Çarpma kuralı

Çarpma kuralı iki veya daha fazla fonksiyonun çarpımının türevinin hesaplanmasında kullanılan bir yöntemdir. Kuralı Gottfried Leibniz türettiği için bu kural Leibniz kuralı olarak da geçer. Kuralın matematiksel ifadesi f ve g sırasıyla f(x) ve g(x) ifadelerinin kapalı formu olmak üzere şöyle verilir:

${\frac {d}{dx}}(fg)=\left({\frac {df}{dx}}\right)g+f\left({\frac {dg}{dx}}\right)$

İspat

Türevin tanımı kullanılarak iki fonksiyonun çarpımının türevine bakılırsa

${\begin{alignedat}{4}{\frac {d}{dx}}(fg)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}g(x+h){\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+f(x){\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)\\\end{alignedat}}$

Genelleme

F fonksiyonu N tane birbirinden farklı ancak aynı değişkene bağlı fonksiyonun çarpımı olsun.

$F(x)=\prod _{i=1}^{N}f_{i}(x)$

Bu ifadenin türevi yukarıda yapılan ispata dayanılarak şu şekilde gösterilir:

${\frac {dF}{dx}}=\sum _{k=1}^{N}f_{k}'\prod _{i\neq k}^{N}f_{i}$

Çarpımın ifadesindeki i, 1 'den N 'ye kadar k hariç her değeri alır.