Metrik uzay

Metrik uzay, üzerinde bir uzaklık fonksiyonu tanımlanmış vektör uzayıdır. (X, d) metrik uzay, boş olmayan bir X cümlesi ve bir uzaklık fonksiyonu olup d'den oluşan bir ikilidir.

d(x,y); ∀ x, y ∈ X için tanımlanmış şu dört özelliğe sahip, tek değerli gerçel bir fonksiyondur:

1. $d(x,y)\geq 0\,$
2. $d(x,y)=0\,$ ⟺ $x=y\,$
3. $d(x,y)=d(y,x)\,$
4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

Bu dört özelliğe sahip ise d'ye X üzerinde bir metrik denir. Eğer d, X üzerinde bir metrik ise (X, d) ikilisine bir metrik uzay, d(x, y) reel sayısına da x ile y arasındaki uzaklık denir.

2. ve 4. şartlarına göre, 0 = d(x, x) ≤ d(x, y) + d(y, x) = 2d(x, y) olduğundan ∀ x, y ∈ X için d(x, y) ≥ 0'dır (d, negatif olmayan bir fonksiyondur).