Ölçü (matematik)

Eşcebir kavramı için eşcebir ölçümü sayfasına bakınız.

Metrik (matematik) ile karıştırılmamalıdır.

Gayri resmi olarak, bir ölçü tekdüze olma özelliğine sahiptir, yani A, B’nin bir alt kümesi ise, A’nın ölçüsü B’nin ölçüsünden küçük veya ona eşittir. Ayrıca, boş kümenin ölçüsünün 0 olması gerekir.

Matematiğin bir alt dalı olana analizde ölçü bir kümeye ve bu kümenin uygun altkümelerine negatif olmayan bir genişletilmiş sayı atayan bir fonksiyondur. Ölçü kavramı, uzunluk, alan ve hacim kavramlarının sistemli bir genellemesidir. Önemli ölçü örneklerinden birisi n-boyutlu Öklid uzayı Rⁿ'nin uygun alt kümelerine Öklid geometrisindeki geleneksel uzunluk, alan ve hacim gibi kavramlarına karşılık gelen sayıları atayan Lebesgue ölçüsüdür. Örneğin, gerçek sayılardaki [0, 1] aralığının Lebesgue ölçüsü, kelimenin günlük anlamındaki uzunluğudur; diğer deyişle, [0, 1] aralığının ölçüsü 1'dir.

Ölçülerin fonksiyonların integrallerinin alınması ile yakından ilgisi vardır ve Lebesgue integrali gibi modern integral kavramlarının temelini oluştururlar. Ölçülerin oluşturulması, özellikleri ve ölçülere göre integral almayı konu edinen matematik kuramına ölçü kuramı veya ölçü teorisi denir.

Teknik olarak, ölçü, bir X kümesinin (belirli) alt kümelerine negatif olmayan bir gerçel sayı veya +∞ atayan bir fonksiyondur (aşağıdaki Tanıma bakınız). Ayrıca sayılabilir şekilde toplanır olmalıdır: Sonlu (veya sayılabilir olarak sonsuz) sayıda "daha küçük" ayrık alt kümelere ayrıştırılabilen "büyük" bir alt kümenin ölçüsü, bu "daha küçük" alt kümelerin ölçülerinin toplamına eşittir. Genel olarak, bir ölçünün diğer aksiyomlarını yerine getirirken belirli bir kümenin her bir alt kümesiyle tutarlı bir boyutu ilişkilendirilmek istenirse, yalnızca sayma ölçüsü gibi önemsiz örnekler bulunur. Bu problem, ölçüsü bir σ-cebir oluşturmak için gerekli olan ölçülebilir alt kümeler olarak adlandırılan, yalnızca tüm alt kümelerin bir alt koleksiyonu üzerinde tanımlayarak çözüldü. Bu, sayılabilir birliklerin, sayılabilir kesişimlerin ve ölçülebilir alt kümelerin tamamlayıcılarının ölçülebilir olduğu anlamına gelir. Üzerinde Lebesgue ölçüsünün tutarlı bir şekilde tanımlanamadığı bir Öklid uzayındaki ölçülemeyen kümeler, tamamlayıcıları ile kötü bir şekilde karıştırılma anlamında zorunlu olarak karmaşıktır. Aslında onların varlığı, seçim aksiyomunun en az bir değişkeni sıfırdan farklı olan (non-trivial) bir sonucudur.

Ölçüm teorisi, 19. yüzyılın sonları ve 20. yüzyılın başlarında diğerlerinin yanı sıra Émile Borel, Henri Lebesgue, Johann Radon ve Maurice Fréchet tarafından birbirini takip eden aşamalarda geliştirildi. Ölçülerin ana uygulamaları, Lebesgue integralinin temelleri içinde, Andrey Kolmogorov'un belitleştirilmesine ait olasılık teorisinde ve ergodik teoride yer almaktadır. Entegrasyon teorisinde, bir ölçü belirtmek, Öklid uzayının alt kümelerinden daha genel uzaylar üzerindeki integrallerin tanımlamasına izin verir; dahası, Öklid uzayları üzerine Lebesgue ölçümü ile ilgili integral daha geneldir ve selefi Riemann integralinden daha zengin bir teoriye sahiptir. Olasılık teorisi, tüm kümeye 1 büyüklüğünü atayan ölçüleri dikkate alır ve ölçülebilir alt kümeleri olasılıkları ölçü tarafından verilen olaylar olarak kabul eder. Ergodik teori, bir dinamik sistem altında değişmeyen veya doğal olarak ortaya çıkan ölçüleri dikkate alır.

