Trigonometrik fonksiyonların türevleri - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Trigonometrik fonksiyonların türevlerinin kanıtları
    • 1.1 θ sıfıra yaklaşırken sin(θ)/θ limiti
    • 1.2 θ sıfıra yaklaşırken (cos(θ)-1)/θ limiti
    • 1.3 tan(θ)/θ Limitinin 0'a Yaklaşması
    • 1.4 Sinüs Fonksiyonunun Türevi
    • 1.5 Kosinüs Fonksiyonunun Türevi
      • 1.5.1 Türev Tanımından
      • 1.5.2 Zincir Kuralı ile
    • 1.6 Tanjant Fonksiyonunun Türevi
      • 1.6.1 Türev Tanımından
      • 1.6.2 Bölme kuralından
  • 2 Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri
    • 2.1 Ters Sinüs Fonksiyonunun Türevini Alma
    • 2.2 Ters Kosinüs Fonksiyonunun Türevini Alma
    • 2.3 Ters Tanjant Fonksiyonunun Türevini Alma
    • 2.4 Ters Kotanjant Fonksiyonunun Türevini Alma
    • 2.5 Ters Sekant Fonksiyonunun Türevini Alma
      • 2.5.1 Örtük Türevleme Kullanarak
      • 2.5.2 Zincir Kuralını Kullanarak
    • 2.6 Ters Kosekant Fonksiyonunun Türevini Alma
      • 2.6.1 Örtük Türevleme Kullanarak
      • 2.6.2 Zincir Kuralını Kullanarak
  • 3 Ayrıca bakınız
  • 4 Kaynakça
  • 5 Bibliyografya

Trigonometrik fonksiyonların türevleri

  • العربية
  • Català
  • کوردی
  • English
  • Español
  • فارسی
  • Bahasa Indonesia
  • ភាសាខ្មែរ
  • Македонски
  • Bahasa Melayu
  • Norsk bokmål
  • Português
  • Русский
  • Tagalog
  • Українська
  • Tiếng Việt
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Fonksiyon Türev
sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(x)} {\displaystyle \sin(x)} cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} {\displaystyle \cos(x)}
cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} {\displaystyle \cos(x)} − sin ⁡ ( x ) {\displaystyle -\sin(x)} {\displaystyle -\sin(x)}
tan ⁡ ( x ) {\displaystyle \tan(x)} {\displaystyle \tan(x)} sec 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle \sec ^{2}(x)} {\displaystyle \sec ^{2}(x)}
cot ⁡ ( x ) {\displaystyle \cot(x)} {\displaystyle \cot(x)} − csc 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle -\csc ^{2}(x)} {\displaystyle -\csc ^{2}(x)}
sec ⁡ ( x ) {\displaystyle \sec(x)} {\displaystyle \sec(x)} sec ⁡ ( x ) tan ⁡ ( x ) {\displaystyle \sec(x)\tan(x)} {\displaystyle \sec(x)\tan(x)}
csc ⁡ ( x ) {\displaystyle \csc(x)} {\displaystyle \csc(x)} − csc ⁡ ( x ) cot ⁡ ( x ) {\displaystyle -\csc(x)\cot(x)} {\displaystyle -\csc(x)\cot(x)}
arcsin ⁡ ( x ) {\displaystyle \arcsin(x)} {\displaystyle \arcsin(x)} 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arccos ⁡ ( x ) {\displaystyle \arccos(x)} {\displaystyle \arccos(x)} − 1 1 − x 2 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arctan ⁡ ( x ) {\displaystyle \arctan(x)} {\displaystyle \arctan(x)} 1 x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}} {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}}
arccot ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {arccot}(x)} {\displaystyle \operatorname {arccot} (x)} − 1 x 2 + 1 {\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}+1}}} {\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}+1}}}
arcsec ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)} {\displaystyle \operatorname {arcsec} (x)} 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} {\displaystyle {\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
arccsc ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)} {\displaystyle \operatorname {arccsc} (x)} − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle -{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} {\displaystyle -{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}

Trigonometrik fonksiyonların türevleri, trigonometrik bir fonksiyonun türevini yani bir değişkene göre değişim oranını bulmanın matematiksel sürecidir. Örneğin, sinüs fonksiyonunun türevi s i n ′ ( a ) = c o s ( a ) {\displaystyle sin'(a)=cos(a)} {\displaystyle sin'(a)=cos(a)} şeklinde yazılır, bu da sin(x) fonksiyonunun belirli bir açı x = a için değişim oranının o açının kosinüsü ile verildiği anlamına gelir.

