Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris çarpımı , bir matris çiftinde yapılan ve başka bir matris üreten ikili işlemdir . Reel veya karmaşık sayılar gibi sayılarda temel aritmetiğe uygun olarak çarpma yapılabilir. Başka bir ifade ile matrisler, sayı dizileridir . Bu yüzden, matris çarpımını ifade eden tek bir yöntem yoktur. "Matris çarpımı" terimi çoğunlukla, matris çarpımının farklı yöntemlerini ifade eder. Matris çarpımının anahtar özellikleri şunlardır: Asıl matrislerin satır ve sütun sayıları, (matrisin "boyutu" olarak adlandırılır) ve matrislerin girişlerinin nasıl yeni bir matris oluşturacağıdır.
Vektörler gibi herhangi bir boyutlu matrislerde de, nokta çarpım yapılabilir. Bu işlem, matrisin her bir girişinin (ögesinin) aynı sayı (skaler ) ile çarpılmasıdır. Matrislerin toplanması veya çıkarılması işlemleri de benzer şekilde yapılır.
Matris çarpımı başka yöntemlerle de yapılabilir. Fakat en kullanışlı yöntemler, doğrusal denklemler ve doğrusal dönüşümlerle elde edilir. Sayısal uygulamaları, uygulamalı matematik , fizik ve mühendislikte görülür.
Matrislerle ilgili en basit çarpma formu skaler çarpmadır.
Bir A λ skaleri ile sol skaler çarpma işlemi sonucunda A λ A
(
λ
A
)
i
j
=
λ
(
A
)
i
j
,
{\displaystyle (\lambda \mathbf {A} )_{ij}=\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\,,}
Daha açık ifade ile:
λ
A
=
λ
(
A
11
A
12
⋯
A
1
m
A
21
A
22
⋯
A
2
m
⋮
⋮
⋱
⋮
A
n
1
A
n
2
⋯
A
n
m
)
=
(
λ
A
11
λ
A
12
⋯
λ
A
1
m
λ
A
21
λ
A
22
⋯
λ
A
2
m
⋮
⋮
⋱
⋮
λ
A
n
1
λ
A
n
2
⋯
λ
A
n
m
)
.
{\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.}
Benzer şekilde, bir A λ sağ skaler çarpma işlemi şöyledir:
(
A
λ
)
i
j
=
(
A
)
i
j
λ
,
{\displaystyle (\mathbf {A} \lambda )_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,}
Daha açık ifade ile:
A
λ
=
(
A
11
A
12
⋯
A
1
m
A
21
A
22
⋯
A
2
m
⋮
⋮
⋱
⋮
A
n
1
A
n
2
⋯
A
n
m
)
λ
=
(
A
11
λ
A
12
λ
⋯
A
1
m
λ
A
21
λ
A
22
λ
⋯
A
2
m
λ
⋮
⋮
⋱
⋮
A
n
1
λ
A
n
2
λ
⋯
A
n
m
λ
)
.
{\displaystyle \mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}\lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.}
halkada eğer bir değişme özelliği varsa, örneğin; reel veya karmaşık sayılarda bu iki çarpım (skaler çarpım ve nokta çarpım), aynı anlama gelir ve basitçe skaler çarpım olarak adlandırılır. Fakat matrisler için, daha genel ifade ile halka (örneğin dördey ) için değişme özelliği yoksa bu iki çarpım aynı anlama gelmez.
Bir reel skaler ve matris şöyle olsun:
λ
=
2
,
A
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle \lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}
2
A
=
2
(
a
b
c
d
)
=
(
2
⋅
a
2
⋅
b
2
⋅
c
2
⋅
d
)
=
(
a
⋅
2
b
⋅
2
c
⋅
2
d
⋅
2
)
=
(
a
b
c
d
)
2
=
A
2.
{\displaystyle 2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.}
Dördeyin skalerleri ve matrisleri de şöyle olsun:
λ
=
i
,
A
=
(
i
0
0
j
)
{\displaystyle \lambda =i,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}}
i
(
i
0
0
j
)
=
(
i
2
0
0
i
j
)
=
(
−
1
0
0
k
)
≠
(
−
1
0
0
−
k
)
=
(
i
2
0
0
j
i
)
=
(
i
0
0
j
)
i
,
{\displaystyle i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,}
Burada i , j , k ij = +k ji = −k
İki matrisin çarpılacağını varsayalım.
