σ-cebiri

Matematiğin alt dalı olan analizde ve olasılık kuramında, bir σ-cebiri ("sigma cebiri"; ayrıca σ-cismi olarak da adlandırılır; burada σ harfi Almanca "Summe" kelimesinden gelir) bir X kümesi üzerinde, X in altkümelerinden oluşan ve boş olmayan, tümleyeni, sayılabilir birleşimler ve sayılabilir kesişimler altında kapalı bir Σ kümeler kümesidir. $(X,\Sigma )$ sıralı ikilisi ölçülebilir uzay olarak adlandırılır.

Altkümelerden oluşan bir σ-cebiri, bir küme cebiridir; bu ikinci türdeki elemanların yalnızca sonlu sayıda altkümenin birleşimi veya kesişimi altında kapalı olması yeterlidir ki bu da daha zayıf bir koşuldur.

σ-cebirlerinin en temel kullanım alanı ölçülerin tanımlanmasındadır; özellikle, belirli bir ölçünün tanımlandığı altkümelerin kümesinin bir σ-cebiri olması gerekliliği vardır. Ölçü kavramı, Lebesgue integralinin temeli olarak analizde ve olasılık kuramında, olasılık atfedilebilen olayların kümesi olarak yorumlandığında önemlidir. Ayrıca olasılıkta, σ-cebirleri koşullu beklenti tanımında da kilit rol oynar.

İstatistikte, (alt) σ-cebirleri yeterli istatistiklerin biçimsel matematiksel tanımı için gereklidir. Bu gereklilik, bahsedilen istatistik, özellikle bir fonksiyon veya rasgele bir süreç olduğunda ve koşullu yoğunluk kavramı uygulanabilir olmadığında ortaya çıkar.

Örnek vermek gerekirse, $X=\{a,b,c,d\}$ ise, $X$ üzerinde tanımlı olabilecek σ-cebirlerinden biri $\Sigma =\{\varnothing ,\{a,b\},\{c,d\},\{a,b,c,d\}\}$ şeklindedir. Burada $\varnothing$, boş kümeyi temsil eder. Genel olarak, sonlu bir cebir her zaman bir σ-cebiridir.

Eğer $\{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \}$, $X$ kümesinin sayılabilir bir bölmelemesi ise, bu bölmelemedeki kümelerin tüm birleşimlerinden (boş küme dahil) oluşan küme de bir σ-cebiridir.

Daha anlamlı ve yaygın bir örnek, gerçel sayı doğrusu üzerindeki açık aralıklarla başlayan, sonra tüm sayılabilir birleşimler, sayılabilir kesişimler ve küme farkları eklenerek (bu işlem sayılabilir sayıdaki sıralama sayıları üzerinden yapılan sonlu ötesi sayıda yineleme ile devam ettirilir) ilgili kapalılık özellikleri sağlanana kadar genişletilen altkümeler kümesidir. Bu yapıya Borel hiyerarşisi denir.

Motivasyon

σ-cebirleri için en az üç temel motivasyon vardır: ölçülerin tanımlanması, kümelerin limitlerinin işlenmesi ve kümelerle karakterize edilen kısmi bilginin yönetilmesi.

Ölçü

Bir X kümesi üzerinde tanımlı bir ölçü, X'in altkümelerine sıfır ya da pozitif bir gerçel sayı atayan bir fonksiyondur. Ölçü kavramı kümeler için "büyüklük" ya da "hacim" kavramlarının matematiksel dil ve hassasiyet içinde tanımlanması olarak düşünülebilir. Ayrık kümelerin birleşimlerinin ölçüsünün, bu kümelerin ölçülerinin toplamı olmasını istenir ki bu durum ayrık kümeler için sonsuz dizilerde bile geçerli olmalıdır.