Dairesel trigonometrik fonksiyonların tüm türevleri, tan(x) = sin(x)/cos(x) gibi fonksiyonlara uygulanan bölme kuralı ile sin(x) ve cos(x) türevlerinden elde edilebilir. Bu türevleri bildiğimizde, ters trigonometrik fonksiyonların türevleri örtük türev alma ile bulunur.

Trigonometrik fonksiyonların türevlerinin kanıtları

[değiştir | kaynağı değiştir]

θ sıfıra yaklaşırken sin(θ)/θ limiti

[değiştir | kaynağı değiştir]
Merkezi O olan, yarıçapı 1 olan bir daire

Sağdaki diyagramda, merkezi O olan ve yarıçapı r = 1 olan bir daire gösterilmektedir. İki yarıçap OA ve OB θ radyanlık bir yay oluşturur. θ'nın 0 < θ < 1/2 π aralığında ve birinci çeyrekte olan küçük pozitif bir sayı olduğunu varsayabiliriz.

Diyagramda, R1 OAB üçgeni, R2 daire dilimi OAB ve R3 OAC üçgenidir.

OAB üçgeninin alanı:

A l a n ( R 1 ) = 1 2   | O A |   | O B | sin ⁡ θ = 1 2 sin ⁡ θ . {\displaystyle \mathrm {Alan} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.} {\displaystyle \mathrm {Alan} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.}

OAB daire diliminin alanı:

A l a n ( R 2 ) = 1 2 θ . {\displaystyle \mathrm {Alan} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta \,.} {\displaystyle \mathrm {Alan} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta \,.}

OAC üçgeninin alanı:

A l a n ( R 3 ) = 1 2   | O A |   | A C | = 1 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle \mathrm {Alan} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.} {\displaystyle \mathrm {Alan} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}

Her alan, bir sonrakinin içindedir, bu nedenle:

Alan ( R 1 ) < Alan ( R 2 ) < Alan ( R 3 ) ⟹ 1 2 sin ⁡ θ < 1 2 θ < 1 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle {\text{Alan}}(R_{1})<{\text{Alan}}(R_{2})<{\text{Alan}}(R_{3})\implies {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.} {\displaystyle {\text{Alan}}(R_{1})<{\text{Alan}}(R_{2})<{\text{Alan}}(R_{3})\implies {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}

Ayrıca, birinci çeyrekte sin θ > 0 olduğu için, her iki tarafı 1/2 sin θ ile bölebiliriz:

1 < θ sin ⁡ θ < 1 cos ⁡ θ ⟹ 1 > sin ⁡ θ θ > cos ⁡ θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.} {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.}

Son adımda, üç pozitif terimin tersini aldığımız için eşitsizlikler tersine döner.

Sıkıştırma: Kırmızı ile gösterilen eğriler y = 1 ve y = cos θ, mavi eğri y = sin(θ)/θ

Sonuç olarak, 0 < θ < 1/2 π için sin(θ)/θ her zaman 1'den küçük ve her zaman cos(θ)'dan büyüktür. Dolayısıyla, θ sıfıra yaklaştıkça sin(θ)/θ 1 yüksekliğindeki bir tavanda ve cos θ yüksekliğindeki bir tabanda "sıkıştırılmıştır" ve bu yükseklik 1'e doğru yükselir; bu nedenle sin(θ)/θ sıfıra yaklaşırken:

lim θ → 0 + sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.} {\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}

θ küçük bir negatif sayı olduğunda –1/2 π < θ < 0, sinüsün tek fonksiyon olduğunu kullanırız:

lim θ → 0 − sin ⁡ θ θ = lim θ → 0 + sin ⁡ ( − θ ) − θ = lim θ → 0 + − sin ⁡ θ − θ = lim θ → 0 + sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.} {\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}

θ sıfıra yaklaşırken (cos(θ)-1)/θ limiti

[değiştir | kaynağı değiştir]

