Womersley sayısı

Womersley sayısı ($\alpha$ veya ${\text{Wo}}$), biyoakışkan mekaniği ve biyoakışkan dinamiği alanlarında kullanılan bir boyutsuz sayıdır. Bu sayı, pulsatil akış frekansının viskoz etkilerle olan ilişkisini boyutsuz bir biçimde ifade eder. John R. Womersley (1907–1958)'in arterlerdeki kan akışı üzerine yaptığı çalışmalar nedeniyle bu adla anılmaktadır. Womersley sayısı, bir deneyin ölçeklendirilmesinde dinamik benzerlik sağlamak açısından önem taşır. Örneğin, deneysel çalışmalarda damar sisteminin ölçeklendirilmesi bu duruma örnek teşkil eder. Ayrıca, Womersley sayısı, giriş etkilerinin ihmal edilip edilemeyeceğini belirlemek için sınır tabakası kalınlığının tespitinde de önemlidir.

Bu sayının karekökü, Sir George Stokes'un Stokes'un ikinci problemi üzerine yaptığı öncü çalışmalar nedeniyle Stokes sayısı ${\text{Stk}}={\sqrt {\text{Wo}}}$ olarak da bilinir.

Türetim

Genellikle $\alpha$ olarak gösterilen Womersley sayısı, şu ilişkiyle tanımlanır: $$\alpha ^{2}={\frac {\text{süreksiz eylemsizlik kuvveti}}{\text{viskoz kuvvet}}}={\frac {\rho \omega U}{\mu UL^{-2}}}={\frac {\omega L^{2}}{\mu \rho ^{-1}}}={\frac {\omega L^{2}}{\nu }}\,,$$ burada $L$, uygun bir uzunluk ölçeğidir (örneğin bir borunun yarıçapı), $\omega$, salınımların açısal frekansıdır ve $\nu$, $\rho$, $\mu$ sırasıyla akışkanın kinematik viskozitesi, yoğunluğu ve dinamik viskozitesidir. Womersley sayısı genellikle şu şekilde ifade edilir: $$\alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.$$

Kardiyovasküler sistemde, nabız frekansı, yoğunluk ve dinamik viskozite sabit kalırken, kan akışı durumunda karakteristik uzunluk, yani damar çapı, aort ile ince kılcal damarlar arasında üç büyüklük mertebesi (OoM) kadar değişir. Bu değişiklikler nedeniyle, Womersley sayısı damar sistemindeki farklı damar boyutlarına göre değişir. İnsan kan akışının Womersley sayısı şu şekilde hesaplanabilir: $\alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.$

Aşağıda, farklı insan kan damarlarındaki tahmini Womersley sayıları verilmiştir:

Damar	Çap (m)	$\alpha$
Aort	0.025	13.83
Arter	0.004	2.21
Arteriyol	3×10-5	0.0166
Kılcal damar	8×10-6	4,43×10-3
Venül	2×10-5	0.011
Toplardamar	0.005	2.77
Vena cava	0.03	16.6

Ayrıca, boyutsuz Reynolds sayısı (Re) ve Strouhal sayısı (St) cinsinden de şu şekilde ifade edilebilir: $$\alpha =\left(2\pi \,\mathrm {Re} \,\mathrm {St} \right)^{1/2}\,.$$

Womersley sayısı, bir tüpte salınımlı akış (laminar ve sıkıştırılamaz olduğu varsayılan) için lineerleştirilmiş Navier–Stokes denklemleri çözümünde ortaya çıkar. Bu sayı, geçici veya salınımlı eylemsizlik kuvvetinin kayma kuvvetine oranını ifade eder. $\alpha$ küçük olduğunda (1 veya daha az), bu, nabız frekansının yeterince düşük olduğu, her döngü sırasında parabolik bir hız profilinin gelişmesi için zaman olduğu anlamına gelir ve akış basınç gradyanı ile neredeyse aynı fazda olur ve anlık basınç gradyanı kullanılarak Poiseuille yasası ile iyi bir şekilde açıklanabilir. $\alpha$ büyük olduğunda (10 veya daha fazla), bu, nabız frekansının yeterince yüksek olduğu, hız profilinin nispeten düz veya tıkaç benzeri olduğu ve ortalama akışın basınç gradyanı tarafından yaklaşık 90 derece geciktirildiği anlamına gelir. Reynolds sayısı ile birlikte, Womersley sayısı dinamik benzerliği belirler.

Sınır tabakası kalınlığı $\delta$, geçici ivme ile ilişkili olup, Womersley sayısı ile ters orantılıdır. Bu ilişki, Stokes sayısının Womersley sayısının karekökü olarak tanınmasıyla anlaşılabilir. $$\delta =\left(L/\alpha \right)=\left({\frac {L}{\sqrt {\mathrm {Wo} }}}\right),$$ burada $L$ karakteristik bir uzunluktur.

Biyoakışkan mekaniği

Büyük bir tüpten birçok küçük tüpe ilerleyen bir akış dağıtım ağında (örneğin, kan damarı ağı), frekans, yoğunluk ve dinamik viskozite genellikle ağ boyunca aynı kalır, ancak tüp yarıçapları değişir. Bu nedenle, Womersley sayısı büyük damarlarda yüksek, küçük damarlarda ise düşüktür. Damar çapı her bir bölünmede azaldıkça, Womersley sayısı hızla küçülür. Womersley sayıları terminal arterler seviyesinde 1'e yaklaşır. Arteriyoller, kılcal damarlar ve venüllerde Womersley sayıları birin altındadır. Bu bölgelerde eylemsizlik kuvveti önemsiz hale gelir ve akış, viskoz gerilmeler ile basınç gradyanı arasındaki denge ile belirlenir. Bu duruma mikrosirkülasyon denir.

Bir köpekte 2 Hz kalp atış hızında kardiyovasküler sistemdeki bazı tipik Womersley sayıları şu şekildedir:

• Yükselen aort – 13.2
• İnen aort – 11.5
• Abdominal aort – 8
• Femoral arter – 3.5
• Karotis arter – 4.4
• Arteriyoller – 0.04
• Kılcal damarlar – 0.005
• Venüller – 0.035
• Alt vena kava – 8.8
• Ana pulmoner arter – 15

Evrensel biyolojik ölçekleme yasalarının (metabolik hız, yaşam süresi, uzunluk vb. gibi miktarların vücut kütlesi ile değişimini tanımlayan güç-yasası ilişkileri), enerji minimizasyonu ihtiyacı, damar ağlarının fraktal doğası ve büyük damarlardan küçük damarlara geçtikçe yüksek Womersley sayısından düşük Womersley sayısına geçişin bir sonucu olduğu ileri sürülmüştür.