Parametrelerin değişimi

Diğer bir adı sabitlerin değişimi (İngilizce: Variation of Parameters) olarak bilinir. Bu teknik homojen olmayan lineer diferansiyel denklemlerde partiküler (özel) çözümü bulmak için kullanılır.

Birinci dereceden homojen olmayan lineer diferansiyel denklemler için, belirsiz katsayıları daha az çabayla entegre ederek çözümler bulmak mümkündür, ancak bu yöntemler tüm homojen olmayan lineer diferansiyel denklemler için çalışmaz ve genel bir kural belirlenmesi gerekir. Parametrelerin değişimi metodu ile bütün partiküler çözümler bulunabilir.

Çözüm Tekniği

Verilmiş olan adi homojen olmayan lineer diferansiyel denklemimiz:

$y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)*y^{(i)}(x)=r(x)$

İlk başta diferansiyel denklemimizin homojen çözümünü bulmamız gerekir.

$Y_{h}=c_{1}*y_{1}(x)+c_{2}*y_{2}(x)+.......+c_{n}*y_{n}(x)$

Sonra partiküler çözüm için aşağıdaki varsayımı yapmamız gerekir.

$Y_{p}=u_{1}(x)*y_{1}(x)+u_{2}(x)*y_{2}(x)+......+u_{n}(x)*y_{n}(x)$

Buradan sonra bunun türevi alınarak ve başka varsayımlar yapılarak, aşağıdaki matrise ulaşırız.

${\begin{bmatrix}y_{1}&y_{2}&...&y_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&...&y'_{n}\\...&...&...&...\\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&...&y_{n}^{(n-1)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u'_{1}\\u'_{2}\\...\\u'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\...\\r(x)\end{bmatrix}}$

Bu matris bizi çözüme ulaştıran asıl faktördür. Bunu çözmek için Gauss eliminasyonu veya Kramer metodu kullanabiliriz. Böylece bu matrisin çözümünden $u'_{1},u'_{2},u'_{3}...,u'_{n}$ değerlerini bulmuş olacağız. Bu u'(x) değerlerinin integralini aldığımızda ise u(x) fonksiyonlarının hepsini bulmuş olacağız. Bu u(x) değerlerini $Y_{p}=u_{1}(x)*y_{1}(x)+u_{2}(x)*y_{2}(x)+......+u_{n}(x)*y_{n}(x)$ denkleminde yerine koyduğumuzda partiküler çözümü bulmuş olacağız. Genel çözüm ise $Y_{G}=Y_{h}+Y_{p}$ olacaktır.

Bunu matris formunda yazmak istersek:

$YU'=R\Rrightarrow U'=Y^{(-1)}R$

$U=\int Y^{(-1)}Rdx$ bulunur ve çözümümüz $Y_{p}=U^{(T)}Y$ olacaktır.