Son bölüm, bu yeni limiti görecek kadar kolay bir şekilde hesaplamamızı sağlar. Bu hesaplamada θ'nın işareti önemsizdir.

lim θ → 0 cos ⁡ θ − 1 θ = lim θ → 0 ( cos ⁡ θ − 1 θ ) ( cos ⁡ θ + 1 cos ⁡ θ + 1 ) = lim θ → 0 cos 2 θ − 1 θ ( cos ⁡ θ + 1 ) . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)=\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.} {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)=\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}

cos2θ – 1 = –sin2θ ve bir çarpımın limitinin, limitlerin çarpımına eşit olduğu gerçeğini kullanarak, bir önceki bölümden elde ettiğimiz limiti buluyoruz:

lim θ → 0 cos ⁡ θ − 1 θ = lim θ → 0 − sin 2 ⁡ θ θ ( cos ⁡ θ + 1 ) = ( − lim θ → 0 sin ⁡ θ θ ) ( lim θ → 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}=\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}=\left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)=(-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.} {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}=\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}=\left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)=(-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}

tan(θ)/θ Limitinin 0'a Yaklaşması

[değiştir | kaynağı değiştir]

Sinüs fonksiyonu için limit, tanjant fonksiyonunun tek işlevsel olması ve bir çarpımın limitinin çarpımlarının limitleri olduğunu göz önünde bulundurarak şunu buluruz:

lim θ → 0 tan ⁡ θ θ   =   ( lim θ → 0 sin ⁡ θ θ ) ( lim θ → 0 1 cos ⁡ θ )   =   ( 1 ) ( 1 )   =   1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.} {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}

Sinüs Fonksiyonunun Türevi

[değiştir | kaynağı değiştir]

Limit tanımını kullanarak sinüs fonksiyonunun türevini hesaplayalım:

d d θ sin ⁡ θ = lim δ → 0 sin ⁡ ( θ + δ ) − sin ⁡ θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.} {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.}

Açı toplam formülünü kullanarak sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, şunu elde ederiz:

d d θ sin ⁡ θ = lim δ → 0 sin ⁡ θ cos ⁡ δ + sin ⁡ δ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ δ = lim δ → 0 ( sin ⁡ δ δ cos ⁡ θ + cos ⁡ δ − 1 δ sin ⁡ θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).} {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).}

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının limitlerini kullanarak:

d d θ sin ⁡ θ = ( 1 ) cos ⁡ θ + ( 0 ) sin ⁡ θ = cos ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.} {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}

Kosinüs Fonksiyonunun Türevi

[değiştir | kaynağı değiştir]

Türev Tanımından

[değiştir | kaynağı değiştir]

Kosinüs fonksiyonunun türevini limit tanımından tekrar hesaplayalım:

d d ⁡ θ cos ⁡ θ = lim δ → 0 cos ⁡ ( θ + δ ) − cos ⁡ θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.} {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}

Açı toplam formülünü kullanarak cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, şunu elde ederiz:

d d θ cos ⁡ θ = lim δ → 0 cos ⁡ θ cos ⁡ δ − sin ⁡ θ sin ⁡ δ − cos ⁡ θ δ = lim δ → 0 ( cos ⁡ δ − 1 δ cos ⁡ θ − sin ⁡ δ δ sin ⁡ θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).} {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının limitlerini kullanarak:

d d θ cos ⁡ θ = ( 0 ) cos ⁡ θ − ( 1 ) sin ⁡ θ = − sin ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.} {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.}

Zincir Kuralı ile

[değiştir | kaynağı değiştir]

Kosinüs fonksiyonunun türevini zincir kuralından hesaplamak için şu üç eşitliği gözlemleyelim:

cos ⁡ θ = sin ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} {\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
sin ⁡ θ = cos ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} {\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
d d θ sin ⁡ θ = cos ⁡ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta } {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta }

İlk iki eşitlik bir trigonometrik özdeşliktir, üçüncüsü ise yukarıda kanıtlanmıştır. Bu üç eşitliği kullanarak aşağıdaki gibi yazabiliriz:

d d θ cos ⁡ θ = d d θ sin ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}

Bunu zincir kuralını kullanarak türevini alabiliriz. f ( x ) = sin ⁡ x ,     g ( θ ) = π 2 − θ {\displaystyle f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta } {\displaystyle f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta } olarak alırsak:

d d θ f ( g ( θ ) ) = f ′ ( g ( θ ) ) ⋅ g ′ ( θ ) = cos ⁡ ( π 2 − θ ) ⋅ ( 0 − 1 ) = − sin ⁡ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta } {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta }.

