Açıortay teoremi - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Teorem
  • 2 İspatlar
    • 2.1 İspat 1
    • 2.2 İspat 2
    • 2.3 İspat 3
  • 3 Dış açıortaylar
  • 4 Tarihçe
  • 5 Notlar
  • 6 Konuyla ilgili yayınlar
  • 7 Dış bağlantılar

Açıortay teoremi

  • العربية
  • Deutsch
  • Ελληνικά
  • English
  • Español
  • فارسی
  • עברית
  • हिन्दी
  • Magyar
  • Bahasa Indonesia
  • İtaliano
  • 日本語
  • ភាសាខ្មែរ
  • Македонски
  • Nederlands
  • Norsk bokmål
  • Polski
  • Română
  • Русский
  • Slovenščina
  • தமிழ்
  • Українська
  • 中文
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Wikimedia Commons
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şekilde B D D C = A B A C {\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}} {\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}}'dir.

Geometride açıortay teoremi, bir üçgenin kenarının karşı açıyı ikiye bölen bir çizgiyle bölündüğü iki parçanın göreli uzunluklarıyla ilgilidir. Göreli uzunluklarını, üçgenin diğer iki kenarının göreli uzunluklarına eşitler.

Teorem

[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} {\displaystyle \triangle ABC} üçgeni düşünün. ∠ A {\displaystyle \angle A} {\displaystyle \angle A} açısının açıortayının B {\displaystyle B} {\displaystyle B} ile C {\displaystyle C} {\displaystyle C} arasındaki D {\displaystyle D} {\displaystyle D} noktasında B C {\displaystyle BC} {\displaystyle BC} kenarını kesmesine izin verin. Açıortay teoremi, B D {\displaystyle BD} {\displaystyle BD} doğru parçasının uzunluğunun D C {\displaystyle DC} {\displaystyle DC} parçasının uzunluğuna oranının A B {\displaystyle AB} {\displaystyle AB} kenarının uzunluğunun A C {\displaystyle AC} {\displaystyle AC} kenarının uzunluğuna oranına eşit olduğunu belirtir:

| B D | | D C | = | A B | | A C | , {\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},} {\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},}

ve tersine, △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninin B C {\displaystyle BC} {\displaystyle BC} kenarındaki D {\displaystyle D} {\displaystyle D} noktası B C {\displaystyle BC} {\displaystyle BC}'yi A B {\displaystyle AB} {\displaystyle AB} ve A C {\displaystyle AC} {\displaystyle AC} kenarları ile aynı oranda bölerse, daha sonra A D {\displaystyle AD} {\displaystyle AD}, ∠ A {\displaystyle \angle A} {\displaystyle \angle A} açısının açıortayıdır.

Genelleştirilmiş açıortay teoremi, eğer D {\displaystyle D} {\displaystyle D}, B C {\displaystyle BC} {\displaystyle BC} doğrusu üzerinde yer alıyorsa, o zaman

| B D | | D C | = | A B | sin ⁡ ∠ D A B | A C | sin ⁡ ∠ D A C . {\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.} {\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.}

A D {\displaystyle AD} {\displaystyle AD}, ∠ B A C {\displaystyle \angle BAC} {\displaystyle \angle BAC}'nin açıortayıysa bu ifade, önceki sürüme indirgenir. D {\displaystyle D} {\displaystyle D}, B C {\displaystyle BC} {\displaystyle BC} bölümünün dışında olduğunda, hesaplamada yönlendirilmiş çizgi bölümleri ve yönlendirilmiş açılar kullanılmalıdır.

Açıortay teoremi, açıortayları ve yan uzunlukları bilindiğinde yaygın olarak kullanılır. Bir hesaplamada veya bir ispatta kullanılabilir.

Teoremin doğrudan bir sonucu, bir ikizkenar üçgenin tepe açısının açıortayının aynı zamanda karşı kenarı ikiye böldüğüdür.