X kümesinin her altkümesine bir ölçü atamak istenebilir; ancak, birçok doğal durumda bu mümkün değildir. Örneğin, seçim aksiyomu, gerçel doğru üzerindeki uzunluk kavramı altında bazı kümelere ölçü atamanın mümkün olmadığını söyler. Bu duruma örnek olarak Vitali kümeleri verilebilir. Bu nedenle, bunun yerine X'in ayrıcalıklı bir altküme ailesi olan daha küçük bir küme ailesi dikkate alınır. Bu ailedeki altkümelere ölçülebilir kümeler denir. Ölçülebilir kümeler, doğal olarak şu işlemler altında kapalıdır: bir ölçülebilir kümenin tümleyeni yine ölçülebilir olmalıdır, ve ölçülebilir kümelerin sayılabilir birleşimi de ölçülebilir olmalıdır. Bu özelliklere sahip boş olmayan küme koleksiyonlarına σ-cebiri denir.

Kümelerin limitleri

Ölçü kavramının birçok kullanımında, örneğin olasılıktaki 1 olasılıkla yakınsama gibi durumlarda, kümelerin dizilerinin limitleri önemlidir. Bu tür limitler için, sayılabilir birleşimler ve kesişimler altında kapalı olma özelliği çok önemlidir. σ-cebirleri üzerinde küme limitleri şu şekilde tanımlanır:

• $X$'teki $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ gibi altkümeler dizisi için en küçük üst limit ya da dış limit,

$$\limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\cup A_{n+1}\cup \cdots .$$ Bu limit, bu kümelerin sonsuz tanesinde yer alan (ya da eşdeğer olarak, bunların hedefteş çokluğunda bulunan) tüm noktaları içerir. Yani, bir $x$ noktası ancak ve ancak $x\in A_{n_{1}}\cap A_{n_{2}}\cap \cdots$ olacak şekilde sonsuz bir $A_{n_{1}},A_{n_{2}},\ldots$ altdizisi içerisinde yer alıyorsa $x\in \limsup _{n\to \infty }A_{n}$ olur.

• Aynı dizi için en büyük alt limit ya da iç limit,

$$\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\cap A_{n+1}\cap \cdots .$$ Bu limit, yalnızca sonlu sayıda küme haricindeki tüm kümelerde bulunan (veya eşdeğer şekilde, sonlu bir aşamadan itibaren tüm kümelerde yer alan) noktaları içerir. Yani $x\in \liminf _{n\to \infty }A_{n}$ ancak ve ancak $x\in A_{N}\cap A_{N+1}\cap \cdots$ olacak şekilde bir $N\in \mathbb {N}$ bulunuyorsa geçerlidir.

Her zaman, $$\liminf _{n\to \infty }A_{n}~\subseteq ~\limsup _{n\to \infty }A_{n}$$ olur. Eğer bu iki limit eşitse, bu ortak kümeye $\lim _{n\to \infty }A_{n}$ limiti denir ve $$\lim _{n\to \infty }A_{n}:=\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}$$ olur.

Alt σ-cebirler

Olasılığın birçok kısmında, özellikle koşullu beklenti söz konusu olduğunda, gözlemlenebilecek tüm bilgilerin yalnızca bir kısmını temsil eden kümeler dikkate alınır. Bu kısmi bilgi, asıl σ-cebirin bir altkümesi olan daha küçük bir σ-cebiri ile tanımlanabilir; bu alt σ-cebiri yalnızca kısmi bilgiye göre belirlenebilen kümelerden oluşur. Biçimsel olarak, $\Sigma$ ve $\Sigma '$ kümesi X üzerinde tanımlı σ-cebirler olsun. Eğer $\Sigma '\subseteq \Sigma$ ise, $\Sigma '$ kümesi $\Sigma$'nin bir alt σ-cebiridir.

Bu fikri açıklamak basit örnekler yararlı olacaktır:

İki kişinin yazı-tura atarak oynadığı ve sonsuza dek sürebilecek bir oyun oynadığını hayal edelim. Her iki oyuncunun da sonsuz zengin olduğu varsayımı altında oyuna süresiz bir şekilde devam edilebilir. Bu durumda, örneklem uzayı Ω, sonsuz sayıda yazı-tura sonucunu temsil eden dizilerden oluşur: $$\Omega =\{H,T\}^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):x_{i}\in \{H,T\},i\geq 1\}.$$