Dolayısıyla, şunu kanıtlamış olduk:

d d θ cos ⁡ θ = − sin ⁡ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta } {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta }.

Tanjant Fonksiyonunun Türevi

[değiştir | kaynağı değiştir]

Türev Tanımından

[değiştir | kaynağı değiştir]

Tanjant fonksiyonunun türevini ilk prensiplerden hesaplayalım. Tanıma göre:

d d θ tan ⁡ θ = lim δ → 0 ( tan ⁡ ( θ + δ ) − tan ⁡ θ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).} {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}

Açı toplam formülünü kullanarak tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β):

d d θ tan ⁡ θ = lim δ → 0 [ tan ⁡ θ + tan ⁡ δ 1 − tan ⁡ θ tan ⁡ δ − tan ⁡ θ δ ] = lim δ → 0 [ tan ⁡ θ + tan ⁡ δ − tan ⁡ θ + tan 2 ⁡ θ tan ⁡ δ δ ( 1 − tan ⁡ θ tan ⁡ δ ) ] . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].} {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].}

Bir çarpımın limitinin, limitlerinin çarpımına eşit olduğunu göz önünde bulundurarak:

d d θ tan ⁡ θ = lim δ → 0 tan ⁡ δ δ × lim δ → 0 ( 1 + tan 2 ⁡ θ 1 − tan ⁡ θ tan ⁡ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).} {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}

Tanjant fonksiyonu için limitleri kullanarak ve tan δ 'nin 0'a yaklaştığını göz önünde bulundurarak:

d d θ tan ⁡ θ = 1 × 1 + tan 2 ⁡ θ 1 − 0 = 1 + tan 2 ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .} {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .}

Hemen şunu görüyoruz:

d d θ tan ⁡ θ = 1 + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 cos 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.} {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}

Bölme kuralından

[değiştir | kaynağı değiştir]

Tanjant fonksiyonunun türevini bölme kuralı kullanarak hesaplayabiliriz:

d d θ tan ⁡ θ = d d θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ = ( sin ⁡ θ ) ′ ⋅ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ ⋅ ( cos ⁡ θ ) ′ cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta ={\frac {d}{d\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}} {\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta ={\frac {d}{d\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}

Pay Pisagor özdeşliği ile 1 olarak sadeleştirilebilir, bu da bize:

1 cos 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta } {\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }

Sonuç olarak:

d d θ tan ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta } {\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }

Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri

[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıdaki türevler, türevini almak istediğimiz ters trigonometrik fonksiyon için bir değişken y belirleyerek bulunur. Örtük türevleme kullanarak, ardından dy/dx için çözümleyerek, ters fonksiyonun türevini y cinsinden buluruz. dy/dx'yi tekrar x cinsine çevirmek için, bir referans üçgeni çizebiliriz. Bunun için birim çember üzerinde θ'yi y olarak alırız. Pisagor teoremi ve normal trigonometrik fonksiyonların tanımı kullanılarak, nihayetinde dy/dx'yi x cinsinden ifade edebiliriz.

Ters Sinüs Fonksiyonunun Türevini Alma

[değiştir | kaynağı değiştir]

Şunu alıyoruz:

y = arcsin ⁡ x {\displaystyle y=\arcsin x\,\!} {\displaystyle y=\arcsin x\,\!}

Burada:

− π 2 ≤ y ≤ π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}} {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}

O halde:

sin ⁡ y = x {\displaystyle \sin y=x\,\!} {\displaystyle \sin y=x\,\!}

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

d d x sin ⁡ y = d d x x {\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x} {\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}
cos ⁡ y ⋅ d y d x = 1 {\displaystyle \cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!} {\displaystyle \cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!}

Yukarıdan cos ⁡ y = 1 − sin 2 ⁡ y {\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}} {\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}} değerini yerine koyarak,

