Ölçülebilir fonksiyon

Matematikte, özellikle ölçü kuramında, bir ölçülebilir fonksiyon, iki ölçülebilir uzay arasındaki temel kümeler üzerinde tanımlı ve bu uzayların yapısını koruyan bir fonksiyondur: her ölçülebilir kümenin ters görüntüsü yine ölçülebilirdir. Bu durum, topolojik uzaylar arasındaki açık bir kümenin ters görüntüsü açık olur tanımını gerektiren sürekli fonksiyon tanımıyla doğrudan benzerdir.

Gerçel analizde, ölçülebilir fonksiyonlar Lebesgue integralinin tanımında kullanılır. Olasılık kuramında ise, bir olasılık uzayı üzerindeki ölçülebilir fonksiyonlara rasgele değişken denir.

Tanım

$(X,\Sigma )$ ve $(Y,\mathrm {T} )$ ölçülebilir uzaylar olsun. Burada $X$ ve $Y$, sırasıyla $\Sigma$ ve $\mathrm {T}$ σ-cebirleri ile donatılmış kümelerdir.

Bir $f:X\to Y$ fonksiyonu, eğer her $E\in \mathrm {T}$ için ters görüntüsü $f^{-1}(E)\in \Sigma$ olacak şekilde tanımlanmışsa, ölçülebilir olarak adlandırılır. Yani:

$$f^{-1}(E):=\{x\in X:f(x)\in E\}\in \Sigma .$$

Başka bir ifadeyle, $\sigma (f)\subseteq \Sigma$ olmalıdır; burada $\sigma (f)$, $f$ tarafından oluşturulan σ-cebirini ifade eder.

Fonksiyonun ölçülebilir olduğunu vurgulamak için genellikle şöyle yazılır: $$f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).$$

Terim kullanımı

Tanımda geçen $\sigma$-cebirlerinin seçimi bağlama göre değişebilir. Örneğin, $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$ veya başka bir topolojik uzayda, genellikle Borel cebiri kullanılır (tüm açık kümeler tarafından oluşturulan σ-cebiri). Bazı kaynaklar, ölçülebilir fonksiyonu yalnızca Borel cebiri bağlamında tanımlar.

Eğer fonksiyonun değerleri sonsuz boyutlu vektör uzayında yer alıyorsa, zayıf ölçülebilirlik ve Bochner ölçülebilirliği gibi eşdeğer olmayan başka tanımlar da mevcuttur.

Önemli ölçülebilir fonksiyon sınıfları

• Rasgele değişkenler tanım gereği, olasılık uzayları üzerinde tanımlı ölçülebilir fonksiyonlardır.
• Eğer $(X,\Sigma )$ ve $(Y,T)$ Borel uzayı ise, $f:(X,\Sigma )\to (Y,T)$ fonksiyonu Borel fonksiyonu olarak adlandırılır. Her sürekli fonksiyon bir Borel fonksiyonudur, ancak tersi doğru değildir. Yine de, ölçülebilir fonksiyonlar neredeyse sürekli fonksiyonlardır (bkz. Luzin teoremi).
• Lebesgue ölçülebilir bir fonksiyon, $f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} })$ biçiminde bir fonksiyondur. Burada ${\mathcal {L}}$, gerçel sayı doğrusundaki Lebesgue ölçülebilir kümeleri belirleyen σ-cebiri ve ${\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }$, karmaşık sayılar üzerindeki Borel cebiridir. Bu tür fonksiyonlar integrallenebilir niteliktedir.

$f:X\to \mathbb {R}$ biçimindeki bir fonksiyonun ölçülebilir olması, aşağıdaki ifadelerden herhangi birinin sağlanmasıyla eşdeğerdir:

• $\{x\in X:f(x)>\alpha \}$ ölçülebilirdir (her $\alpha \in \mathbb {R}$ için),
• $\{f\geq \alpha \},\{f<\alpha \},\{f\leq \alpha \}$ kümeleri ölçülebilirdir,
• herhangi bir açık kümenin ters görüntüsü ölçülebilirdir.

Sürekli fonksiyonlar, monoton fonksiyonlar, basamak fonksiyonları, yarı-sürekli fonksiyonlar, Riemann integrallenebilir fonksiyonlar ve sınırlı değişimli fonksiyonların tümü Lebesgue ölçülebilirdir.

Bir $f:X\to \mathbb {C}$ fonksiyonunun ölçülebilir olması ancak ve ancak gerçel ve sanal ksımlarının ölçülebilir olmasıyla mümkündür.

Ölçülebilir fonksiyonların özellikleri

• İki karmaşık değerli ölçülebilir fonksiyonun toplamı ve çarpımı ölçülebilirdir. Sıfıra bölme içermediği sürece bölümleri de ölçülebilirdir.
• $f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})$ ve $g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})$ ölçülebilir fonksiyonlar ise, bileşkeleri $g\circ f$ de ölçülebilirdir.
• Ancak, $g$ fonksiyonu $\Sigma _{3}$ yerine daha büyük bir σ-cebiriyle tanımlıysa, bileşke her zaman ölçülebilir olmayabilir.
• Gerçel değerli ölçülebilir fonksiyonlardan oluşan bir dizinin noktasal üst sınırı, alt sınırı, en küçük üst sınırı $\limsup$ ve en büyük alt sınır $\liminf$ ölçülebilirdir.
• Eğer $f_{n}:X\to Y$ ölçülebilir fonksiyonlar dizisi, $Y$ metrik bir uzaysa (Borel cebiriyle birlikte), noktasal limit fonksiyon da ölçülebilirdir. Bu durum, $Y$ metrik olmayan bir uzay olduğunda genellikle geçerli değildir. Sürekli fonksiyonlar için benzer ifadenin geçerli olabilmesi için, noktasal yakınsamadan daha güçlü koşullar gereklidir; örneğin, tekbiçimli yakınsama gibi.

Ölçülemez fonksiyonlar

Uygulamalarda karşılaşılan çoğu gerçel değerli fonksiyon ölçülebilirdir; ancak seçim aksiyomu kullanılarak ölçülemez fonksiyonların varlığı kolayca gösterilebilir. Bu tür örneklerin çoğu, Zermelo–Fraenkel küme kuramı içinde seçim aksiyomunu gerektirir.

Eğer $(X,\Sigma )$ bir ölçü uzayı ve $A\subset X$ ölçülemez bir küme ise, o zaman $A$'nın gösterge fonksiyonu ölçülemez olur:

$$\mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{eğer }}x\in A\\0&{\text{aksi halde}}\end{cases}}$$

Bu fonksiyon $\mathbb {R}$ üzerindeki Borel cebirine göre ölçülemezdir çünkü $\{1\}$'in ters görüntüsü ölçülemez olan $A$'dır.

Başka bir örnek: $\Sigma =\{\varnothing ,X\}$ olan aşikar σ-cebiri için tanımlı ve sabit olmayan herhangi bir $f:X\to \mathbb {R}$ fonksiyonu da ölçülemezdir.

Ayrıca bakınız

• Bochner ölçülebilir fonksiyon
• Bochner uzayı
• Lp uzayı – Ölçülebilir fonksiyonlardan oluşan vektör uzayları
• Ölçü koruyan dinamik sistem
• Vektör ölçü
• Zayıf ölçülebilir fonksiyon

Dış bağlantılar

• Ölçülebilir fonksiyon – Matematik Ansiklopedisi
• Borel fonksiyonu – Matematik Ansiklopedisi