Cauchy dizisi

Augustin Cauchy

Cauchy dizisi tanımı

$(x_{n})_{n}$ bir gerçel sayı dizisi olsun. Eğer her $\epsilon >0$ için,

$|x_{n}-x_{m}|<\epsilon$ eşitsizliğinin her $n,m>N$ ($N\in \mathbb {N}$) için sağlandığı bir $N$ göstergeci varsa, $(x_{n})_{n}$ dizisine Cauchy dizisi denir.

Cauchy dizisi ile ilgili teoremler

Her yakınsak dizi Cauchy dizisidir

İspat:

$(x_{n})_{n}$ yakınsak bir gerçel sayı dizisi ve $\epsilon >0$ herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. Dizinin limitine $a$ diyelim. Demek ki, öyle bir $N$ doğal sayısı vardır ki, her $n>N$ için,

$|x_{n}-a|<{\dfrac {\epsilon }{2}}$ olur. Dolayısıyla, $n,m>N$ için, $|x_{n}-x_{m}|=|(x_{n}-a)-(x_{m}-a)|\leq |x_{n}-a|+|x_{m}-a|<{\dfrac {\epsilon }{2}}+{\dfrac {\epsilon }{2}}=\epsilon$ olur ve kanıt biter $\Box$.

Her Cauchy dizisi sınırlıdır

İspat:

$(x_{n})_{n}$ bir Cauchy dizisi olsun. Tanımdaki $\epsilon$'u, $\epsilon =1$ seçelim. Demek ki, öyle bir $N$ göstergeci vardır ki, her $n,m>N$ için,

$|x_{n}-x_{m}|<1$ olur. Demek ki, her $n>N$ için, $|x_{n}-x_{N+1}|$ olur; bir başka deyişle,

$x_{N+1}-1<x_{n}<x_{N+1}+1$ olur.

$b=\max\{x_{0},x_{1},...,x_{N},x_{N+1}+1\}$ ve $a=\min\{x_{0},x_{1},...,x_{N},x_{N+1}-1\}$ diye tanımlayalım.

O zaman, her için, $a<x_{n}<b$ olur ve ispat biter $\Box$.

Bir Cauchy dizisinin her altdizisi Cauchy'dir

İspat:

$(x_{n})_{n}$, bir Cauchy dizisi, $(x_{n_{k}})_{k}$ dizisi de bu dizinin altdizisi olsun.$\epsilon >0$ herhangi bir sayı olsun.Öyle bir $N$ var ki, her $n,m>N$ için, $|x_{n}-x_{m}|<\epsilon$ dir.

Eğer $k,l>N$ ise $N<k\leq n_{k}$ ve $N<l\leq n_{l}$ olduğundan, $|x_{n_{k}}-x_{n_{l}}|<\epsilon$ olur. $\Box$.

Bir Cauchy dizisinin bir altdizisi yakınsaksa dizinin kendisi de yakınsaktır ve her iki dizi de aynı limite yakınsar

İspat:

$(x_{n})_{n}$ Cauchy dizisi olsun ve $(x_{n_{k}})_{k}$ bu dizinin altdizisi olsun. Teoremde belirtildiği üzere bu altdizi yakınsakmış (diyelim ki "$a\in \mathbb {R}$" ya yakınsasın), tanımı yazarsak,

$n_{k},k>N$ ve $\forall \epsilon >0$ için $|x_{n_{k}}-a|<\epsilon /2$ önermesi doğrudur. Kanıtlamak istediğimiz $\forall \epsilon >0$ için $|x_{n}-a|<\epsilon$ önermesi olduğundan bu önermeyi açalım;

$|x_{n}-a|=|(x_{n}-x_{n_{k}})+(x_{n_{k}}-a)|\leq \underbrace {|x_{n}-x_{n_{k}}|} _{1}+\underbrace {|x_{n_{k}}-a|} _{2}$

2. ifade altdizinin tanımından dolayı $\epsilon /2$'den küçüktür,

1. ifade ise, $n_{k}>n>N$ olduğundan bir Cauchy dizisidir ve $|x_{n}-x_{n_{k}}|<\epsilon /2$ olarak doğrudur.