1 − sin 2 ⁡ y ⋅ d y d x = 1 {\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1} {\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}

Yukarıdan x = sin ⁡ y {\displaystyle x=\sin y} {\displaystyle x=\sin y} değerini yerine koyarak,

1 − x 2 ⋅ d y d x = 1 {\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1} {\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}

Sonuç olarak:

d y d x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} {\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}

Ters Kosinüs Fonksiyonunun Türevini Alma

[değiştir | kaynağı değiştir]

Şunu alıyoruz:

y = arccos ⁡ x {\displaystyle y=\arccos x\,\!} {\displaystyle y=\arccos x\,\!}

Burada:

0 ≤ y ≤ π {\displaystyle 0\leq y\leq \pi } {\displaystyle 0\leq y\leq \pi }

O halde:

cos ⁡ y = x {\displaystyle \cos y=x\,\!} {\displaystyle \cos y=x\,\!}

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

d d x cos ⁡ y = d d x x {\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x} {\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}
− sin ⁡ y ⋅ d y d x = 1 {\displaystyle -\sin y\cdot {dy \over dx}=1\,\!} {\displaystyle -\sin y\cdot {dy \over dx}=1\,\!}

Yukarıdan sin ⁡ y = 1 − cos 2 ⁡ y {\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!} {\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!} değerini yerine koyarak,

− 1 − cos 2 ⁡ y ⋅ d y d x = 1 {\displaystyle -{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1} {\displaystyle -{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}

Yukarıdan x = cos ⁡ y {\displaystyle x=\cos y\,\!} {\displaystyle x=\cos y\,\!} değerini yerine koyarak,

− 1 − x 2 ⋅ d y d x = 1 {\displaystyle -{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1} {\displaystyle -{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}

Sonuç olarak:

d y d x = − 1 1 − x 2 {\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} {\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}

Alternatif olarak, arcsin ⁡ x {\displaystyle \arcsin x} {\displaystyle \arcsin x} türevini belirledikten sonra, arccos ⁡ x {\displaystyle \arccos x} {\displaystyle \arccos x} türevi, arcsin ⁡ x + arccos ⁡ x = π / 2 {\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\pi /2} {\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\pi /2} özdeşliğini türevleyerek ( arccos ⁡ x ) ′ = − ( arcsin ⁡ x ) ′ {\displaystyle (\arccos x)'=-(\arcsin x)'} {\displaystyle (\arccos x)'=-(\arcsin x)'} elde edilerek hemen takip edilir.

Ters Tanjant Fonksiyonunun Türevini Alma

[değiştir | kaynağı değiştir]

Şunu alıyoruz:

y = arctan ⁡ x {\displaystyle y=\arctan x\,\!} {\displaystyle y=\arctan x\,\!}

Burada:

− π 2 < y < π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}} {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}

O halde:

tan ⁡ y = x {\displaystyle \tan y=x\,\!} {\displaystyle \tan y=x\,\!}

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

d d x tan ⁡ y = d d x x {\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x} {\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}

Sol taraf:

d d x tan ⁡ y = sec 2 ⁡ y ⋅ d y d x = ( 1 + tan 2 ⁡ y ) d y d x {\displaystyle {d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}} {\displaystyle {d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}} Pisagor özdeşliğini kullanarak.

Sağ taraf:

d d x x = 1 {\displaystyle {d \over dx}x=1} {\displaystyle {d \over dx}x=1}

Sonuç olarak:

( 1 + tan 2 ⁡ y ) d y d x = 1 {\displaystyle (1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1} {\displaystyle (1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1}

Yukarıdan x = tan ⁡ y {\displaystyle x=\tan y\,\!} {\displaystyle x=\tan y\,\!} değerini yerine koyarak,

( 1 + x 2 ) d y d x = 1 {\displaystyle (1+x^{2}){dy \over dx}=1} {\displaystyle (1+x^{2}){dy \over dx}=1}

Sonuç olarak:

d y d x = 1 1 + x 2 {\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}} {\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}

Ters Kotanjant Fonksiyonunun Türevini Alma

[değiştir | kaynağı değiştir]

Şunu alıyoruz:

y = arccot ⁡ x {\displaystyle y=\operatorname {arccot} x} {\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}

Burada:

0 < y < π {\displaystyle 0<y<\pi } {\displaystyle 0<y<\pi }. O halde:
cot ⁡ y = x {\displaystyle \cot y=x} {\displaystyle \cot y=x}

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

d d x cot ⁡ y = d d x x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x} {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x}

Sol taraf:

d d x cot ⁡ y = − csc 2 ⁡ y ⋅ d y d x = − ( 1 + cot 2 ⁡ y ) d y d x {\displaystyle {d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}} {\displaystyle {d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}} Pisagor özdeşliğini kullanarak.

