Genişletilmiş gerçel sayılar sistemi

Matematikte genişletilmiş gerçel sayı sistemi gerçel sayılar kümesi ile eksi sonsuz ve artı sonsuzun bileşimi olan kümedir. Bu küme, gerçel sayı sistemi $\mathbb {R}$ye her gerçel sayıdan büyük olan $+\infty$ ve her gerçel sayıdan küçük olan $-\infty$'un eklenmesiyle elde edilen sayı sistemidir. Böylelikle, artı sonsuza artan veya eksi sonsuza azalan dizilerin en küçük üst sınırı ya da en büyük alt sınırı anlamlı bir hâle getirilmiş olur. Türev ve integral hesabında ve analizde, $+\infty$ ve $-\infty$'un gerçek limit olarak kullanılmasıyla hesaplamalar önemli ölçüde genişler. Genişletilmiş gerçel sayı sistemi gerçel sayıların Dedekind-MacNeille tamlaştırılmasıdır.

Genişletilmiş gerçel sayı sistemi ${\overline {\mathbb {R} }}$ ile gösterilir. Kullanılan diğer gösterimler arasında $[-\infty ,+\infty ]$ ve $\mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}$ gösterimleri de vardır. Hatta, $+\infty$ kullanımının anlaşıldığı durumlarda bu gösterimin yerine sadece $\infty$ gösterimi de kullanılır.

Ayrıca, projektif genişletilmiş gerçel sayılar doğrusu da vardır. Bu sayı doğrusunda $+\infty$ ve $-\infty$ ayrıt edilmez ve hem sonsuza artan diziler hem de sonsuza azalan diziler için sadece $\infty$ ile gösterilen tek bir gerçek sonsuzluk vardır.