Sonsuzdaki nokta
Geometride, sonsuzdaki nokta veya ideal nokta, her doğrunun "ucundaki" idealleştirilmiş bir limit noktasıdır.
Afin düzlem (örneğin Öklid düzlemi) durumunda, düzlemin paralel doğrularından oluşan her demet için bir ideal nokta vardır. Bu noktaların eklenmesi bir izdüşümsel düzlem (projective plane) oluşturur; burada hangi noktaların eklendiğini "unutursak", hiçbir nokta diğerinden ayırt edilemez. Bu durum, herhangi bir cisim üzerindeki ve daha genel olarak herhangi bir bölme halkası üzerindeki geometri için geçerlidir.[1]
Reel durumda, sonsuzdaki bir nokta, bir doğruyu topolojik olarak kapalı bir eğriye tamamlar. Daha yüksek boyutlarda, tüm sonsuzdaki noktalar, ait oldukları tüm izdüşümsel uzaydan bir boyut daha düşük bir izdüşümsel alt uzay oluşturur. Sonsuzdaki bir nokta, karmaşık doğruya (karmaşık düzlem olarak da düşünülebilir) eklenebilir ve böylece onu karmaşık izdüşümsel doğru, CP1 veya (karmaşık sayılar her noktaya eşlendiğinde) Riemann küresi olarak bilinen kapalı bir yüzeye dönüştürür.
Hiperbolik uzay durumunda, her doğrunun iki ayrı ideal noktası vardır. Burada, ideal noktalar kümesi bir kuadrik biçimini alır.
Afin geometri
[değiştir | kaynağı değiştir]Daha yüksek boyutlu bir afin veya Öklid uzayında, sonsuzdaki noktalar, izdüşümsel tamamlamayı elde etmek için uzaya eklenen noktalardır. Sonsuzdaki noktalar kümesi, uzayın boyutuna bağlı olarak sonsuzdaki doğru, sonsuzdaki düzlem veya sonsuzdaki hiperdüzlem olarak adlandırılır; her durumda bu, bir alt boyutta bir izdüşümsel uzaydır.[2]
Bir cisim üzerindeki izdüşümsel uzay bir pürüzsüz cebirsel çeşitleme (smooth algebraic variety) olduğu gibi, sonsuzdaki noktalar kümesi de öyledir. Benzer şekilde, eğer temel cisim reel veya karmaşık cisim ise, sonsuzdaki noktalar kümesi bir manifolddur.
Perspektif
[değiştir | kaynağı değiştir]Sanatsal çizim ve teknik perspektifte, bir paralel doğrular sınıfının sonsuzdaki noktasının resim düzlemi üzerindeki izdüşümüne, bu doğruların kaçış noktası (vanishing point) denir.[3]
Hiperbolik geometri
[değiştir | kaynağı değiştir]Hiperbolik geometride, sonsuzdaki noktalar genellikle ideal noktalar olarak adlandırılır.[4] Öklid geometrisi ve Eliptik geometriden farklı olarak, her doğrunun sonsuzda iki noktası vardır: bir l doğrusu ve l üzerinde olmayan bir P noktası verildiğinde, sağ ve sol limit paraleller asimptotik olarak sonsuzdaki farklı noktalara yakınsar. Tüm sonsuzdaki noktalar birlikte Cayley mutlağını veya bir hiperbolik düzlemin sınırını oluşturur.
İzdüşümsel geometri
[değiştir | kaynağı değiştir]Bir izdüşümsel düzlemde noktaların ve doğruların simetrisi ortaya çıkar: tıpkı bir nokta çiftinin bir doğruyu belirlemesi gibi, bir doğru çifti de bir noktayı belirler. Paralel doğruların varlığı, bu paralellerin kesişimini temsil eden bir sonsuzdaki noktanın oluşturulmasına yol açar. Bu aksiyomatik simetri, bir paralel izdüşümün, merkezi C sonsuzdaki bir nokta veya figüratif nokta olan bir merkezi izdüşüm olarak ortaya çıktığı grafik perspektif çalışmasından doğmuştur.[5] Noktaların ve doğruların bu aksiyomatik simetrisine dualite denir.
Sonsuzdaki bir nokta, bir projektif aralıktaki diğer herhangi bir noktayla eşdeğer kabul edilse de, noktaların projektif koordinatlarla (homojen koordinatlar) temsilinde bir ayrım not edilir: sonlu noktalar son koordinatta 1 ile temsil edilirken, sonsuzdaki bir nokta orada 0'a sahiptir. Sonsuzdaki noktaları temsil etme ihtiyacı, sonlu noktalar uzayının ötesinde fazladan bir koordinatın gerekli olmasını gerektirir.
Diğer genelleştirmeler
[değiştir | kaynağı değiştir]Bu yapı topolojik uzaylara genelleştirilebilir. Belirli bir uzay için farklı kompaktlaştırmalar mevcut olabilir, ancak keyfi bir topolojik uzay, orijinal uzayın kendisi kompakt olmadığında tek nokta kompaktlaştırması olarak da adlandırılan Alexandroff genişlemesini kabul eder. Projektif doğru (keyfi bir cisim üzerinde), karşılık gelen cismin Alexandroff genişlemesidir. Böylece, çember reel doğrunun tek nokta kompaktlaştırmasıdır ve küre düzlemin tek nokta kompaktlaştırmasıdır.
n > 1 için izdüşümsel uzaylar Pn, § afin geometri başlığı altında belirtilen nedenden dolayı, karşılık gelen afin uzayların tek nokta kompaktlaştırmaları değildir ve ideal noktalara sahip hiperbolik uzayların tamamlamaları da tek nokta kompaktlaştırmaları değildir.
Ayrıca bakınız
[değiştir | kaynağı değiştir]Kaynakça
[değiştir | kaynağı değiştir]- ^ Weisstein, Eric W. "Point at Infinity". mathworld.wolfram.com (İngilizce). Wolfram Research. Erişim tarihi: 28 Aralık 2016.
- ^ Coxeter, H. S. M. (1987). Projective Geometry (2. bas.). Springer-Verlag. s. 109. ISBN 978-0-387-40623-7. 6 Mart 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Şubat 2026.
- ^ Faugeras, Olivier; Luong, Quang-Tuan (2001). The Geometry of Multiple Images: The Laws That Govern the Formation of Multiple Images of a Scene and Some of Their Applications. MIT Press. s. 19. ISBN 978-0262062206.
- ^ Kay, David C. (2011). College Geometry: A Unified Development. CRC Press. s. 548. ISBN 978-1-4398-9522-1.
- ^ Halsted, G. B. (1906). Synthetic Projective Geometry. New York Wiley. s. 7.