Sağ taraf:

d d x x = 1 {\displaystyle {d \over dx}x=1} {\displaystyle {d \over dx}x=1}

Sonuç olarak:

− ( 1 + cot 2 ⁡ y ) d y d x = 1 {\displaystyle -(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1} {\displaystyle -(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1}

Yukarıdan x = cot ⁡ y {\displaystyle x=\cot y} {\displaystyle x=\cot y} değerini yerine koyarak,

− ( 1 + x 2 ) d y d x = 1 {\displaystyle -(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1} {\displaystyle -(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1}

Sonuç olarak:

d y d x = − 1 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}

Alternatif olarak, arctan ⁡ x {\displaystyle \arctan x} {\displaystyle \arctan x} türevi yukarıda açıklandığı gibi elde edilirse, arctan ⁡ x + arccot ⁡ x = π 2 {\displaystyle \arctan x+\operatorname {arccot} x={\dfrac {\pi }{2}}} {\displaystyle \arctan x+\operatorname {arccot} x={\dfrac {\pi }{2}}} özdeşliğinden, hemen şu sonuç elde edilir: d d x arccot ⁡ x = d d x ( π 2 − arctan ⁡ x ) = − 1 1 + x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&={\dfrac {d}{dx}}\left({\dfrac {\pi }{2}}-\arctan x\right)\\&=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&={\dfrac {d}{dx}}\left({\dfrac {\pi }{2}}-\arctan x\right)\\&=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}}

Ters Sekant Fonksiyonunun Türevini Alma

[değiştir | kaynağı değiştir]

Örtük Türevleme Kullanarak

[değiştir | kaynağı değiştir]

Şunu alıyoruz:

y = arcsec ⁡ x   ∣ | x | ≥ 1 {\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x\ \mid |x|\geq 1} {\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x\ \mid |x|\geq 1}

O halde:

x = sec ⁡ y ∣   y ∈ [ 0 , π 2 ) ∪ ( π 2 , π ] {\displaystyle x=\sec y\mid \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]} {\displaystyle x=\sec y\mid \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}
d x d y = sec ⁡ y tan ⁡ y = | x | x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}} {\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}

(İfadedeki mutlak değer gereklidir çünkü sekant ve tanjant çarpımı y aralığında her zaman pozitifken, kök x 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}} {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}} her zaman pozitif olarak tanımlandığı için, kalan çarpanın da pozitif olması gerektiğinden, bu mutlak değer kullanılır.)

d y d x = 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}

Zincir Kuralını Kullanarak

[değiştir | kaynağı değiştir]

Alternatif olarak, ters sekantın türevi, ters kosinüsün türevinden zincir kuralı kullanılarak elde edilebilir.

Şunu alıyoruz:

y = arcsec ⁡ x = arccos ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)} {\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}

Burada

| x | ≥ 1 {\displaystyle |x|\geq 1} {\displaystyle |x|\geq 1} ve y ∈ [ 0 , π 2 ) ∪ ( π 2 , π ] {\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]} {\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}

O halde, arccos ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{x}}\right)} {\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{x}}\right)} için zincir kuralını uygulayarak:

d y d x = − 1 1 − ( 1 x ) 2 ⋅ ( − 1 x 2 ) = 1 x 2 1 − 1 x 2 = 1 x 2 x 2 − 1 x 2 = 1 x 2 x 2 − 1 = 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}

Ters Kosekant Fonksiyonunun Türevini Alma

[değiştir | kaynağı değiştir]

Örtük Türevleme Kullanarak

[değiştir | kaynağı değiştir]

