Hölder eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde Hölder eşitsizliği L^p uzaylarının çalışılmasında sıklıkla kullanılan temel eşitsizliklerden birisidir. Eşitsizlik, Alman matematikçi Otto Hölder'in adını taşımaktadır.

Hölder eşitsizliği, L^p(μ) uzayındaki üçgen eşitsizliği olan Minkowski eşitsizliğini kanıtlarken ve ayrıca, $p\in [1,\infty )$ ve $p$ ve $q$ birbirinin Hölder eşleniği olmak üzere, L^q(μ) uzayının L^p(μ) uzayının eşiz uzayı olduğunu gösterirken kullanılır.

Tarihçe

Hölder eşitsizliği, biraz farklı bir biçimde, ilk olarak Leonard James Rogers tarafından bulunmuştur. Rogers'ın çalışmalarından ilham alan Hölder, dışbükey ve içbükey fonksiyonlar kavramını geliştiren ve bugün Jensen eşitsizliği olarak bilinen eşitsizliği de ortaya koyan bir çalışmanın parçası olarak başka bir kanıt sunmuştur. Yani, aslında, Johan Jensen'in çalışması Hölder'in daha önceki çalışması üzerine inşa edilmiştir.

Eşitsizliğin ifâdesi

$(S,\Sigma ,\mu )$ bir ölçü uzayı olsun, $p,q\in [1,\infty ]$ ise ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ eşitliğini sağlasın. O zaman, $S$ üzerinde tanımlı ve gerçel ya da karmaşık değerler alan, ölçülebilir her $f$ ve $g$ fonksiyonu için, Hölder eşitsizliği adı verilen, şu eşitsizlik sağlanır:

$$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$$

Ayrıca, $p,q\in (1,\infty )$, $f\in L^{p}(\mu )$ ve $g\in L^{q}(\mu )$ ise, o zaman yukarıdaki verilen eşitsizlikteki eşitlik durumu ancak ve ancak $|f|^{p}$ ve $|g|^{q}$ $L^{1}(\mu )$ içinde doğrusal bağımlı ise gerçekleşir; diğer deyişle,

$$\|fg\|_{1}=\|f\|_{p}\|g\|_{q}$$

olması için belli $\alpha ,\beta \geq 0$ sayıları için $\alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}$ eşitliği $\mu$ ölçüsüne göre hemen hemen her yerde sağlanır.

Yukarıdaki gibi verilen $p,q$ sayılarına birbirinin Hölder eşleniği adı verilir. $p=q=2$ özel durumunda ise Hölder eşitsizliğin aldığı hâl Cauchy-Schwarz eşitsizliği olarak bilinir.

Özel durumlar

Sayma ölçüsü

$n$ boyutlu Öklid uzayında, sayma ölçüsü alınıp $S=\{1,2,\cdots ,n\}$ olduğunda, her $(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}),(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ veya }}\mathbb {C} ^{n}$ için, Hölder eşitsizliği

$\sum _{i=1}^{n}|a_{i}b_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}\right)^{1/q}$

eşitsizliği halini alır.