Sayı doğrusu

Doğal sayıların sayı doğrusu üzerindeki sırası

Bir sayı doğrusu, sayıların mekansal bir temsili olarak hizmet eden bir doğrunun grafiksel gösterimidir. Genellikle sıfır sayısını temsil eden belirli bir başlangıç noktası (orijin) ve her iki yönde tam sayıları temsil eden eşit aralıklı işaretlerle, sonsuza kadar uzandığı hayal edilen bir cetvel gibi derecelendirilir.

Doğru üzerindeki sayılar ve noktalar arasındaki ilişki, sayılar üzerindeki aritmetik işlemleri noktalar arasındaki geometrik ilişkilere bağlar ve matematik öğrenimi için kavramsal bir çerçeve sağlar.

Temel matematikte, sayı doğrusu başlangıçta tam sayıların, özellikle de negatif sayıların toplama ve çıkarma işlemlerini öğretmek için kullanılır.

Öğrenciler ilerledikçe, kesirler, ondalık kesirler, karekökler ve daire sabiti π gibi aşkın sayılar dahil olmak üzere daha fazla sayı türü doğru üzerine yerleştirilebilir: Sayı doğrusunun her noktası benzersiz bir reel sayıya karşılık gelir ve her reel sayı da benzersiz bir noktaya karşılık gelir.

Bir sayı doğrusu kullanılarak, sayısal kavramlar geometrik olarak ve geometrik kavramlar sayısal olarak yorumlanabilir. Sayılar arasındaki bir eşitsizlik, noktalar arasındaki sol veya sağ sıralama ilişkisine karşılık gelir. Sayısal aralıklar, doğrunun geometrik parçalarıyla ilişkilendirilir. Sayılar üzerindeki işlemler ve fonksiyonlar, doğrunun geometrik transformasyonarına karşılık gelir. Doğrunun bir çember haline getirilmesi, modüler aritmetiği açıların geometrik bileşimiyle ilişkilendirir. Doğrunun logaritmik olarak aralıklı derecelendirmelerle işaretlenmesi, çarpma ve bölme işlemlerini geometrik ötelemelerle ilişkilendirir ki bu, sürgülü hesap cetvelinin (sürgülü cetvel) altında yatan ilkedir. Analitik geometride, koordinat eksenleri, geometrik bir uzaydaki noktaları sayı demetleri (n-ililer) ile ilişkilendiren sayı doğrularıdır; böylece geometrik şekiller sayısal denklemler kullanılarak tanımlanabilir ve sayısal fonksiyonların grafiği çizilebilir.

İleri matematikte, sayı doğrusu genellikle reel doğru veya reel sayı doğrusu olarak adlandırılır ve genellikle kendisiyle bir tutulan reel sayılar kümesi ile eşyapılı (izomorfik) geometrik bir doğrudur; hem reel sayılar hem de reel doğru yaygın olarak R veya $\mathbb {R}$ ile gösterilir. Reel doğru bir-boyutlu bir reel koordinat uzayıdır, bu nedenle daha yüksek boyutlu uzaylarla karşılaştırılırken bazen R¹ olarak gösterilir. Reel doğru, doğru üzerindeki noktalar arasındaki uzaklığı tanımlamak için sayılar arasındaki farkı kullanan bir boyutlu bir Öklid uzayıdır. Ayrıca bir vektör uzayı, bir metrik uzay, bir topolojik uzay, bir ölçü uzayı veya bir doğrusal sürekli ortam (linear continuum) olarak da düşünülebilir. Reel doğru, karmaşık sayıların iki boyutlu geometrik gösterimi olarak kullanılan karmaşık düzleme gömülebilir.

Tarihçe

Sayı doğrusunun işlemsel amaçlarla kullanıldığına dair ilk ifade, John Wallis'in Treatise of Algebra (Cebir Tezi) (1685) adlı eserinde bulunur. Tezi içerisinde Wallis, sayı doğrusu üzerinde toplama ve çıkarma işlemlerini, yürüyen bir insan metaforu altında ileri ve geri hareket etme şeklinde tanımlar. İşlemlerden bahsedilmeyen daha erken bir tasvir ise John Napier'in A Description of the Admirable Table of Logarithmes (1616) adlı eserinde bulunur; burada 1'den 12'ye kadar olan değerler soldan sağa doğru sıralanmıştır.