Şunu alıyoruz:

y = arccsc ⁡ x   ∣ | x | ≥ 1 {\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x\ \mid |x|\geq 1} {\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x\ \mid |x|\geq 1}

O halde

x = csc ⁡ y   ∣   y ∈ [ − π 2 , 0 ) ∪ ( 0 , π 2 ] {\displaystyle x=\csc y\ \mid \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]} {\displaystyle x=\csc y\ \mid \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
d x d y = − csc ⁡ y cot ⁡ y = − | x | x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}} {\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}

(İfadedeki mutlak değer gereklidir çünkü kosekant ve kotanjant çarpımı y aralığında her zaman pozitifken, kök x 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}} {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}} her zaman pozitif olarak tanımlandığı için, kalan çarpanın da pozitif olması gerektiğinden, bu mutlak değer kullanılır.)

d y d x = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}

Zincir Kuralını Kullanarak

[değiştir | kaynağı değiştir]

Alternatif olarak, ters kosekantın türevi, ters sinüsün türevinden zincir kuralı kullanılarak elde edilebilir.

Şunu alıyoruz:

y = arccsc ⁡ x = arcsin ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)} {\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}

Burada

| x | ≥ 1 {\displaystyle |x|\geq 1} {\displaystyle |x|\geq 1} ve y ∈ [ − π 2 , 0 ) ∪ ( 0 , π 2 ] {\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]} {\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}

O halde, arcsin ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle \arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)} {\displaystyle \arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)} için zincir kuralını uygulayarak:

d y d x = 1 1 − ( 1 x ) 2 ⋅ ( − 1 x 2 ) = − 1 x 2 1 − 1 x 2 = − 1 x 2 x 2 − 1 x 2 = − 1 x 2 x 2 − 1 = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Kalkülüs
  • Türev
  • Türev alma kuralları
  • Trigonometrik özdeşlikler listesi
  • Trigonometri

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]

Bibliyografya

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Matematiksel Fonksiyonlar El Kitabı, Editörler: Abramowitz ve Stegun, Ulusal Standartlar Bürosu, Uygulamalı Matematik Serisi, 55 (1964)
  • g
  • t
  • d
Trigonometri
Ana hatları  • Tarihi  • Kullanım alanları  • Genelleştirilmiş
Açı ölçü birimleri
  • Devir
  • Derece
  • Radyan
  • Grad
Trigonometrik fonksiyonlar &
Ters trigonometrik fonksiyonlar
  • Sinüs (sin)
  • Kosinüs (cos)
  • Tanjant (tan)
  • Kotanjant (cot)
  • Sekant (sec)
  • Kosekant (csc)
  • Versinüs (versin)
  • Verkosinüs (vercosin)
  • Koversinüs (coversin)
  • Koverkosinüs (covercosin)
  • Haversinüs (haversin)
  • Haverkosinüs (havercosin)
  • Hakoversinüs (hacoversin)
  • Hakoverkosinüs (hacovercosin)
  • Ekssekant (exsec)
  • Ekskosekant (excsc)
Referans
  • Özdeşlikler
  • Tam sabitler
  • Tablolar
  • Birim çember
Yasalar ve teoremler
  • Kosinüs teoremi
  • Sinüs teoremi
  • Tanjant teoremi
  • Kotanjant teoremi
  • Pisagor teoremi
Kalkülüs
  • Trigonometrik yerine koyma
  • İntegraller (Ters fonksiyonlar)
  • Türevler
  • Trigonometrik seri
İlgili konular
  • Üçgen
  • Çember
  • Geometri
  • Açı
Kullanıldığı dallar
  • Matematik
  • Geometri
  • Fizik
  • Mühendislik
  • Astronomi
Katkı sağlayan matematikçiler
  • Hipparchus
  • Ptolemy
  • Brahmagupta
  • Battânî
  • Regiomontanus
  • Viète
  • de Moivre
  • Euler
  • Fourier
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Trigonometrik_fonksiyonların_türevleri&oldid=33992749" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Trigonometri
  • Türev
  • Matematik listeleri
Gizli kategori:
  • Kanıt içeren maddeler
  • Sayfa en son 22.54, 12 Ekim 2024 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Trigonometrik fonksiyonların türevleri
Konu ekle