Bölme kuralı

Bölme kuralı, kalkülüste diğer iki fonksiyonun bölümü şeklinde olan bir fonksiyonun türevinin hesaplanmasında kullanılır.

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)={\frac {g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}$

İspat

Çarpma kuralı kullanılarak aynı ifade yeniden yazılıp çözüme geçilirse,

${\begin{alignedat}{4}{\frac {d}{dx}}(fg^{-1})&=f'g^{-1}+f(g^{-1})'\\&=f'g^{-1}+f(-1)g^{-2}g'\\&={\frac {g^{2}}{g^{2}}}\left(f'g^{-1}-fg^{-2}g'\right)\\&={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\\\end{alignedat}}$

ispatı yapılır. Burada dikkat edilmesi gereken bir husus $(g^{-1})'\,$ türevi hesaplanırken zincir kuralı kullanılmış olduğudur.

Örnekler

$(4x-2)/(x^{2}+1)$ ifadesinin türevi:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}}\right]&={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}$

Yukardaki örnekte

$g(x)=4x-2$

$h(x)=x^{2}+1$

olarak seçmiştik. Benzer bir şekilde (x ≠ 0 iken) sin(x)/x² ifadesinin türevi aynı yöntemi kullanarak:

${\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}$

olarak bulunur.