Tanım

Bir μ ölçüsü için sayılabilir toplanırlık: Sayılabilir ayrık birleşimin ölçüsü, her bir alt kümenin tüm ölçülerinin toplamı ile aynıdır.

X bir küme ve Σ, X üzerinde bir σ-cebir olsun. Σ'dan genişletilmiş gerçek sayı doğrusuna bir μ fonksiyonuna, aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa ölçü denir:

• Negatif olmama: Σ'daki tüm E'ler için, μ(E) ≥ 0'dir.
• Sıfır boş küme: $\mu (\varnothing )=0$.
• Sayılabilir toplanırlık (veya σ-toplanırlık): Σ'de tüm sayılabilir koleksiyonlar $\{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ için ikili ayrık kümeler,

$\mu \left(\bigsqcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}).$

En az bir küme $E$ sonlu bir ölçüye sahipse, $\mu (\varnothing )=0$ otomatik olarak karşılanır. Nitekim sayılabilir toplanırlık vasıtasıyla,

$\mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),$

ve bu nedenle $\mu (\varnothing )=0.$

Yukarıdaki ölçü tanımının yalnızca ikinci ve üçüncü koşulları karşılanırsa ve μ, ±∞ değerlerinden en fazla birini alırsa, μ işaretli ölçü olarak adlandırılır.

(X, Σ) çifti, bir ölçülebilir uzay olarak adlandırılır, Σ'nın üyelerine ölçülebilir kümeler denir. Eğer $\left(X,\Sigma _{X}\right)$ ve $\left(Y,\Sigma _{Y}\right)$ iki ölçülebilir uzay ise, eğer her Y-ölçülebilir küme $B\in \Sigma _{Y}$ için, ters görüntü X ölçülebilir -yani: $f^{(-1)}(B)\in \Sigma _{X}$ ise, ardından bir fonksiyon $f:X\to Y$ ölçülebilir olarak adlandırılır. Bu kurulumda, ölçülebilir fonksiyonların bileşimi ölçülebilirdir ve ölçülebilir uzaylar ile ölçülebilir fonksiyonlar, nesneler olarak ölçülebilir uzaylar ve oklar gibi ölçülebilir fonksiyonlar kümesini bir kategori haline getirir. Ayrıca başka bir kurulumla ilgili bkz. Ölçülebilir fonksiyon#Terim kullanım varyasyonları.

Bir (X, Σ, μ) üçlüsü ölçü uzayı olarak adlandırılır. Bir olasılık ölçüsü, toplam ölçüsü bir olan bir ölçüdür - yani μ(X) = 1 . Olasılık uzayı, olasılık ölçüsüne sahip bir ölçü uzayıdır.

Aynı zamanda topolojik uzay olan ölçü uzayları için, ölçü ve topoloji için çeşitli uyumluluk koşulları yerleştirilebilir. Pratikte analizde (ve çoğu durumda olasılık teorisinde de) karşılaşılan ölçülerin çoğu Radon ölçüleridir. Radon ölçüleri, kompakt destekli sürekli fonksiyonların yerel dışbükey uzayında doğrusal fonksiyonlar açısından alternatif bir tanıma sahiptir. Bu yaklaşım Bourbaki (2004) ve bir dizi başka kaynak tarafından alınmıştır. Daha fazla ayrıntı için Radon ölçüleri hakkındaki makaleye bakın.

Örnekler

Bazı önemli ölçüler burada listelenmiştir.