Yaygın inanışın aksine, René Descartes'ın orijinal Fransızca: La Géométrie adlı eseri, bir koordinat sistemi kullanmasına rağmen bugün kullandığımız şekliyle tanımlanmış bir sayı doğrusu içermez. Özellikle, Descartes'ın çalışması doğrular üzerine eşlenmiş belirli sayıları değil, yalnızca soyut nicelikleri içerir.

Sayı doğrusunun çizimi

Bir sayı doğrusu genellikle yatay olarak temsil edilir, ancak Kartezyen koordinat düzleminde dikey eksen (y-ekseni) de bir sayı doğrusudur. Doğru üzerindeki ok, sayıların arttığı pozitif yönü gösterir. Bazı ders kitapları her iki tarafa da ok koyarak okun devamlılığı gösterdiğini öne sürer. Bu gereksizdir, çünkü geometri kurallarına göre uç noktaları olmayan bir doğru pozitif ve negatif yönlerde sonsuza kadar devam eder. Bir uç noktası olan doğruya ışın, iki uç noktası olan doğruya ise doğru parçası denir.

Sayıların karşılaştırılması

Sayı doğrusu üzerinde belirli bir sayı başka bir sayının daha sağında yer alıyorsa, ilk sayı ikinciden büyüktür (eşdeğer olarak, ikinci sayı birinciden küçüktür). Aralarındaki mesafe, farklarının büyüklüğüdür; yani bu, birinci sayı eksi ikinci sayıyı veya eşdeğer olarak ikinci sayı eksi birinci sayının mutlak değerini ölçer. Bu farkı alma işlemi çıkarma işlemidir.

Böylece, örneğin, 0 ile başka bir sayı arasındaki bir doğru parçasının uzunluğu, o sayının büyüklüğünü temsil eder. İki sayı, 0'dan sayılardan birine kadar olan uzunluğun "alınması" ve 0 olan ucun diğer sayının üzerine gelecek şekilde tekrar yerleştirilmesiyle toplanabilir. İki sayı şu örnekteki gibi çarpılabilir: 5 × 3 işlemini yapmak için, bunun 5 + 5 + 5 ile aynı olduğunu not edin; bu yüzden 0'dan 5'e kadar olan uzunluğu alın ve 5'in sağına yerleştirin, ardından bu uzunluğu tekrar alıp önceki sonucun sağına yerleştirin. Bu, her biri 5 olan 3 birleştirilmiş uzunlukluktan oluşan bir sonuç verir; işlem 15'te bittiğinden, 5 × 3 = 15 sonucunu buluruz.

Bölme işlemi şu örnekteki gibi yapılabilir: 6'yı 2'ye bölmek için —yani 2'nin 6'nın içinde kaç kez olduğunu bulmak için— 0'dan 2'ye kadar olan uzunluğun, 0'dan 6'ya kadar olan uzunluğun başlangıcında yer aldığını not edin; ilk uzunluğu alın ve orijinal konumunun sağına, eskiden 0'da olan ucu şimdi 2'ye gelecek şekilde tekrar koyun ve ardından uzunluğu son konumunun sağına tekrar taşıyın. Bu, 2 uzunluğunun sağ ucunu, 0'dan 6'ya kadar olan uzunluğun sağ ucuna yerleştirir. Üç adet 2 uzunluğu 6 uzunluğunu doldurduğundan, 2, 6'nın içinde üç kez vardır (yani, 6 ÷ 2 = 3).