İlk n atıştan sonra gözlemlenen bilgi, ilk n yazı-tura sonucunu açıklayan $2^{n}$ olasılıktan biridir. Bu bilgi aşağıdaki alt σ-cebiriyle temsil edilir: $${\mathcal {G}}_{n}=\{A\times \{H,T\}^{\infty }:A\subseteq \{H,T\}^{n}\}$$

Bu yapı ilk n yazı-tura atışını sabitlemektedir ama kalan sonuçlara dair herhangi bir bilgi içermemektedir. Bu durumda, $${\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {G}}_{3}\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {G}}_{\infty }$$ şeklinde bir artan σ-cebiri dizisi elde edilir; burada ${\mathcal {G}}_{\infty }$, diğerlerinin tümünü içeren en küçük σ-cebiridir.

Tanım ve özellikler

Tanım

Bir X kümesi verilsin ve $P(X)$ ifadesi X'in kuvvet kümesini, yani Xin tüm altkümelerinin kümesini göstersin. O hâlde, $\Sigma \subseteq P(X)$ alt kümesi ancak ve ancak aşağıdaki üç özelliği sağlıyorsa bir σ-cebiri olarak adlandırılır:

1. $X\in \Sigma$ olmalıdır.
2. $\Sigma$, tümleyene göre kapalıdır: Eğer $A\in \Sigma$ ise, $X\setminus A$ da $\Sigma$ içindedir.
3. $\Sigma$, sayılabilir birleşimlere göre kapalıdır: Eğer $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \in \Sigma$ ise, o hâlde $A=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots$ da $\Sigma$ içindedir.

Bu özelliklerden, σ-cebirinin aynı zamanda sayılabilir kesişimlere göre de kapalı olduğu sonucu çıkar ki bu durum De Morgan yasası yardımıyla gösterilebilir.

Ayrıca, $X\in \Sigma$ olduğu için ve (2) numaralı özelliğe göre tümleyeni olan boş küme $\varnothing$ da $\Sigma$ içindedir. Dahası, $\{X,\varnothing \}$ kümesi bu üç koşulu da sağladığı için $X$ kümesi üzerindeki en küçük σ-cebiridir. Öte yandan, $P(X)$ yani kuvvet kümesi, en büyük σ-cebiridir.

Bir σ-cebirin elemanları ölçülebilir kümeler olarak adlandırılır. $X$ bir küme ve $\Sigma$ onun üzerinde bir σ-cebiri olmak üzere, sıralı ikili $(X,\Sigma )$ bir ölçülebilir uzay olarak adlandırılır. İki ölçülebilir uzay arasında tanımlı bir fonksiyon alındığında, eğer görüntü kümesindeki her ölçülebilir kümenin ters görüntüsü de ölçülebilir ise, bu fonksiyon, ölçülebilir fonksiyon olarak adlandırılır. Ölçülebilir uzayların oluşturduğu aile, bir kategori oluşturur; burada ölçülebilir fonksiyonlar morfizmalardır. Ölçüler ise bir σ-cebirinden $[0,\infty ]$ aralığına tanımlanan belirli türde fonksiyonlardır.

Bir σ-cebiri hem bir π-sistemi hem de bir Dynkin sistemidir (veya λ-sistemi). Tersi de yine Dynkin teoremi'ne göre doğrudur.

Dynkin π-λ teoremi

Ayrıca bakınız: π-λ teoremi

Bu teorem (ya da ilişkili olan monoton sınıf teoremi) belirli σ-cebirlerinin özelliklerine dair birçok sonucun ispatında kullanılan temel bir araçtır. Bu teorem, iki daha basit küme sınıfının doğasını kullanır:

• Bir π-sistemi $P$, sonlu sayıda kümenin kesişimi altında kapalı olan altkümeler kümesidir.
• Bir Dynkin sistemi (ya da λ-sistemi) $D$, $X$ kümesini içeren ve tümleyene göre ve ayrık altkümelerin sayılabilir birleşimleri altında kapalı olan altkümeler kümesidir.

