Cauchy-Schwarz eşitsizliği

Cauchy-Schwarz eşitsizliği (bazen Schwarz eşitsizliği veya Cauchy eşitsizliği veya Cauchy-Schwarz-Bunyakovski eşitsizliği olarak anılır) matematikte önemli bir eşitsizliktir. Özellikle lineer cebir, analiz, istatistik ve olasılık kuramında bu eşitsizlik yoğun bir şekilde kullanılmaktadır.

Toplamlar için bu eşitsizlik ilk defa Augustin Louis Cauchy tarafından 1821'de ve integraller için ise bu eşitsizlik ilk defa Viktor Bunyakovski tarafından 1850'de ve sonra yine Hermann Amandus Schwarz tarafından 1888'de ortaya atılmıştır.

Eşitsizliğin ifadesi

Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre bir iç çarpım uzayında bulunan tüm $x$ ve $y$ öğeleri için şu ifade geçerlidir:

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .$

Burada, $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ iç çarpımı temsil etmektedir. Bu ifadenin her iki tarafının karekökü alınırsa $$\|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }},$$ norm tanımı kullanılarak aynı özdeş şekilde yeni bir ifade ile şöyle yazılır:

$|\langle x,y\rangle |\leq ||x||\cdot ||y||.$

Buna ek olarak ifadenin iki tarafının birbirine eşit olması ancak ve ancak $x$ ve $y$ öğelerinin birbirlerine lineer olarak bağımlı olmaları halinde gerçekleşir.

Öte yandan aynı eşitsizlik $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ ve $y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}$ reel sayıları için  

$(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2})(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2})\geq (\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i})^{2}$  

olarak yazılabilir.  

Eşitlik sadece  

${\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\dots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ 

için sağlanır.

Kanıt

İç çarpımın tanımı gereği, herhangi iç çarpım uzayındaki $\mathbf {x}$ ve $\mathbf {y}$ öğesi için,

• $\mathbf {y} =0$ ise, eşitlik vardır: $0=|\langle \mathbf {x} ,0\rangle ||=|\mathbf {x} ||\ ||0||.$
• $\mathbf {y} \neq 0$ ise, o zaman $\mathbf {z} :=\mathbf {x} -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}\mathbf {y}$ alalım. İç çarpımın doğrusallığından,

$$\langle \mathbf {z} ,\mathbf {y} \rangle =\left\langle \mathbf {x} -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}\mathbf {y} ,\mathbf {y} \right\rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle =0$$ olduğu görülür. Yani, $\mathbf {z}$ $\mathbf {y}$'ye diktir. O zaman, $$\mathbf {x} ={\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}\mathbf {y} +\mathbf {z}$$ yazılıp, iç çarpımda geçerli olan Pisagor teoremi uygulanabilir. Gerçekten de, $$\|\mathbf {x} \|^{2}=\left|{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}\right|^{2}\|\mathbf {y} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}}{(\|\mathbf {y} \|^{2})^{2}}}\,\|\mathbf {y} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {y} \|^{2}}}+\|\mathbf {z} \|^{2}\geq {\frac {|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {y} \|^{2}}}.$$Eşitsizliğin diğer formu için ise ispat şöyle yapılabilir:

$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}$ reel sayıları için

$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2})x^{2}+2(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\dots +x_{n}y_{n})x+(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\dots +y_{n}^{2})=\sum _{i=1}^{n}[x_{i}^{2}x^{2}+2x_{i}y_{i}x+y_{i}^{2}]=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}x+y_{i})^{2}\geq 0$olduğu görülür. En soldaki ifade ikinci dereceden bir polinom olup negatif değildir. Bu yüzden bu polinomun diskriminantı pozitif olamaz. Yani

$B^{2}-4AC\leq 0\Rightarrow (2(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}))^{2}\leq 4(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2})(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2})\Rightarrow (\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i})^{2}\leq (\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2})(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2})$ olur ve ispat tamamlanır.

Dış bağlantılar

• Bouniakowsky, V. (1859), "Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies" (PDF), Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg 7 (1): 9, [1] 20 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Fransızca) (Erişme:15.12.2009)
• Cauchy, A. (1821), Oeuvres 2, III, s. 373
• Dragomir, S. S. (2003), "A survey on Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz type discrete inequalities", JIPAM. J. Inequal. Pure Appl. Math. 4 (3): 142 pp, [2] (İngilizce) (Erişme:15.12.2009)
• Paulsen, V. (2003), Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press .
• Schwarz, H. A. (1888), "Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung" (PDF), Acta Societatis scientiarum Fennicae XV: 318, [3] 20 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce) (Erişme:15.12.2009)
• Solomentsev, E.D. (2001), "Cauchy inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4, [4] 6 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce) (Erişme:15.12.2009)