısının bir anlamı kalmaz.

Kitaplar

• Kays, William; Crawford, M.; Weigand, B. (2005). Convective Heat and Mass Transfer, Fourth Edition. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-246876-2.