• Sayma ölçüsü μ(S) = S öğelerin sayısı ile tanımlanır.
• R üzerindeki Lebesgue ölçüsü, μ([0, 1]) = 1 R aralıkları içeren bir σ-cebirinde bir tam öteleme-değişmez ölçüdür; ve bu özelliklere sahip diğer her ölçü Lebesgue ölçüsünü genişletir.
• Dairesel açı ölçüsü, döndürme altında değişmez ve hiperbolik açı ölçüsü, sıkıştırma dönüşümü altında değişmez.
• Bir yerel tıkız topolojik grup için Haar ölçüsü, Lebesgue ölçüsünün (ve ayrıca sayma ölçüsü ve dairesel açı ölçüsünün) bir genellemesidir ve benzer benzersizlik özelliklerine sahiptir.
• Hausdorff ölçüsü, Lebesgue ölçüsünün tam sayı olmayan boyutlu kümelere, özellikle fraktal kümelere bir genellemesidir.
• Her olasılık uzayı, tüm uzayda 1 değerini alan (ve dolayısıyla tüm değerlerini [0, 1] birim aralığında alan) bir ölçüye yol açar. Böyle bir ölçüme olasılık ölçüsü denir. Olasılık aksiyomlarına bakın.
• Dirac ölçüsü δ_a (cf. Dirac delta fonksiyonu), χ_S S'nin gösterge fonksiyonu olmak üzere δ_a(S) = χ_S(a) ile verilir. Bir kümenin ölçüsü, eğer a noktasını içeriyorsa 1, aksi takdirde 0'dır.

Çeşitli teorilerde kullanılan diğer 'adlandırılmış' ölçüler şunları içerir: Borel ölçüsü, Jordan ölçüsü, ergodik ölçü, Euler ölçüsü, Gauss ölçüsü, Baire ölçüsü, Radon ölçüsü, Young ölçüsü ve Loeb ölçüsü.

Fizikte bir ölçüye örnek olarak kütlenin uzamsal dağılımı (örneğin, yerçekimi potansiyeline bakınız) veya korunan başka bir negatif olmayan kapsamlı özellik gösterilebilir (bunların bir listesi için korunum yasasına bakınız). Negatif değerler, işaretli ölçümlere yol açar, aşağıdaki "genellemeler" bölümüne bakın.

• Semplektik bir manifolddaki doğal hacim formu olarak da bilinen Liouville ölçüsü, klasik istatistiksel ve Hamilton mekaniğinde faydalıdır.
• Gibbs ölçüsü, istatistiksel mekanikte, genellikle kanonik topluluk adı altında yaygın olarak kullanılmaktadır.

Temel özellikler

μ bir ölçü olsun.

Monotonluk

Eğer E₁ ve E₂, E₁ ⊆ E₂ olmak üzere ölçülebilir kümeler ise,

$\mu (E_{1})\leq \mu (E_{2}).$

Sayılabilir birleşim ve kesişimlerin ölçüsü

Alt toplanırlık

Σ'deki (mutlaka ayrık olmayan) E_n ölçülebilir kümelerinin herhangi bir sayılabilir E₁, E₂, E₃, ... dizisi için:

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).$

Alttan süreklilik

E₁, E₂, E₃, ... ölçülebilir kümeler ve $E_{n}\subseteq E_{n+1}$ ise tüm n, E_n kümelerinin birleşimi ölçülebilirdir ve aşağıdaki ifade geçerlidir:

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).$

Üstten süreklilik

E₁, E₂, E₃, ... ölçülebilir kümeler ise ve tüm n, $E_{n+1}\subseteq E_{n}$ için, E_n kümelerinin kesişimi ölçülebilirdir; ayrıca, en az bir E_n sonlu bir ölçüye sahipse, o zaman

$\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).$

Bu özellik, en az bir E_n'nin sonlu ölçüye sahip olduğu varsayımı olmaksızın yanlıştır. Örneğin, her n ∈ N, E_n = [n, ∞) ⊂ R, bunların hepsi sonsuz Lebesgue ölçüsüne sahiptir, ancak kesişim boştur.