İspatlar

[değiştir | kaynağı değiştir]

İspat 1

[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıdaki diyagramda, △ A B D {\displaystyle \triangle ABD} {\displaystyle \triangle ABD} ve △ A C D {\displaystyle \triangle ACD} {\displaystyle \triangle ACD} üçgenlerinde sinüs teoremi kullanıldığında:

   

| A B | | B D | = sin ⁡ ∠ B D A sin ⁡ ∠ B A D {\displaystyle {\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {\sin \angle BDA}{\sin \angle BAD}}} {\displaystyle {\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {\sin \angle BDA}{\sin \angle BAD}}}

 

 

 

 

(1)

   

   

| A C | | D C | = sin ⁡ ∠ A D C sin ⁡ ∠ D A C {\displaystyle {\frac {|AC|}{|DC|}}={\frac {\sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}}} {\displaystyle {\frac {|AC|}{|DC|}}={\frac {\sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}}}

 

 

 

 

(2)

   

∠ B D A {\displaystyle \angle BDA} {\displaystyle \angle BDA} ve ∠ A D C {\displaystyle \angle ADC} {\displaystyle \angle ADC} açıları doğrusal bir çift oluşturur, yani bitişik bütünler açılar'dır. Bütünler açılar eşit sinüslere sahip olduğundan,

sin ⁡ ∠ B D A = sin ⁡ ∠ A D C . {\displaystyle {\sin \angle BDA}={\sin \angle ADC}.} {\displaystyle {\sin \angle BDA}={\sin \angle ADC}.}

∠ B A D {\displaystyle \angle BAD} {\displaystyle \angle BAD} ve ∠ D A C {\displaystyle \angle DAC} {\displaystyle \angle DAC} açıları eşittir. Bu nedenle, denklemlerin sağ tarafları (1) ve (2) eşittir, bu nedenle sol tarafları da eşit olmalıdır.

| B D | | D C | = | A B | | A C | , {\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},} {\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},}

bu da açıortay teoremi'dir.

∠ B A D {\displaystyle \angle BAD} {\displaystyle \angle BAD} ve D A C {\displaystyle DAC} {\displaystyle DAC} açıları eşit değilse, denklemler (1) ve (2) şu şekilde yeniden yazılabilir:

| A B | | B D | sin ⁡ ∠   B A D = sin ⁡ ∠ B D A , {\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD=\sin \angle BDA},} {\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD=\sin \angle BDA},}
| A C | | D C | sin ⁡ ∠   D A C = sin ⁡ ∠ A D C . {\displaystyle {{\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC=\sin \angle ADC}.} {\displaystyle {{\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC=\sin \angle ADC}.}

∠ B D A {\displaystyle \angle BDA} {\displaystyle \angle BDA} ve ∠ A D C {\displaystyle \angle ADC} {\displaystyle \angle ADC} açıları hala bütünlerdir, bu nedenle bu denklemlerin sağ tarafları hala eşittir, dolayısıyla şunu elde ederiz:

| A B | | B D | sin ⁡ ∠   B A D = | A C | | D C | sin ⁡ ∠   D A C , {\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD={\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC},} {\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD={\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC},}

bu ifade, teoremi "genelleştirilmiş" versiyona göre yeniden düzenler.

İspat 2

[değiştir | kaynağı değiştir]

D {\displaystyle D} {\displaystyle D}, B C {\displaystyle BC} {\displaystyle BC} doğrusu üzerinde bir nokta olsun, B {\displaystyle B} {\displaystyle B} veya C {\displaystyle C} {\displaystyle C}'ye eşit olmasın ve A D {\displaystyle AD} {\displaystyle AD}, △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninin bir yüksekliği olmasın (yani B D {\displaystyle BD} {\displaystyle BD} doğrusuna dik olmasın).