• 
  Sayı doğrusunda sıralama: Daha büyük elemanlar ok yönündedir.
• 
  Reel sayı doğrusu üzerinde 3−2=3+(−2) fark işlemi
• 
  Reel sayı doğrusu üzerinde 1+2 toplama işlemi
• 
  Mutlak fark.
• 
  Reel sayı doğrusu üzerinde 2×1.5 çarpma işlemi
• 
  Reel sayı doğrusu üzerinde 3÷2 bölme işlemi

Sayı doğrusunun bölümleri

Kapalı aralık [a,b].

Sayı doğrusunun iki sayı arasındaki kesitine aralık denir. Eğer kesit her iki sayıyı da içeriyorsa buna kapalı aralık, her iki sayıyı da hariç tutuyorsa açık aralık denir. Eğer sayılardan birini içerip diğerini içermiyorsa, buna yarı açık aralık denir. Belirli bir noktadan bir yöne doğru sonsuza kadar uzanan tüm noktalar topluca bir ışın olarak bilinir. Eğer ışın o belirli noktayı içeriyorsa kapalı ışın, aksi takdirde açık ışındır.

Kavramın genişletilmesi

Logaritmik ölçek

Ana madde: Logaritmik ölçek

y = x (mavi), y = x² (yeşil) ve y = x³ (kırmızı) fonksiyonlarının log-log grafiği.
Eksenlerin her birindeki logaritmik ölçek işaretlerine ve log x ile log y eksenlerinin (logaritmaların 0 olduğu yerler) x ve y değerlerinin kendilerinin 1 olduğu yerler olduğuna dikkat edin.

Sayı doğrusu üzerinde, iki nokta arasındaki mesafe, ancak ve ancak temsil edilen sayıların farkı 1'e eşitse birim uzunluktur. Başka seçimler de mümkündür. En yaygın seçimlerden biri, pozitif sayıların bir doğru üzerinde temsili olan logaritmik ölçektir; burada iki nokta arasındaki mesafe, temsil edilen sayıların oranı sabit bir değere (tipik olarak 10) sahipse birim uzunluktadır. Böyle bir logaritmik ölçekte, başlangıç noktası (orijin) 1'i temsil eder; bir birim sağda 10 bulunur, 10'un bir birim sağında 10×10 = 100, sonra 10×100 = 1000 = 10³, sonra 10×1000 = 10.000 = 10⁴ vb. bulunur. Benzer şekilde, 1'in bir birim solunda 1/10 = 10^–1, sonra 1/100 = 10^–2 vb. bulunur.

Bu yaklaşım, çok farklı büyüklük mertebelerine sahip değerleri aynı şekil üzerinde temsil etmek istendiğinde yararlıdır. Örneğin, Evren'de var olan farklı cisimlerin boyutlarını; tipik olarak bir foton, bir elektron, bir atom, bir molekül, bir insan, Dünya, Güneş Sistemi, bir galaksi ve görünür Evren'i aynı anda temsil etmek için logaritmik bir ölçek gerekir. Logaritmik ölçekler, logaritmik ölçeklerdeki uzunlukları toplayarak veya çıkararak sayıları çarpmak veya bölmek için sürgülü hesap cetvellerinde kullanılır.

Bir sürgülü hesap cetvelinin iki logaritmik ölçeği

Sayı doğrularını birleştirme

Reel sayı doğrusuna başlangıç noktasından dik açıyla çizilen bir doğru, sanal sayıları temsil etmek için kullanılabilir. Sanal doğru olarak adlandırılan bu doğru, sayı doğrusunu, noktaların karmaşık sayıları temsil ettiği bir karmaşık sayı düzlemine genişletir. Alternatif olarak, yaygın olarak x olarak adlandırılan bir reel sayının olası değerlerini göstermek için yatay bir reel sayı doğrusu çizilebilir ve yaygın olarak y olarak adlandırılan başka bir reel sayının olası değerlerini göstermek için dikey başka bir reel sayı doğrusu çizilebilir. Bu doğrular birlikte Kartezyen koordinat sistemi olarak bilinen sistemi oluşturur ve düzlemdeki herhangi bir nokta bir çift reel sayının değerini temsil eder. Ayrıca, Kartezyen koordinat sistemi, z adı verilen üçüncü bir değişkeni ölçen ve "ekrandan (veya sayfadan) dışarı çıkan" üçüncü bir sayı doğrusu görselleştirilerek genişletilebilir. Pozitif sayılar izleyicinin gözlerine ekrandan daha yakındır, negatif sayılar ise "ekranın arkasındadır"; daha büyük sayılar ekrandan daha uzaktadır. O halde, içinde yaşadığımız üç boyutlu uzaydaki herhangi bir nokta, bir üçlü reel sayının değerlerini temsil eder.