Dynkin π-λ teoremi ise şunu ifade eder: eğer $P$ bir π-sistemi ve $D$ bir Dynkin sistemi olup $P\subseteq D$ ise, $P$ tarafından oluşturulan σ-cebiri $\sigma (P)$, $D$ kümesinin alt kümesidir: $$\sigma (P)\subseteq D.$$

Bazı π-sistemleri oldukça basit küme sınıflarından oluştuğu için, $P$ içindeki tüm kümelerin istenilen özelliğe sahip olduğunu göstermek zor olmayabilir. Öte yandan, bu özelliğe sahip tüm kümelerden oluşan $D$ kümesinin bir Dynkin sistemi olduğunu göstermek de nispeten kolay olabilir. Bu durumda, Dynkin π-λ teoremi, $\sigma (P)$ içindeki tüm kümelerin de bu özelliğe sahip olduğunu garanti eder ve böylece $\sigma (P)$ içindeki tüm kümeleri ayrı ayrı kontrol etme gereğini ortadan kaldırır.

Bu teoremin en temel kullanım alanlarından biri, ayrı ayrı tanımlanmış ölçülerin veya integrallerin eşdeğerliğini göstermektir. Örneğin, bu teorem rasgele bir değişken $X$ için tanımlanan bir olasılığın, Lebesgue–Stieltjes integrali ile ifade edilen karşılığına eşitliğini göstermek için kullanılır: $A$ gerçek sayı doğrusu $\mathbb {R}$ üzerindeki Borel σ-cebirine ait olmak üzere, her $A$ için $$\mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}F(dx).$$ Burada $F(x)$, $X$ için tanımlanmış kümülatif dağılım fonksiyonudur ve $\mathbb {P}$ bir olasılık ölçüsü olup, $\Omega$ örneklem uzayının alt kümelerinden oluşan bir σ-cebiri $\Sigma$ üzerinde tanımlıdır.

σ-cebirlerinin birleştirilmesi

Varsayalım ki $\left\{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\right\}$, bir $X$ uzayı üzerinde tanımlı σ-cebirlerinden oluşan bir aile olsun.

Kesişim Bir σ-cebiri ailesinin kesişimi yine bir σ-cebiridir. Bu özellik vurgulanmak istendiğinde, şu şekilde gösterilir: $$\bigwedge _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }.$$

İspat taslağı: $\Sigma ^{*}$ ile bu kesişimi gösterelim. Her $\Sigma _{\alpha }$ σ-cebiri olduğu için $X\in \Sigma ^{*}$ olur; yani $\Sigma ^{*}$ boş değildir. Her $\Sigma _{\alpha }$ tümleyene ve sayılabilir birleşimlere göre kapalı olduğu için, bu özellikler $\Sigma ^{*}$ için de geçerlidir. Dolayısıyla $\Sigma ^{*}$ bir σ-cebiridir.

Birleşim σ-cebirlerinin birleşimi genel olarak ne bir σ-cebiridir ne de bir cebirdir; ancak bu birleşim, bir σ-cebiri üretir. Bu σ-cebire birleştirme (join) denir ve genellikle şöyle gösterilir: $$\bigvee _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }=\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).$$

Bu birleştirmeyi üreten bir π-sistemi şu şekilde ifade edilir: $${\mathcal {P}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}:A_{i}\in \Sigma _{\alpha _{i}},\ \alpha _{i}\in {\mathcal {A}},\ n\geq 1\right\}.$$

İspat taslağı: $n=1$ durumu için her $\Sigma _{\alpha }\subset {\mathcal {P}}$ olur, dolayısıyla: $$\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\subseteq {\mathcal {P}}.$$

Bu durumdan: $$\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)\subseteq \sigma ({\mathcal {P}})$$ sonucu elde edilir, çünkü $\sigma (\cdot )$ ifadesi bir altküme ailesi tarafından oluşturulan en küçük σ-cebirini ifade eder.

Öte yandan, $${\mathcal {P}}\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)$$ olduğundan, Dynkin π-λ teoremi uyarınca şu sonuç elde edilir: $$\sigma ({\mathcal {P}})\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).$$

Alt uzaylar için σ-cebirleri

$(X,\Sigma )$ bir ölçülebilir uzay ve $Y$, $X$ kümesinin bir altkümesi olsun.