B 1 {\displaystyle B_{1}} {\displaystyle B_{1}}, △ A B D {\displaystyle \triangle ABD} {\displaystyle \triangle ABD} üçgeninin B {\displaystyle B} {\displaystyle B} noktasından çizilen yüksekliğinin tabanı olsun ve C 1 {\displaystyle C_{1}} {\displaystyle C_{1}}, △ A C D {\displaystyle \triangle ACD} {\displaystyle \triangle ACD} üçgeninin C {\displaystyle C} {\displaystyle C} noktasından çizilen yüksekliğinin tabanı olsun. Daha sonra, D {\displaystyle D} {\displaystyle D} kesinlikle B {\displaystyle B} {\displaystyle B} ile C {\displaystyle C} {\displaystyle C} arasındaysa, B 1 {\displaystyle B_{1}} {\displaystyle B_{1}} veya C 1 {\displaystyle C_{1}} {\displaystyle C_{1}}'den biri ve yalnızca biri, △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninin içinde yer alır ve B 1 {\displaystyle B_{1}} {\displaystyle B_{1}}'in genelliği kaybetmeden yaptığı varsayılabilir. Bu durum yandaki şekilde tasvir edilmiştir. D {\displaystyle D} {\displaystyle D}, B C {\displaystyle BC} {\displaystyle BC} segmentinin dışında yer alıyorsa, o zaman ne B 1 {\displaystyle B_{1}} {\displaystyle B_{1}} ne de C 1 {\displaystyle C_{1}} {\displaystyle C_{1}} üçgenin içinde yer alır.

∠ D B 1 B {\displaystyle \angle DB_{1}B} {\displaystyle \angle DB_{1}B} ve ∠ D C 1 C {\displaystyle \angle DC_{1}C} {\displaystyle \angle DC_{1}C} dik açılar iken, D {\displaystyle D} {\displaystyle D}, B C {\displaystyle BC} {\displaystyle BC} segmentinde yer alıyorsa (yani, B {\displaystyle B} {\displaystyle B} ve C {\displaystyle C} {\displaystyle C} arasında) ∠ B 1 D B {\displaystyle \angle B_{1}DB} {\displaystyle \angle B_{1}DB} ve ∠ C 1 D C {\displaystyle \angle C_{1}DC} {\displaystyle \angle C_{1}DC} açıları eş açılardır ve dikkate alınan diğer durumlarda aynıdır, bu nedenle üçgenler △ D B 1 B {\displaystyle \triangle DB_{1}B} {\displaystyle \triangle DB_{1}B} ve △ D C 1 C {\displaystyle \triangle DC_{1}C} {\displaystyle \triangle DC_{1}C} benzerdir (AAA), yani

| B D | | C D | = | B B 1 | | C C 1 | = | A B | sin ⁡ ∠ B A D | A C | sin ⁡ ∠ C A D . {\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}}.} {\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}}.}

D {\displaystyle D} {\displaystyle D} bir yüksekliğin tabanıysa, o zaman,

| B D | | A B | = sin ⁡ ∠   B A D  ve  | C D | | A C | = sin ⁡ ∠   D A C , {\displaystyle {\frac {|BD|}{|AB|}}=\sin \angle \ BAD{\text{ ve }}{\frac {|CD|}{|AC|}}=\sin \angle \ DAC,} {\displaystyle {\frac {|BD|}{|AB|}}=\sin \angle \ BAD{\text{ ve }}{\frac {|CD|}{|AC|}}=\sin \angle \ DAC,}

ve genelleştirilmiş biçime ulaşılır.

İspat 3

[değiştir | kaynağı değiştir]
α = ∠ B A C 2 = ∠ B A D = ∠ C A D {\displaystyle \alpha ={\tfrac {\angle BAC}{2}}=\angle BAD=\angle CAD} {\displaystyle \alpha ={\tfrac {\angle BAC}{2}}=\angle BAD=\angle CAD}