A i ve B j ile terimlerin (kesikli çizgiler) toplanması aritmetik işlemi son matrisdeki ij Eğer A n × m B m × p
A
=
(
A
11
A
12
⋯
A
1
m
A
21
A
22
⋯
A
2
m
⋮
⋮
⋱
⋮
A
n
1
A
n
2
⋯
A
n
m
)
,
B
=
(
B
11
B
12
⋯
B
1
p
B
21
B
22
⋯
B
2
p
⋮
⋮
⋱
⋮
B
m
1
B
m
2
⋯
B
m
p
)
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1p}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{m1}&B_{m2}&\cdots &B_{mp}\\\end{pmatrix}}}
AB matris çarpma (çarpım işaretsiz veya noktasız ifade edilir), n × p
A
B
=
(
(
A
B
)
11
(
A
B
)
12
⋯
(
A
B
)
1
p
(
A
B
)
21
(
A
B
)
22
⋯
(
A
B
)
2
p
⋮
⋮
⋱
⋮
(
A
B
)
n
1
(
A
B
)
n
2
⋯
(
A
B
)
n
p
)
{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}\left(\mathbf {AB} \right)_{11}&\left(\mathbf {AB} \right)_{12}&\cdots &\left(\mathbf {AB} \right)_{1p}\\\left(\mathbf {AB} \right)_{21}&\left(\mathbf {AB} \right)_{22}&\cdots &\left(\mathbf {AB} \right)_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\left(\mathbf {AB} \right)_{n1}&\left(\mathbf {AB} \right)_{n2}&\cdots &\left(\mathbf {AB} \right)_{np}\\\end{pmatrix}}}
Burada her bir i, j Aik A i Bkj B j k = 1, 2, ..., m k
(
A
B
)
i
j
=
∑
k
=
1
m
A
i
k
B
k
j
.
{\displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ij}=\sum _{k=1}^{m}A_{ik}B_{kj}\,.}
Girişler genellikle sayı veya ifadelerle belirtilir. Fakat matrislerin kendisi de bir giriş olabilir. (Blok matrise bakınız).
Sağdaki şekil, A B X
[
a
11
a
12
⋅
⋅
a
31
a
32
⋅
⋅
]
4
×
2
matris
[
⋅
b
12
b
13
⋅
b
22
b
23
]
2
×
3
matris
=
[
⋅
x
12
x
13
⋅
⋅
⋅
⋅
x
32
x
33
⋅
⋅
⋅
]
4
×
3
matris
{\displaystyle {\overset {4\times 2{\text{ matris}}}{\begin{bmatrix}{\color {Brown}{a_{11}}}&{\color {Brown}{a_{12}}}\\\cdot &\cdot \\{\color {Orange}{a_{31}}}&{\color {Orange}{a_{32}}}\\\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}{\overset {2\times 3{\text{ matris}}}{\begin{bmatrix}\cdot &{\color {Plum}{b_{12}}}&{\color {Violet}{b_{13}}}\\\cdot &{\color {Plum}{b_{22}}}&{\color {Violet}{b_{23}}}\\\end{bmatrix}}}={\overset {4\times 3{\text{ matris}}}{\begin{bmatrix}\cdot &x_{12}&x_{13}\\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &x_{32}&x_{33}\\\cdot &\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}}
Şekilde, çemberle işaretlenen hücrelerin değerleri şunlardır:
x
12
=
a
11
b
12
+
a
12
b
22
x
13
=
a
11
b
13
+
a
12
b
23
x
32
=
a
31
b
12
+
a
32
b
22
x
33
=
a
31
b
13
+
a
32
b
23
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{12}&={\color {Brown}{a_{11}}}{\color {Plum}{b_{12}}}+{\color {Brown}{a_{12}}}{\color {Plum}{b_{22}}}\\x_{13}&={\color {Brown}{a_{11}}}{\color {Violet}{b_{13}}}+{\color {Brown}{a_{12}}}{\color {Violet}{b_{23}}}\\x_{32}&={\color {Orange}{a_{31}}}{\color {Plum}{b_{12}}}+{\color {Orange}{a_{32}}}{\color {Plum}{b_{22}}}\\x_{33}&={\color {Orange}{a_{31}}}{\color {Violet}{b_{13}}}+{\color {Orange}{a_{32}}}{\color {Violet}{b_{23}}}\end{aligned}}}
Yukarıdakiler, X
Satır vektör ve sütun vektör Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;
A
=
(
a
b
c
)
,
B
=
(
x
y
z
)
,
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,,}
Burada matris çarpma işlemi şöyle:
A
B
=
(
a
b
c
)
(
x
y
z
)
=
a
x
+
b
y
+
c
z
,
{\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=ax+by+cz\,,}
Benzer şekilde;
B
A
=
(
x
y
z
)
(
a
b
c
)
=
(
x
a
x
b
x
c
y
a
y
b
y
c
z
a
z
b
z
c
)
.