Sigma-sonlu ölçüler

μ(X) sonlu bir gerçek sayı ise (∞ yerine) bir (X, Σ, μ) ölçü uzayına sonlu denir. Sıfır olmayan sonlu ölçüler, herhangi bir sonlu ölçü μ, olasılık ölçüsü ile orantılıdır; ${\frac {1}{\mu (X)}}\mu$ anlamında olasılık ölçüsüne benzer. μ ölçüsü, X ölçülebilir sonlu ölçü kümelerinin sayılabilir bir birleşimine ayrıştırılabiliyorsa, σ-sonlu olarak adlandırılır. Benzer şekilde, bir ölçü uzayındaki bir kümenin, sonlu ölçülü kümelerin sayılabilir bir birleşimi ise, bir σ-sonlu ölçüsü olduğu söylenir.

Örneğin, standart Lebesgue ölçüsüne sahip reel sayılar σ-sonludur, ancak sonlu değildir. Tüm k tam sayıları için kapalı aralıkları [k, k+1] düşünün; sayılabilecek bu tür aralıklar vardır, her birinin ölçüsü 1'dir ve bunların birleşimi tüm gerçek doğrudur. Alternatif olarak, her sonlu gerçekler kümesine kümedeki nokta sayısını atayan sayma ölçüsü ile gerçek sayıları düşünün. Bu ölçü uzayı σ-sonlu değildir, çünkü sonlu ölçülü her küme yalnızca sonlu sayıda nokta içerir ve tüm gerçek doğruyu kaplamak için sayılamayacak kadar çok sayıda küme gerekir. Σ-sonlu ölçü uzaylarının bazı çok uygun özellikleri vardır; σ-sonluluğu bu bağlamda topolojik uzayların Lindelöf özelliği ile karşılaştırılabilir. Bir ölçü uzayının 'sayılamayan ölçüye' sahip olabileceği fikrinin belirsiz bir genellemesi olarak da düşünülebilirler.

s-sonlu ölçüler

Bir ölçü, sınırlı ölçülerin sayılabilir bir toplamı ise, s-sonlu olduğu söylenir. S-sonlu ölçüler sigma-sonlu ölçülerden daha geneldir ve stokastik süreçler teorisinde uygulamaları vardır.

Tamlık

Ölçülebilir X kümesi, μ(X) = 0 ise boş küme olarak adlandırılır. Boş kümenin bir alt kümesine ihmal edilebilir küme denir. İhmal edilebilir bir kümenin ölçülebilir olması gerekmez, ancak ölçülebilir her ihmal edilebilir küme otomatik olarak bir boş kümedir. Her ihmal edilebilir küme ölçülebilir ise bir ölçü eksiksiz olarak adlandırılır.

Ölçülebilir bir X kümesinden ihmal edilebilir bir küme kadar farklılık gösteren Y alt kümelerinin σ-cebiri dikkate alınarak, yani X ve Y simetri farkı bir sıfır kümede yer alacak şekilde bir ölçü, tam bir ölçü olarak genişletilebilir. Bu, μ(Y)'yi μ(X)'e eşit olarak tanımlar.

Toplanırlık

Ölçümlerin sayılabilecek şekilde toplanır olması gerekmektedir. Ancak durum aşağıdaki şekilde güçlendirilebilir. Herhangi bir $I$ kümesi ve herhangi bir negatif olmayan $r_{i},i\in I$ için;

$\sum _{i\in I}r_{i}=\sup \left\lbrace \sum _{i\in J}r_{i}:|J|<\aleph _{0},J\subseteq I\right\rbrace .$

Yani, $r_{i}$ toplamını, sonlu birçoğunun tüm toplamlarının eküsü (supremum) olarak tanımlıyoruz.

$\Sigma$'da bir $\mu$ ölçüsü, eğer herhangi bir $\lambda <\kappa$ ve herhangi bir ayrık küme ailesi $X_{\alpha },\alpha <\lambda$ için aşağıdaki sağlanırsa $\kappa$-toplanır'dır:

$\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\in \Sigma$

$\mu \left(\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in \lambda }\mu \left(X_{\alpha }\right).$

İkinci koşulun, boş kümelerin idealinin $\kappa$-tam olduğu ifadeye eşdeğer olduğuna dikkat edin.