Hızlı bir kanıt, A {\displaystyle A} {\displaystyle A}'daki açıortay ile oluşturulan △ B A D {\displaystyle \triangle BAD} {\displaystyle \triangle BAD} ve △ C A D {\displaystyle \triangle CAD} {\displaystyle \triangle CAD} üçgenlerinin alanlarının oranlarına bakılarak elde edilebilir. Bu alanları farklı formüller kullanarak iki kez hesaplamak, yani g {\displaystyle g} {\displaystyle g} taban ve h {\displaystyle h} {\displaystyle h} yükseklik olmak üzere 1 2 g h {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}gh} {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}gh} şeklinde ve a {\displaystyle a} {\displaystyle a}, b {\displaystyle b} {\displaystyle b} kenarlar ve bu kenarlar arasındaki açı γ {\displaystyle \gamma } {\displaystyle \gamma } olmak üzere 1 2 a b sin ⁡ ( γ ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(\gamma )} {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(\gamma )} şeklinde hesaplamak mümkün olup istenen sonucu verecektir.

h {\displaystyle h} {\displaystyle h}, tabanı B C {\displaystyle BC} {\displaystyle BC} olan üçgenlerin yüksekliği ve α {\displaystyle \alpha } {\displaystyle \alpha } A {\displaystyle A} {\displaystyle A}'daki açının yarısı olsun. Sonra,

| △ A B D | | △ A C D | = 1 2 | B D | h 1 2 | C D | h = | B D | | C D | {\displaystyle {\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|BD|h}{{\frac {1}{2}}|CD|h}}={\frac {|BD|}{|CD|}}} {\displaystyle {\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|BD|h}{{\frac {1}{2}}|CD|h}}={\frac {|BD|}{|CD|}}}

ve

| △ A B D | | △ A C D | = 1 2 | A B | | A D | sin ⁡ ( α ) 1 2 | A C | | A D | sin ⁡ ( α ) = | A B | | A C | {\displaystyle {\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|AB||AD|\sin(\alpha )}{{\frac {1}{2}}|AC||AD|\sin(\alpha )}}={\frac {|AB|}{|AC|}}} {\displaystyle {\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|AB||AD|\sin(\alpha )}{{\frac {1}{2}}|AC||AD|\sin(\alpha )}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}

buradan da

| B D | | C D | = | A B | | A C | {\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}} {\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}

bulunur.

Dış açıortaylar

[değiştir | kaynağı değiştir]
Dış açı ortaylar (kırmızı nokta ile gösterilen):
D {\displaystyle D} {\displaystyle D}, E {\displaystyle E} {\displaystyle E}, F {\displaystyle F} {\displaystyle F} noktaları eşdoğrusaldır ve oranlar için aşağıdaki denklemler geçerlidir:
| E B | | E C | = | A B | | A C | {\displaystyle {\tfrac {|EB|}{|EC|}}={\tfrac {|AB|}{|AC|}}} {\displaystyle {\tfrac {|EB|}{|EC|}}={\tfrac {|AB|}{|AC|}}}, | F B | | F A | = | C B | | C A | {\displaystyle {\tfrac {|FB|}{|FA|}}={\tfrac {|CB|}{|CA|}}} {\displaystyle {\tfrac {|FB|}{|FA|}}={\tfrac {|CB|}{|CA|}}}, | D A | | D C | = | B A | | B C | {\displaystyle {\tfrac {|DA|}{|DC|}}={\tfrac {|BA|}{|BC|}}} {\displaystyle {\tfrac {|DA|}{|DC|}}={\tfrac {|BA|}{|BC|}}}

Eşkenar olmayan bir üçgendeki dış açıortaylar için, üçgen kenarlarının uzunluklarının oranları arasında benzer denklemler vardır. Daha doğrusu, A {\displaystyle A} {\displaystyle A}'daki dış açıortay E {\displaystyle E} {\displaystyle E}'de uzatılmış kenar B C {\displaystyle BC} {\displaystyle BC} ile kesişiyorsa, B {\displaystyle B} {\displaystyle B}'deki dış açıortay D {\displaystyle D} {\displaystyle D}'de uzatılmış kenar A C {\displaystyle AC} {\displaystyle AC} ile kesişir ve C {\displaystyle C} {\displaystyle C}'deki dış açı açıortay A B {\displaystyle AB} {\displaystyle AB} uzatılmış kenar ile F {\displaystyle F} {\displaystyle F}'de kesişir, ardından aşağıdaki denklemler geçerli olur:[1] | E B | | E C | = | A B | | A C | {\displaystyle {\frac {|EB|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}} {\displaystyle {\frac {|EB|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}, | F B | | F A | = | C B | | C A | {\displaystyle {\frac {|FB|}{|FA|}}={\frac {|CB|}{|CA|}}} {\displaystyle {\frac {|FB|}{|FA|}}={\frac {|CB|}{|CA|}}}, | D A | | D C | = | B A | | B C | {\displaystyle {\frac {|DA|}{|DC|}}={\frac {|BA|}{|BC|}}} {\displaystyle {\frac {|DA|}{|DC|}}={\frac {|BA|}{|BC|}}}