İspatlamak istediğimiz ifadeyi tekrar yazarsak,

$n_{k}>n>N$ ve $\forall \epsilon >0$ için $|x_{n}-a|\leq |x_{n}-x_{n_{k}}|+|x_{n_{k}}-a|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon$

ve ispat biter $\Box$.

Her Cauchy dizisinin $\mathbb {R}$'de bir limiti vardır

İspat: $(x_{n})_{n}$ verilmiş bir Cauchy dizisi olsun.(Yukarıdaki teoremleri ve verilen kaynaklardaki teoremleri kullanarak.)

1. $(x_{n})_{n}$'nin monoton bir $(y_{n})_{n}$ altdizisi bulunur.
2. $(x_{n})_{n}$ bir Cauchy dizisi olduğundan sınırlıdır. Demek ki $(y_{n})_{n}$ altdizisi de sınırlıdır.
3. Monoton ve sınırlı olduğundan, $(y_{n})_{n}$ dizisi yakınsaktır.
4. $1,2,3$ maddelerden, $(x_{n})_{n}$ dizisinin yakınsak olduğu görülür.

Dolayısıyla, $\mathbb {R}$ tamdır ve ispat biter. $\Box$.

Formal ispat:

$\mathbb {R}$'de (hatta metrik uzaylarda) yakınsak her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek kolay. Bu yüzden $\mathbb {R}$'deki herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu gösterirsek ispat biter. Burada gerçel sayılar kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu varsayıyoruz. Farklı metrikler söz konusu olduğunda iddia doğru olmayabilir.

$(x_{n})_{n},\ \mathbb {R}$'de bir Cauchy dizisi ve $\epsilon >0$ olsun.

$\left.{\begin{array}{rr}(x_{n})_{n}\in \mathbb {R^{N}} {\text{ Cauchy dizisi}}\\\epsilon >0\end{array}}\right\}\Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n,m\geq N(\epsilon ))\left(|x_{n}-x_{m}|<{\frac {\epsilon }{2}}\right)$

$\Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(|x_{n}-x_{N(\epsilon )}|<{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)$

$\Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(x_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}}<x_{n}<x_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)$

$\Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(x_{n}\in A:=\left(x_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}},x_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)\right)$

$\Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(x_{n}\in B_{N}:=\left\{x_{N(\epsilon )},x_{N(\epsilon )+1},x_{N(\epsilon )+2},...\right\}\subseteq A\right)$

$\Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))(|B_{N}|\leq \aleph _{0})\left(x_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}}\in B_{N}^{l}\neq \emptyset \right)\left(x_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\in B_{N}^{u}\neq \emptyset \right)$

$\Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))(\exists x\in \mathbb {R} )(x=\sup {B_{N}})\left(x_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}}\leq x\leq x_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)$

$\Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(|x-x_{N(\epsilon )}|\leq {\dfrac {\epsilon }{2}}\right)$

$\Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(|x_{n}-x|\leq |x_{n}-x_{N(\epsilon )}|+|x_{N(\epsilon )}-x|<{\dfrac {\epsilon }{2}}+{\dfrac {\epsilon }{2}}=\epsilon \right).$ $\Box$

Dipnotlar

https://web.archive.org/web/20170111210130/http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22

Apostol-Mathematical_Analysis[Tom_M.Apostol] Second_Edition.

Temel Analiz(Analiz I(Bir))-[Ali Nesin]

http://matkafasi.com/20940/ustten-sinirli-ve-artan-bir-dizinin-limiti-vardir 16 Nisan 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

http://matkafasi.com/106636/dizisinin-mathbb-limiti-vardir-yakinsak-cauchy-dizisidir 31 Temmuz 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.