• $\{Y\cap B:B\in \Sigma \}$ ailesi, $Y$ kümesinin altkümelerinden oluşan bir σ-cebiridir.
• $(Y,\Lambda )$ ölçülebilir bir uzay olmak üzere, $\{A\subseteq X:A\cap Y\in \Lambda \}$ ailesi, $X$ kümesinin altkümelerinden oluşan bir σ-cebiridir.

σ-halka ile ilişkisi

Bir σ-cebiri $\Sigma$, evrensel küme olan $X$ kümesini içeren bir σ-halkadır.

Her σ-cebiri aynı zamanda bir σ-halkadır; ancak her σ-halka bir σ-cebiri olmak zorunda değildir. Örneğin, gerçel doğru üzerindeki sıfır Lebesgue ölçüsüne sahip tüm ölçülebilir kümeler bir σ-halka oluşturur, fakat bu kümeler gerçel doğrunun tamamını kapsayamayacağı için bir σ-cebiri oluşturmazlar; çünkü, gerçel doğrunun ölçüsü sonsuzdur ve bu kümelerin sayılabilir birleşimiyle elde edilemez.

Buna karşılık, sonlu ölçüye sahip Lebesgue ölçülebilir kümelerin oluşturduğu aile bir halkadır, fakat bir σ-halka değildir; çünkü, bu kümelerin sayılabilir birleşimi gerçel doğruyu verebilir. Ancak, toplam ölçü sonlu olmayabilir.

Tipografik not

σ-cebirleri, bazen kaligrafik büyük harflerle veya Fraktur yazı tipiyle gösterilir. Bu nedenle $(X,\Sigma )$ ifadesi $\scriptstyle (X,\,{\mathcal {F}})$ ya da $\scriptstyle (X,\,{\mathfrak {F}})$ biçimlerinde de yazılabilir.

Önemli durumlar ve örnekler

Ayrılabilir σ-cebirler

Bir ayrılabilir σ-cebiri (ya da ayrılabilir σ-cismi), ayrılabilir uzay özelliği taşıyan ve sonlu bir $\mu$ ölçüsü ile birlikte, her $A,B\in {\mathcal {F}}$ için $\rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)$ özelliğini sağlayan bir $\rho$ metriğine sahip bir metrik uzay olarak düşünüldüğünde elde edilen bir σ-cebiridir.

Sayılabilir bir küme ailesi tarafından oluşturulan her σ-cebiri ayrılabilirdir; ancak bunun tersi doğru olmayabilir. Örneğin, Lebesgue σ-cebiri ayrılabilirdir (çünkü her Lebesgue ölçülebilir küme bir Borel kümesi ile ölçü bakımından eşdeğerdir), fakat sayılabilir olarak üretilemez (çünkü kardinalitesi süreyden büyüktür).

Ayrılabilir bir ölçü uzayı, onu ayrılabilir uzay yapan doğal bir sözde metrik uzay yapısına sahiptir. Bu durumda iki küme arasındaki uzaklık, bu kümelerin simetrik farkının ölçüsüne eşittir. Ancak simetrik farkın ölçüsü sıfır olan farklı kümeler olabileceğinden, bu uzaklık bir gerçek metrik oluşturmaz. Bununla birlikte, ölçüsü sıfır olan farklara sahip kümeleri bir eşdeğerlik sınıfı olarak tanımlarsak, oluşan bölüm kümesi üzerinde gerçek bir metrik tanımlanabilir. Eğer ölçü uzayı ayrılabilirse, elde edilen metrik uzayın da ayrılabilir olduğu gösterilebilir.

Basit küme temelli örnekler

Herhangi bir $X$ kümesi için aşağıdaki σ-cebiri örnekleri verilebilir:

• Yalnızca boş küme ve $X$ kümesini içeren aile, $X$ üzerindeki en küçük (aşikar) σ-cebiridir: $\{\varnothing ,X\}$.
• $X$ kümesinin kuvvet kümesi, yani tüm altkümelerinin kümesi, ayrık σ-cebiri (ya da tam σ-cebiri) olarak adlandırılır.
• $\{\varnothing ,A,X\setminus A,X\}$ ailesi, $A$ altkümesinin oluşturduğu basit bir σ-cebiridir.
• $X$ kümesinin sayılamaz olduğu varsayılırsa, $X$’in sayılabilir olan (ya da tümleyeni sayılabilir olan) tüm altkümelerinden oluşan küme bir σ-cebiridir. Bu σ-cebiri, $X$’in tekil elemanlarının oluşturduğu σ-cebiridir. "Sayılabilir" kavramı burada sonlu ya da boş kümeleri de içermektedir.
• $X$’in sayılabilir bir küme bölmesi verilmişse, bu bölmeyi oluşturan kümelerin tüm birleşimlerinden (boş küme dahil) oluşan küme bir σ-cebiridir.

Durdurma zamanı σ-cebirleri

Bir $\tau$ durdurma zamanı, durdurma zamanı σ-cebiri olan ${\mathcal {F}}_{\tau }$'yı tanımlamak için kullanılabilir.

Bu σ-cebiri, bir süzgeç yapısına sahip olasılık uzayında, rasgele bir zaman $\tau$'ya kadar elde edilebilecek bilgiyi ifade eder. Yani, bu yapı şöyle yorumlanabilir: Eğer süzgeçli olasılık uzayı bir rasgele deneme olarak düşünülürse, bu deneme $\tau$ zamanına kadar sınırsız sayıda tekrarlandığında öğrenilebilecek maksimum bilgi ${\mathcal {F}}_{\tau }$ ile temsil edilir.

Küme aileleri tarafından oluşturulan σ-cebirleri

Herhangi bir küme ailesi tarafından oluşturulan σ-cebiri

$F$ herhangi bir altküme ailesi (bir küme ailesi) olsun, yani $F\subseteq P(X)$. O hâlde, $F$'yi içeren tüm σ-cebirlerinin kesişimi, $F$'yi içeren en küçük σ-cebirini verir. Bu σ-cebire $\sigma (F)$ denir ve $F$ tarafından oluşturulan σ-cebiri olarak adlandırılır.

Eğer $F$ boş küme ise, $\sigma (\varnothing )=\{\varnothing ,X\}$ olur. Boş olmayan durumlarda, $\sigma (F)$ $F$’deki kümelerden başlayarak, sayılabilir sayıda tümleyen, birleşim ve kesişim işlemleriyle elde edilebilen tüm kümeleri içerir.

Basit bir örnek olarak, $X=\{1,2,3\}$ kümesi üzerinde yalnızca $\{1\}$ kümesini içeren bir aile ele alalım. Bu durumda:

$\sigma (\{1\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$ olur.

Yazım kolaylığı açısından, yalnızca bir kümeden oluşan $F=\{A\}$ için $\sigma (A)$ ifadesi, $\sigma (\{A\})$ yerine kullanılabilir. Aynı şekilde, $\sigma \left(A_{1},A_{2},\ldots \right)$ yazımı da $\sigma \left(\{A_{1},A_{2},\ldots \}\right)$ anlamında sıkça kullanılır.

Kullanışlı birçok σ-cebiri, farklı kümeler ailelerinden oluşturulur. Bazı yaygın örnekler aşağıda verilmiştir.

Bir fonksiyon tarafından oluşturulan σ-cebiri

Eğer $f$, $X$ kümesinden $Y$ kümesine tanımlı bir fonksiyon ve $B$, $Y$ kümesi üzerinde tanımlı bir σ-cebiri ise, o zaman $f$ fonksiyonu tarafından oluşturulan σ-cebiri şöyle tanımlanır:

$$\sigma (f)=\left\{f^{-1}(S):S\in B\right\}.$$

Yani $\sigma (f)$, $B$’deki tüm kümelerin ters görüntülerinden olşan kümedir. Bu yapı, $X$ kümesi üzerinde bir σ-cebiridir.

Bir $f$ fonksiyonu, $(X,\Sigma )$ ile $(Y,B)$ arasında tanımlanmışsa ve $\sigma (f)\subseteq \Sigma$ ise, o zaman $f$ fonksiyonu ölçülebilir fonksiyon olarak adlandırılır.