İleri kavramlar

Doğrusal süreklilik olarak

Reel sayı doğrusu üzerindeki her kümenin bir supremumu vardır.

Reel doğru, standart < sıralaması altında bir doğrusal sürekliliktir. Özellikle, gerçel doğru < ile doğrusal olarak sıralanmıştır ve bu sıralama yoğundur ve en küçük üst sınır özelliğine (supremum özelliği) sahiptir. Yukarıdaki özelliklere ek olarak, reel doğrunun en büyük elemanı veya en küçük elemanı yoktur. Ayrıca sayılabilir bir yoğun alt kümeye, yani rasyonel sayılar kümesine sahiptir. Sayılabilir yoğun bir alt kümesi olan ve en büyük veya en küçük elemanı olmayan herhangi bir doğrusal sürekliliğin reel doğruya sıra-eşyapılı (order-isomorphic) olduğu bir teoremdir.

Reel doğru aynı zamanda sayılabilir zincir koşulunu da sağlar (countable chain condition): R içindeki karşılıklı olarak ayrık, boş olmayan açık aralıkların her koleksiyonu sayılabilirdir. Sıra teorisinde, ünlü Suslin problemi, sayılabilir zincir koşulunu sağlayan ve en büyük veya en küçük elemanı olmayan her doğrusal sürekliliğin zorunlu olarak R ile sıra-eşyapılı olup olmadığını sorar. Bu ifadenin, ZFC olarak bilinen küme teorisinin standart aksiyomatik sisteminden bağımsız olduğu gösterilmiştir.

Metrik uzay olarak

Gerçel doğru üzerindeki metrik, mutlak farktır.

a sayısı etrafındaki bir ε-yuvarı

Gerçel doğru, mutlak fark ile verilen uzaklık fonksiyonu ile bir metrik uzay oluşturur:

$d(x,y)=|x-y|.$

Metrik tensör açıkça 1-boyutlu Öklid metriğidir. n-boyutlu Öklid metriği matris formunda n-e-n birim matris olarak temsil edilebildiğinden, reel doğru üzerindeki metrik basitçe 1-e-1 birim matristir, yani 1'dir.

Eğer p ∈ R ve ε > 0 ise, R içinde p merkezli ε-yuvarı, basitçe (p − ε, p + ε) açık aralığıdır.

Bu reel doğru, bir metrik uzay olarak birkaç önemli özelliğe sahiptir:

• Reel doğru, noktaların herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsaması anlamında tam metrik uzaydır.
• Reel doğru yol bağlantılıdır (path-connectedness) ve jeodezik metrik uzayın en basit örneklerinden biridir.
• Reel doğrunun Hausdorff boyutu bire eşittir.

Topolojik uzay olarak

Reel doğru, bir sonsuzdaki nokta eklenerek kompaktlaştırılabilir.

Reel doğru, iki farklı eşdeğer yolla tanıtılabilen standart bir topoloji taşır. İlk olarak, reel sayılar tam sıralı olduğundan, bir sıralama topolojisi taşırlar. İkinci olarak, gerçel sayılar yukarıda tanımlanan metrikten bir metrik topoloji devralırlar. R üzerindeki sıra topolojisi ve metrik topoloji aynıdır. Bir topolojik uzay olarak, gerçel doğru (0, 1) açık aralığına homeomorfiktir.

