Aristarkus eşitsizliği

Aristarchus eşitsizliği (Yunan gökbilimci ve matematikçi Sisamlı Aristarkus'tan sonra; MÖ 310 - MÖ 230), eğer $\alpha$ ile $\beta$ dar açılar (0 ile dik açı arasında) ve $\alpha <\beta$ ise,

${\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}$.

olduğunu belirten bir trigonometri yasasıdır. Batlamyus, kiriş tablosunu oluştururken bu eşitsizliklerden ilkini kullandı.

İspat

Kanıt, daha bilinen eşitsizliklerin bir sonucudur: $0<\sin(\alpha )<\alpha <\tan(\alpha )$, $0<\sin(\beta )<\sin(\alpha )<1$ ve $1>\cos(\beta )>\cos(\alpha )>0$.

İlk eşitsizliğin kanıtı

Yukarıda belirtilen temel eşitsizlikleri kullanarak önce bunu kanıtlayabiliriz

${\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\beta )}}<{\frac {\alpha }{\beta }}$.

İlk önce eşitsizliğin ${\frac {\sin(\alpha )}{\alpha }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}$'a eşdeğer olduğunu not ediyoruz, bu eşitsizlik; ${\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}$ olarak yeniden yazılabilir.

Şimdi bunu göstermek istiyoruz

${\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<\cos(\beta )<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}$.

İkinci eşitsizlik basitçe $\beta <\tan \beta$'dir. İlki doğrudur çünkü:

${\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}={\frac {2\cdot \sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{\alpha -\beta }}<{\frac {2\cdot \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cdot \cos(\beta )}{\alpha -\beta }}=\cos(\beta )$.

İkinci eşitsizliğin kanıtı

Şimdi ikinci eşitsizliği göstermek istiyoruz, yani:

${\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}$.

İlk olarak, temel eşitsizlikler nedeniyle şunlara sahip olduğumuzu not ediyoruz:

$\beta <\tan(\beta )={\frac {\sin(\beta )}{\cos(\beta )}}<{\frac {\sin(\beta )}{\cos(\alpha )}}$

Sonuç olarak, önceki denklemde $0<\alpha -\beta <\alpha$ eşitsizliğini kullanarak ($\beta$ ile $\alpha -\beta <\alpha$ ile değiştirerek) aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

${\alpha -\beta }<{\frac {\sin(\alpha -\beta )}{\cos(\alpha )}}=\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )$.

Nihayetinde aşağıdaki sonuca varıyoruz:

${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\alpha -\beta }{\beta }}+1<{\frac {\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )}{\sin(\beta )}}+1={\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.$

Ayrıca bakınız

• Samoslu Aristarkus
• Eratosthenes
• Posidonius
• Trigonometri tarihi

Konuyla ilgili yayınlar

• Neugebauer, O. “Archimedes and Aristarchus.” Isis, vol. 34, no. 1, 1942, ss. 4–6. JSTOR, www.jstor.org/stable/225990.
• Howard L. Resnikoff, Raymond O. Wells, Jr., (2015), Mathematics in Civilization, 3rd Edition, s. 103, Dover Publications, 978-0486789224
• Alexander Toller, Freya Edholm, Dennis Chen, (2019), Proofs in Competition Math: Volume 1, s. 268, 978-1798611203

Dış bağlantılar

• Leibowitz, Gerald M. "Hellenistic Astronomers and the Origins of Trigonometry" (PDF). 27 Eylül 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). 
• "İlk Eşitsizliğin Kanıtı". 24 Haziran 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Şubat 2021. 
• "İkinci Eşitsizliğin Kanıtı". 24 Haziran 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Şubat 2021. 
• "The Almagest – Book I: Aristarchus' Inequality and the chords of 1º & 1/2º". 20 Mart 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Şubat 2021.