Radon ölçüsü

Matematikte (özellikle ölçü kuramında), Radon ölçüsü bir Hausdorff topolojik uzayı olan $X$ 'in Borel kümelerinin $σ$ -cebiri üzerinde tanımlı bir ölçüdür. Bu ölçü, tüm kompakt kümeler üzerinde sonlu, tüm Borel kümeler üzerinde dış düzenli ve açık kümeler üzerinde iç düzenli olmalıdır.^[1] Bu kavram, Johann Radon'un adını taşımaktadır.

Bu koşullar, ölçünün uzayın topolojisiyle "uyumlu" olmasını garanti eder ve analizde ve sayı teorisinde kullanılan çoğu ölçü aslında Radon ölçüsüdür.

Motivasyon

Topolojik bir uzay üzerinde, topoloji ile uyumlu bir ölçü tanımlamak yaygın bir problemdir. Bu ölçüleri genellikle Borel kümeleri üzerinde tanımlamak bir çözümdür. Ancak, bu yaklaşım, ölçünün iyi tanımlanmış bir desteği olmaması gibi bazı sorunlara yol açabilir. Bir diğer yaklaşım ise, yerel tıkız Hausdorff uzaylarla sınırlı kalıp, pozitif doğrusal fonksiyonellere karşılık gelen ölçüleri ele almaktır. Bu, iyi bir teori oluşturur ancak yerel olarak tıkız olmayan uzaylara uygulanamaz.

Radon ölçüleri teorisi, yerel tıkız uzaylar için mevcut iyi özelliklerin çoğunu korur, ancak tüm Hausdorff topolojik uzaylara uygulanabilir. Bu nedenle Radon ölçüsü tanımı, yerel tıkız uzaylarda pozitif fonksiyonellere karşılık gelen ölçülerin özelliklerini temel alır.

Tanım

$m$ bir Hausdorff topolojik uzayın Borel kümeleri üzerinde tanımlı bir ölçü olsun.

$m$ , bir ölçü, her açık küme $U$ için $m (U)$ değerinin, $U$ içindeki tüm tıkız alt kümeler $K$ üzerinde alınan üst sınıra eşit olması durumunda iç düzenli veya sıkı olarak adlandırılır.
$m$ , her Borel küme $B$ için $m (B)$ değerinin, $B$ 'yi içeren tüm açık kümeler $U$ üzerinde alınan alt sınıra eşit olması durumunda dış düzenli olarak adlandırılır.
$m$ , her $X$ noktasının sonlu ölçüye sahip bir komşuluğa sahip olması durumunda yerel sonlu ölçü olarak adlandırılır.

Eğer $m$ yerel olarak sonlu ise, bu durumda $m$ , tıkız kümeler üzerinde sonlu olur ve yerel tıkız Hausdorff uzaylar için bu koşulun tersi de geçerlidir. Bu durumda, yerel sonluluk, tıkız alt kümeler üzerinde sonluluk ile değiştirilebilir.

$m$ ölçüsü, iç düzenli ve yerel olarak sonlu ise, Radon ölçüsü olarak adlandırılır.

Örnekler

Aşağıdakiler Radon ölçülerine örnektir:

Lebesgue ölçüsü (Borel alt kümelerine sınırlı olarak)
Haar ölçüsü (her yerel tıkız topolojik grup üzerinde)
Dirac ölçüsü (her topolojik uzay üzerinde)
Gauss ölçüsü (Borel σ-cebiri üzerinde)
Olasılık ölçüsü (her Polonyalı uzay üzerinde)

Temel özellikler

Radon ölçüleri, topolojik uzayın tıkız ve açık alt kümeleri üzerinde iyi tanımlanmış düzenlilik özelliklerine sahiptir. Bu özellikler, ölçü kuramı ve entegrasyon kuramı açısından güçlü ve kullanışlı araçlar sunar.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

^ Folland 1999, s. 212

Dış bağlantılar

R. A. Minlos (2001), "Radon ölçüsü", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

[1] Folland 1999, s. 212

[1]