Reel doğru, trivial bir şekilde 1 boyutlu bir topolojik manifolddur. Homeomorfizmaya kadar, sınırı olmayan sadece iki farklı bağlantılı 1-manifolddan biridir, diğeri ise çemberdir. Ayrıca üzerinde standart bir türevlenebilir yapı vardır, bu da onu bir türevlenebilir manifold yapar. ( Difeomorfizme kadar, topolojik uzayın desteklediği tek bir türevlenebilir yapı vardır.)

Reel doğru, yerel kompakt bir uzay ve parakompakt bir uzaydır, ayrıca ikinci sayılabilir (second-countable) ve normaldir. Aynı zamanda yol-bağlantılıdır (path-connected) ve bu nedenle bağlantılıdır, ancak herhangi bir nokta çıkarılarak bağlantısız hale getirilebilir. Reel doğru ayrıca büzülebilirdir ve bu nedenle tüm homotopi grupları ve indirgenmiş homoloji grupları sıfırdır.

Yerel kompakt bir uzay olarak, reel doğru birkaç farklı şekilde kompaktlaştırılabilir. R'nin tek nokta kompaktlaştırması bir çemberdir (yani, reel izdüşümsel doğru) ve eklenen nokta işaretsiz bir sonsuzluk olarak düşünülebilir. Alternatif olarak, reel doğrunun iki ucu vardır ve ortaya çıkan uç kompaktlaştırması genişletilmiş reel sayı doğrusu [−∞, +∞] olur. Ayrıca, sonsuz sayıda ek nokta eklemeyi içeren gerçel doğrunun Stone–Čech kompaktlaştırması da vardır.

Bazı bağlamlarda, reel sayılar kümesine alt limit topolojisi veya Zariski topolojisi gibi başka topolojiler yerleştirmek yararlıdır. Reel sayılar için ikincisi, sonlu tümleyenler topolojisi ile aynıdır.

Vektör uzayı olarak

Reel doğru üzerindeki noktalar ve vektörler arasındaki birebir eşleme

Reel doğru, reel sayılar (yani kendisi) cismi R üzerinde 1 boyutlu bir vektör uzayıdır. Bir iç çarpım olarak olağan çarpmaya sahiptir, bu da onu bir Öklid vektör uzayı yapar. Bu iç çarpım tarafından tanımlanan norm basitçe mutlak değerdir.

Ölçü uzayı olarak

Reel doğru kanonik bir ölçü taşır, yani Lebesgue ölçüsü. Bu ölçü, herhangi bir aralığın ölçüsünün aralığın uzunluğu olduğu, R üzerinde tanımlanmış bir Borel ölçüsünün tamamlanması olarak tanımlanabilir. Reel doğru üzerindeki Lebesgue ölçüsü, yerel kompakt grup üzerindeki bir Haar ölçüsünün en basit örneklerinden biridir.

Reel cebirlerde

A bir birimli reel cebir olduğunda, reel sayıların 1 ile çarpımları cebir içinde bir reel doğrudur. Örneğin, z = x + iy karmaşık düzleminde, {z : y = 0} alt uzayı bir reel doğrudur. Benzer şekilde, kuaterniyonlar cebiri

q = w + x i + y j + z k

{q : x = y = z = 0} alt uzayında bir reel doğruya sahiptir. Reel cebir bir direkt toplam $A=R\oplus V$ olduğunda, V alt uzayının $v\to -v$ eşlemesiyle A üzerinde bir eşlenik (conjugation) tanıtılır. Bu şekilde reel doğru, eşleniğin sabit noktalarından oluşur. n boyutu için, kare matrisler, halkadaki birim matris ile reel çarpımlar biçiminde bir reel doğruya sahip olan bir halka oluşturur.

Ayrıca bakınız

• Kronoloji
• Genişletilmiş gerçel sayı doğrusu
• Doğru (geometri)

Konuyla ilgili yayınlar

• Munkres, James (1999). Topology (2nd bas.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
• Rudin, Walter (1966). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-100276-6. 

Dış bağlantılar

• Wikimedia Commons'ta Sayı doğrusu ile ilgili çoklu ortam belgeleri bulunur