En sık karşılaşılan durum, $Y$ kümesinin bir metrik uzay veya topolojik uzay olduğu ve $B$’nin $Y$ üzerindeki Borel σ-cebiri olduğu durumlardır.

Özellikle $f$ fonksiyonu $X\to \mathbb {R} ^{n}$ biçimindeyse, $\sigma (f)$ genellikle $\mathbb {R} ^{n}$ içindeki aralık ya da kutuların ters görüntülerinden türetilen σ-cebiridir:

$$\sigma (f)=\sigma \left(\left\{f^{-1}([a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]):a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).$$

Yararlı bir özellik ise şöyledir: Varsayalım $f$, $(X,\Sigma _{X})$’den $(S,\Sigma _{S})$’ye ölçülebilir bir fonksiyon ve $g$ de $(X,\Sigma _{X})$’den $(T,\Sigma _{T})$’ye ölçülebilir bir fonksiyon olsun. Eğer $f(x)=h(g(x))$ olacak şekilde, $h$ adında $(T,\Sigma _{T})\to (S,\Sigma _{S})$ biçiminde bir ölçülebilir fonksiyon varsa, o zaman, $\sigma (f)\subseteq \sigma (g)$ olur. Ayrıca, $S$ kümesi sonlu ya da sayılabilir ise veya daha genel olarak bir standart Borel uzayı ise (örneğin, ayrılabilir ve tam bir metrik uzay), bu durumda tersi ifade de geçerlidir.

Standart örnekler arasında şunlar vardır:

• $\mathbb {R} ^{n}$ üzerindeki Borel σ-cebiri
• $\mathbb {R} ^{\infty }$ üzerindeki silindir σ-cebiri (aşağıda tanımlanmıştır)

Borel ve Lebesgue σ-cebirleri

Önemli bir örnek, herhangi bir topolojik uzay üzerindeki Borel cebiridir: Bu, açık kümeler (ya da eşdeğer biçimde kapalı kümeler) tarafından oluşturulan σ-cebiridir. Bu σ-cebir, genellikle topolojik uzayın kuvvet kümesi değildir. Aşikar olmayan kümelere örnek olarak Vitali kümesi veya Borel olmayan kümeler verilebilir.

$\mathbb {R} ^{n}$ gibi bir Öklid uzayı üzerinde, bir diğer önemli σ-cebiri, tüm Lebesgue ölçülebilir kümelerin oluşturduğu σ-cebiridir. Bu σ-cebir, $\mathbb {R} ^{n}$ üzerindeki Borel σ-cebirinden daha fazla küme içerir ve integral kuramı açısından daha uygundur çünkü tam ölçülü bir ölçü uzayı sağlar.

Çarpım σ-cebiri

$(X_{1},\Sigma _{1})$ ve $(X_{2},\Sigma _{2})$ iki ölçülebilir uzay olsun. Bu durumda, çarpım uzayı $X_{1}\times X_{2}$ üzerindeki σ-cebire çarpım σ-cebiri ya da σ-cebir çarpımı denir ve şu şekilde tanımlanır:

$$\Sigma _{1}\times \Sigma _{2}=\sigma \left(\left\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}\right\}\right).$$

Buradaki $\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}\}$ koleksiyonu bir π-sistemidir, dolayısıyla bu kümelerden oluşturulan σ-cebir en küçük σ-cebiri olur.

$\mathbb {R} ^{n}$ üzerindeki Borel σ-cebiri aşağıdaki şekillerde üretilebilir:

$${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma \left(\left\{(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}]:b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right)=\sigma \left(\left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{n},b_{n}\right]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).$$

Her iki durumda da, kullanılan üreteç kümeler ailesi bir π-sistemidir.

