Ölçülebilir uzay

Matematikte, ölçülebilir uzay veya Borel uzayı, ölçü teorisinin temel tanımlarından biridir. Bir küme ve onun üzerinde tanımlı bir σ-cebirini içerir; bu σ-cebiri, ölçülecek alt kümeleri belirler.

Ölçü teorisindeki bu kavram, uzunluk, alan ve hacim gibi daha basit ve fiziksel olarak bilinen ölçü kavramlarını genelleştirir. Bir $X$ kümesi, uzaydaki noktaları temsil ederken, uzaydaki bölgeler σ-cebirinin elemanlarıdır. Çünkü sezgisel olarak ölçüler genellikle tek tek noktalar için değil, bir σ-cebirine ait olan belirli bölgeler için tanımlıdır. σ-cebiri aynı zamanda uzaydaki bölgelerin sahip olması beklenen ilişkileri de sağlar: Bir bölge, diğer bölgelerin kesişimi, bileşimi veya belirli bir bölgenin tüm uzaydan çıkarılmasıyla tanımlanabilir.

Tanım

Bir $X$ kümesi ve onun üzerinde tanımlı bir σ- cebiri ${\mathcal {F}}$ olsun. Bu durumda, $(X,{\mathcal {F}})$ çifti bir ölçülebilir uzay olarak adlandırılır. ${\mathcal {F}}$'nin elemanları, bu ölçülebilir uzay içerisindeki ölçülebilir kümeler olarak tanımlanır. Önemli bir nokta ve ölçü uzayından farklı olarak, ölçülebilir uzayın tanımında herhangi bir ölçü tanımı gerekmemektedir.

Örnek

$$X=\{1,2,3\}$$ kümesini ele alalım. Bu küme üzerinde tanımlanabilecek σ-cebirlerinden iki örnek verelim:

• En küçük σ-cebiri yalnızca tüm $X$ kümesini ve boş kümeyi içerir:

$${\mathcal {F}}_{1}=\{X,\varnothing \}.$$

Bu durumda, $\left(X,{\mathcal {F}}_{1}\right)$ bir ölçülebilir uzay oluşturur.

• En büyük σ-cebiri, $X$ kümesinin kuvvet kümesi ${\mathcal {P}}(X)$ olup, $X$in tüm alt kümelerini içerir:

${\mathcal {F}}_{2}={\mathcal {P}}(X)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},X\}$

Bu durumda, $\left(X,{\mathcal {F}}_{2}\right)$ ikinci bir ölçülebilir uzaydır.

Bu iki farklı σ-cebiri, aynı küme üzerinde farklı ölçülebilir uzay yapıları oluşturulabileceğini göstermektedir.

Yaygın ölçülebilir uzaylar

Eğer $X$ sonlu veya sayılabilir sonsuz bir küme ise, $\sigma$-cebir en yaygın olarak $X$ kümesinin kuvvet kümesi olur; yani, ${\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(X).$ Bu durumda, ölçülebilir uzay $(X,{\mathcal {P}}(X))$ olur. Eğer $X$ bir topolojik uzay ise, en yaygın kullanılan $\sigma$-cebir Borel $\sigma$-cebiri ${\mathcal {B}}$ olur. Yani, ${\mathcal {F}}={\mathcal {B}}(X).$ Bu durumda, ölçülebilir uzay $(X,{\mathcal {B}}(X))$ şeklinde olur ve bu, gerçel sayılar kümesi $\mathbb {R}$ gibi tüm topolojik uzaylar için yaygın olarak kullanılır.

Borel uzayları ile karışıklık

Borel uzayı terimi, farklı türde ölçülebilir uzayları ifade etmek için kullanılır. Şu anlamlara gelebilir:

1. Herhangi bir ölçülebilir uzay, yani yukarıda tanımlandığı gibi genel bir ölçülebilir uzayın eş anlamlısıdır.
2. Gerçel sayıların bir ölçülebilir alt kümesine Borel eşyapı dönüşümü ile eşlenebilen bir ölçülebilir uzay (yine Borel $\sigma$-cebiri ile).