Eşitsizlikler

Örnek bir eşitsizlik grafiği.

Temel cebirde eşitsizlik, iki değer arasındaki farkı ifade eden bir ilişkidir ve $\leq ,<,\geq ,>$ gibi sembollerle gösterilir.

• a ≠ b gösterimi; "a eşit değildir b". Birinin diğerinden daha büyük veya küçük olduğunu yani iki elemanın birbirine eşit olmadığını ifade eder.

Ögeleri (elemanları) tam sayı veya reel sayılardan oluşan bir denklemin değerleri büyüklüklerine göre karşılaştırılır.

• a < b gösterimi; "a küçüktür b" anlamına gelir.
• a > b gösterimi; "a büyüktür b" anlamına gelir.

Her iki durumda da "a, b ye eşit değildir".

Tamamen eşitsiz olmayan iki tür vardır.

• a ≤ b gösterimi; "a, küçük eşittir b".
• a ≥ b gösterimi; "a, büyük eşittir b".

Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir ya da aynı sayı çıkarılırsa eşitsizlik bozulmaz.

Eşitsizlik gibi denklem ve diğer cebirsel ifadelerde de bu kural geçerlidir. İfadenin çözümü için gerekli olan temel prensip de budur. Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya negatif bir sayıya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

$x+6<9$ bu bir eşitsizlik örneğidir. Çözümü için her iki taraf $-6$ ile toplanır böylece:

$x<3$ olur.

Buradan şu sonuç çıkarılır: $x$ sayısı $3$ ile $-\infty$(eksi sonsuz) arasındadır.

Bu durum şu şekilde gösterilir: $(\ -\infty ,3\ )$

Büyük eşittir, küçük eşittir

Bu sembollerde de büyüktür ve küçüktürdeki gibi işlemler yapılır ancak gösterim şekli ve kapsadığı sayılar biraz farklıdır.

$x+6\leq 9$

şimdi bu örnekte $x$i yalnız bırakıldığında, $x\leq 3$ olur yani sistem aynı ancak gösterimde minik bir farklılık vardır.

Bu sefer $3$ de dahil $-\infty$ a giden sayılar vardır.

Yani şöyle:

$(\ -\infty ,3]$ $3$'ün yanında köşeli parantez kullanılmasının sebebi aradaki işaretin $\leq$ olmasıdır.

Ortalamalar arasındaki eşitsizlikler

Ortalamalar arasında birçok eşitsizlik vardır. Örneğin; a₁, a₂, …, a_n pozitif sayıları için H ≤ G ≤ A ≤ Q olur, şöyle ki:

$H={\frac {n}{1/a_{1}+1/a_{2}+\cdots +1/a_{n}}}$	(harmonik ortalama),
$G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}$	(geometrik ortalama),
$A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$	(aritmetik ortalama),
$Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}$	(karekök ortalama).