Dış açıortayları ile uzatılmış üçgen kenarları D {\displaystyle D} {\displaystyle D}, E {\displaystyle E} {\displaystyle E} ve F {\displaystyle F} {\displaystyle F} arasındaki üç kesişme noktası eşdoğrusaldır, yani bir ortak çizgi üzerindedir.[2]

Tarihçe

[değiştir | kaynağı değiştir]

Açıortay teoremi, Öklid'in Elemanları Kitap VI'nın Önerme 3'ü olarak görünür. Heath (1956, s. 197 (cilt 2))'e göre, dış açıortay için karşılık gelen ifade Robert Simson tarafından verildi ve Pappus bu sonucu kanıt olmadan doğru varsaydı. Heath, Augustus De Morgan'ın iki ifadenin aşağıdaki gibi birleştirilmesini önerdiğini söyler:[3]

“ Bir üçgenin bir açısı, karşı kenarı veya zıt kenarı kesen düz bir çizgi ile içten veya dıştan ikiye bölünürse, o tarafın dilimleri üçgenin diğer kenarları ile aynı orana sahip olacaktır ve eğer bir üçgenin bir kenarı, parçalarının üçgenin diğer kenarlarıyla aynı orana sahip olması için içten veya dıştan bölünüyorsa, kesit noktasından ilk bahsedilen kenarın karşısındaki açısal noktaya çizilen düz çizgi bu açısal noktada iç veya dış açıyı ikiye böler. „

Notlar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  1. ^ Alfred S. Posamentier: Advanced Euclidian Geometry: Excursions for Students and Teachers. Springer, 2002, 9781930190856, pp. 3-4
  2. ^ Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, 978-0-486-46237-0, p. 149 (original publication 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).
  3. ^ Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2. ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] bas.). New York: Dover Publications. 
    (3 cilt): 0-486-60088-2 (cilt 1), 0-486-60089-0 (cilt 2), 0-486-60090-4 (cilt 3). Heath'in yetkili çevirisi ile birlikte kapsamlı tarihsel araştırma ve metin boyunca ayrıntılı yorumlar içerir.

Konuyla ilgili yayınlar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • G.W.I.S Amarasinghe (2012), "On the Standard Lengths of Angle Bisectors and the Angle Bisector Theorem", Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, 1 (1), ss. 15-27, 13 Ocak 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi 