Silindir kümeleri tarafından oluşturulan σ-cebiri

Varsayalım ki $$X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }=\{f:f(t)\in \mathbb {R} ,\ t\in \mathbb {T} \}$$ şeklinde, gerçel değerli fonksiyonlardan oluşan bir küme olsun. ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ ise gerçel sayılar üzerindeki Borel σ-cebirini göstersin. X'in bir silindir kümesi, yalnızca sonlu sayıda zaman noktasında kısıtlanan kümeler olarak tanımlanır:

$$C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\left\{f\in X:f(t_{i})\in B_{i},\ 1\leq i\leq n\right\}.$$

Her $$\left\{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n}):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\ 1\leq i\leq n\right\}$$ küme ailesi, $t_{1},\dots ,t_{n}$ noktaları sabitlenmiş olmak üzere bir π-sistemi oluşturur ve bunun ürettiği σ-cebir şöyle gösterilir: $\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}.$

Daha sonra, bu π-sistemlerinin tüm zaman indeksleri $t_{i}\in \mathbb {T}$ üzerinden alınarak oluşturduğu $${\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}$$ ailesi bir küme cebiri oluşturur ve bu cebirin oluşturduğu σ-cebir, $X$ kümesi üzerindeki silindir σ-cebiri olarak adlandırılır.

Bu σ-cebir, $\mathbb {R} ^{\mathbb {T} }$ üzerindeki çarpım topolojisi tarafından belirlenen Borel σ-cebirinin bir altcebiridir.

Önemli bir özel durum, $\mathbb {T} =\mathbb {N}$ (doğal sayılar) olduğunda, yani $X$ gerçel değerli diziler kümesi olduğunda ortaya çıkar. Bu durumda, silindir kümeleri aşağıdaki biçimi alır:

$$C_{n}(B_{1},\dots ,B_{n})=\left(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty }\right)\cap X=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots )\in X:x_{i}\in B_{i},\ 1\leq i\leq n\right\}$$ Bunların oluşturduğu σ-cebir ise $$\Sigma _{n}=\sigma \left(\left\{C_{n}(B_{1},\dots ,B_{n}):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\ 1\leq i\leq n\right\}\right)$$ şeklindedir ve bu σ-cebirler azalmayan bir dizi oluşturur.

Yuvar σ-cebiri

Yuvar σ-cebiri, bir metrik uzayda tüm açık (veya kapalı) yuvarları içeren en küçük σ-cebiridir. Bu σ-cebir, hiçbir zaman Borel σ-cebirinden daha büyük değildir.

Not edilmelidir ki ayrılabilir uzaylar için Borel σ-cebiri ile yuvar σ-cebiri aynıdır. Ancak, bazı ayrılabilir olmayan uzaylarda, bazı fonksiyonlar Borel ölçülebilir değildir ama yuvar σ-cebirine göre ölçülebilirdir. Bu durum, özellikle böyle uzaylarda tanımlı fonksiyonların analizi için yuvar σ-cebirinin kullanılmasını değerli kılar.

Bir rasgele değişken veya vektör tarafından oluşturulan σ-cebiri

Varsayalım ki $(\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )$ bir olasılık uzayı olsun.

Eğer $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ fonksiyonu, $\mathbb {R} ^{n}$ üzerindeki Borel σ-cebirine göre ölçülebilir bir fonksiyon ise, $Y$ bir rasgele değişken (n = 1 için) ya da rasgele vektör (n > 1 için) olarak adlandırılır.

Bu durumda, $Y$ tarafından oluşturulan σ-cebiri şudur:

$$\sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\right\}.$$

Bir rasgele süreç tarafından oluşturulan σ-cebiri

Varsayalım ki $(\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )$ bir olasılık uzayı ve $\mathbb {R} ^{\mathbb {T} }$ gerçel değerli fonksiyonların oluşturduğu küme olsun.

Eğer $Y:\Omega \to X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }$ fonksiyonu, $X$ kümesi üzerindeki silindir σ-cebiri $\sigma ({\mathcal {F}}_{X})$’ye göre ölçülebilir ise, o zaman $Y$ bir rasgele süreç ya da stokastik süreç olarak adlandırılır.

Bu durumda, $Y$ tarafından oluşturulan σ-cebiri şu şekilde tanımlanır:

$$\sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma ({\mathcal {F}}_{X})\right\}=\sigma \left(\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\right\}\right).$$

Ayrıca bakınız

• Ölçülebilir fonksiyon
• Örneklem uzayı
• Sigma-toplamalı küme fonksiyonu
• Sigma-halkası

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Kümeler Cebiri", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Sigma Cebiri – PlanetMath sitesinden.