Ölçülemeyen kümeler

Seçim aksiyomunun doğru olduğu varsayılırsa, Öklid uzayının tüm alt kümelerinin Lebesgue ölçülebilir olmadığı kanıtlanabilir; Bu tür kümelerin örnekleri arasında Vitali kümesi ve Hausdorff paradoksu ve Banach-Tarski paradoksu tarafından öne sürülen ölçülemeyen kümeler bulunur.

Genellemeler

Belirli amaçlar için, değerleri negatif olmayan gerçeklerle veya sonsuzlukla sınırlı olmayan bir "ölçüye" sahip olmak yararlıdır. Örneğin, değerleri (işaretli) gerçek sayılarda olan sayılabilir bir toplanır küme fonksiyonuna işaretli ölçü, karmaşık sayılarda değerlere sahip böyle bir fonksiyona ise karmaşık ölçü denir. Banach uzaylarında değer alan ölçüler kapsamlı bir şekilde çalışılmıştır. Bir Hilbert uzayında kendine eşlenik izdüşümler kümesindeki değerleri alan bir ölçüye, izdüşüm değerli ölçü adı verilir; bunlar, spektral teorem için fonksiyonel analizde kullanılır. Negatif olmayan değerler alan olağan ölçüleri genellemelerden ayırmak gerektiğinde, pozitif ölçü terimi kullanılır. Pozitif ölçüler, konik kombinasyon altında kapatılır, ancak genel doğrusal kombinasyon değil, işaretli ölçüler pozitif ölçülerin doğrusal kapanmasıdır.

Diğer bir genelleme, içerik olarak da bilinen sonlu toplanır ölçüdür. Bu, sayılabilir toplanırlığa ihtiyaç duymak yerine sadece sonlu toplanırlığa ihtiyacımız olması dışında bir ölçü ile aynıdır. Tarihsel olarak, bu tanım ilk önce kullanıldı. Genel olarak, sonlu toplanır ölçümlerin Banach limitleri, L^∞ ikilisi ve Stone-Čech kompaktlaştırma gibi kavramlarla bağlantılı olduğu ortaya çıktı. Tüm bunlar bir şekilde seçim aksiyomuna bağlıdır. Geometrik ölçü teorisindeki bazı teknik problemlerde içerik yararlı olmaya devam etmektedir; bu Banach ölçülerinin teorisidir.

Bir yük, her iki yöndeki bir genellemedir: Sonlu toplanırlığa sahip, işaretli bir ölçüdür.

Ayrıca bakınız

• Lebesgue integrali
• Kaldırma teorisi (Lifting theory)
• İleri itme ölçüsü (Pushforward measure)
• Yoğunluk biçimi (Volume form)

Bibliyografya

• Robert G. Bartle (1995) The Elements of Integration and Lebesgue Measure, Wiley Interscience.
• Bauer, H. (2001), Measure and Integration Theory, Berlin: de Gruyter, ISBN 978-3110167191 
• Bear, H.S. (2001), A Primer of Lebesgue Integration, San Diego: Academic Press, ISBN 978-0120839711 
• Bogachev, V. I. (2006), Measure theory, Berlin: Springer, ISBN 978-3540345138 
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1  Chapter III.
• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
• Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons, ISBN 0471317160  Second edition.
• Federer, Herbert. Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153 Springer-Verlag New York Inc., New York 1969 xiv+676 pp.
• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory 31 Ocak 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. Torres Fremlin.
• Jech, Thomas (2003), Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded, Springer Verlag, ISBN 3-540-44085-2 
• R. Duncan Luce & Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v.3, ss. 428–32.
• M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
• K. P. S. Bhaskara Rao and M. Bhaskara Rao (1983), Theory of Charges: A Study of Finitely Additive Measures, Londra: Academic Press, ss. x + 315, ISBN 0-12-095780-9 
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.
• Teschl, Gerald, Topics in Real and Functional Analysis, (lecture notes), 10 Eylül 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi29 Aralık 2020 
• Tao, Terence (2011). An Introduction to Measure Theory. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 9780821869192. 
• Weaver, Nik (2013). Measure Theory and Functional Analysis. World Scientific. ISBN 9789814508568. 

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Measure", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Tutorial: Measure Theory for Dummies 17 Ocak 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Eğitim dokümanı: Aptallar için Ölçü Teorisi)