Dış bağlantılar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • "A Property of Angle Bisectors". Cut-the-Knot. 24 Kasım 2005 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
  • "Intro to angle bisector theorem". Khan Academy. 14 Kasım 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
  • g
  • t
  • d
Antik Yunan matematiği
Matematikçiler
(Zaman Çizelgesi)
  • Anaksagoras
  • Antemios
  • Apollonios
  • Arkhytas
  • Aristaios
  • Aristarkos
  • Arşimet
  • Autolykos
  • Bion
  • Boethius
  • Brison
  • Kallippos
  • Karpos
  • Kleomedes
  • Konon
  • Ktesibios
  • Demokritos
  • Dikaiarkhos
  • Diokles
  • Diophantos
  • Dinostratus
  • Dionisodoros
  • Domninus
  • Elealı Zenon
  • Eratosthenes
  • Eudemos
  • Eudoksos
  • Eutokios
  • Geminus
  • Heliodoros
  • İskenderiyeli Heron
  • Khrysippos
  • Hipparkhos
  • Hippasos
  • Hippias
  • Hipokrat
  • Hipatia
  • Hipsikles
  • İsidoros
  • Matematikçi Leo
  • Leon
  • Marinos
  • Melissa
  • Menaikhmos
  • Menelaos
  • Metrodoros
  • Nikomakhos
  • Nikomedes
  • Nikoteles
  • Oenopides
  • Euklides
  • Pappos
  • Perseus
  • Philolaos
  • Philon
  • Laodikyalı Philonides
  • Porphyrios
  • Poseidonios
  • Proklos
  • Batlamyus
  • Pisagor
  • Serenus
  • Simplikios
  • Sosigenes
  • Sporus
  • Thales
  • Theaitetos
  • Theano
  • Teodoros
  • Theodosios
  • İskenderiyeli Theon
  • Smirnalı Theon
  • Timaridas
  • Ksenokrates
  • Sidonlu Zenon
  • Zenodoros
Yapıtlar
  • Almagest
  • Arşimet Parşömeni
  • Arithmetika
  • Konikler (Apollonius)
  • Katoptrik (Yansımalar)
  • Data (Öklid)
  • Elemanlar (Öklid)
  • Bir Çemberin Ölçümü
  • Konikler ve Sferoidler Üzerine
  • Büyüklükler ve Uzaklıklar Üzerine (Aristarkhos)
  • Büyüklükler ve Uzaklıklar Üzerine (Hipparkhos)
  • Hareketli Küre Üzerine (Autolykos)
  • Öklid'in Optiği
  • Sarmallar Üzerine
  • Küre ve Silindir Üzerine
  • Ostomachion (Syntomachion)
  • Planisphaerium
  • Sphaerics
  • Parabolün Dörtgenleştirilmesi
  • Kum Sayacı
  • Sonsuz Küçükler Hesabı
Merkezler
Platon Akademisi · Kirene · İskenderiye Kütüphanesi
Etkilendikleri
Babil matematiği · Eski Mısır matematiği
Etkiledikleri
Avrupa matematiği · Hint matematiği · Orta Çağ İslam matematiği
Problemler
Apollonios problemi · Daireyi kareleştirme · Küpü iki katına çıkarma · Açıyı üçe bölme
Kavramlar/Tanımlar
  • Apollonius çemberi
  • Diyofantus denklemi
  • Çevrel çember
  • Eşölçülebilirlik
  • Orantılılık ilkesi
  • Altın oran
  • Yunan rakamları
  • Bir üçgenin iç ve dış çemberleri
  • Tükenme yöntemi
  • Paralellik postülatı
  • Platonik katılar
  • Hipokrat ayı
  • Hippias kuadratiksi
  • Düzgün çokgen
  • Cetvel ve pergelle yapılan çizimler
  • Üçgen merkezi
Bulgular
  • Açıortay teoremi
  • Dış açı teoremi
  • Öklid algoritması
  • Öklid teoremi
  • Geometrik ortalama teoremi
  • Yunan geometrik cebiri
  • Menteşe teoremi
  • Çevre açı teoremi
  • Kesişme teoremi
  • Pons asinorum
  • Pisagor teoremi
  • Thales teoremi
  • Gnomon teoremi
  • Apollonius teoremi
  • Aristarkus eşitsizliği
  • Crossbar (Pasch) teoremi
  • Heron formülü
  • İrrasyonel sayılar
  • Menelaus teoremi
  • Pappus'un alan teoremi
  • Batlamyus eşitsizliği
  • Batlamyus kirişler tablosu
  • Batlamyus teoremi
  • Theodorus sarmalı
Antik Yunan matematikçilerinin zaman çizelgesi
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Açıortay_teoremi&oldid=35097602" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Öklid geometrisi
  • Üçgen geometrisi
  • Öklid geometrisi teoremleri
Gizli kategori:
  • Kanıt içeren maddeler
  • Sayfa en son 16.59, 10 Mart 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Açıortay teoremi
Konu ekle