{\displaystyle \mathbf {BA} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb&xc\\ya&yb&yc\\za&zb&zc\end{pmatrix}}\,.}
AB BA 1 × 1 boyutlu matris iken, ikincisi 3 × 3 boyutlu matristir.
Kare matris ve sütun vektörüAşağıdaki gibi iki matris verilsin;
A
=
(
a
b
c
p
q
r
u
v
w
)
,
B
=
(
x
y
z
)
,
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,,}
Burada matris çarpma işlemi şöyle:
A
B
=
(
a
b
c
p
q
r
u
v
w
)
(
x
y
z
)
=
(
a
x
+
b
y
+
c
z
p
x
+
q
y
+
r
z
u
x
+
v
y
+
w
z
)
,
{\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\px+qy+rz\\ux+vy+wz\end{pmatrix}}\,,}
Bu örnekte BA
Bir kare matrisi, sütun matrisi ile çarpma, doğrusal denklemleri çözme ve doğrusal dönüşümleri ifade etmek için sıkça kullanılır.
Kare matrisler Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;
A
=
(
a
b
c
p
q
r
u
v
w
)
,
B
=
(
α
β
γ
λ
μ
ν
ρ
σ
τ
)
,
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}\,,}
Burada matris çarpma işlemi şöyledir:
A
B
=
(
a
b
c
p
q
r
u
v
w
)
(
α
β
γ
λ
μ
ν
ρ
σ
τ
)
=
(
a
α
+
b
λ
+
c
ρ
a
β
+
b
μ
+
c
σ
a
γ
+
b
ν
+
c
τ
p
α
+
q
λ
+
r
ρ
p
β
+
q
μ
+
r
σ
p
γ
+
q
ν
+
r
τ
u
α
+
v
λ
+
w
ρ
u
β
+
v
μ
+
w
σ
u
γ
+
v
ν
+
w
τ
)
,
{\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\alpha +b\lambda +c\rho &a\beta +b\mu +c\sigma &a\gamma +b\nu +c\tau \\p\alpha +q\lambda +r\rho &p\beta +q\mu +r\sigma &p\gamma +q\nu +r\tau \\u\alpha +v\lambda +w\rho &u\beta +v\mu +w\sigma &u\gamma +v\nu +w\tau \end{pmatrix}}\,,}
Benzer şekilde;
B
A
=
(
α
β
γ
λ
μ
ν
ρ
σ
τ
)
(
a
b
c
p
q
r
u
v
w
)
=
(
α
a
+
β
p
+
γ
u
α
b
+
β
q
+
γ
v
α
c
+
β
r
+
γ
w
λ
a
+
μ
p
+
ν
u
λ
b
+
μ
q
+
ν
v
λ
c
+
μ
r
+
ν
w
ρ
a
+
σ
p
+
τ
u
ρ
b
+
σ
q
+
τ
v
ρ
c
+
σ
r
+
τ
w
)
.
{\displaystyle \mathbf {BA} ={\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha a+\beta p+\gamma u&\alpha b+\beta q+\gamma v&\alpha c+\beta r+\gamma w\\\lambda a+\mu p+\nu u&\lambda b+\mu q+\nu v&\lambda c+\mu r+\nu w\\\rho a+\sigma p+\tau u&\rho b+\sigma q+\tau v&\rho c+\sigma r+\tau w\end{pmatrix}}\,.}
Bu durumda hem AB BA AB BA
Satır vektör, kare matris ve sütun vektör Aşağıdaki gibi üç matris verilsin;
A
=
(
a
b
c
)
,
B
=
(
α
β
γ
λ
μ
ν
ρ
σ
τ
)
,
C
=
(
x
y
z
)
,
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,,}
Burada matris çarpma işlemi şöyledir:
A
B
C
=
(
a
b
c
)
[
(
α
β
γ
λ
μ
ν
ρ
σ
τ
)
(
x
y
z
)
]
=
[
(
a
b
c
)
(
α
β
γ
λ
μ
ν
ρ
σ
τ
)
]
(
x
y
z
)
=
(
a
b
c
)
(
α
x
+
β
y
+
γ
z
λ
x
+
μ
y
+
ν
z
ρ
x
+
σ
y
+
τ
z
)
=
(
a
α
+
b
λ
+
c
ρ
a
β
+
b
μ
+
c
σ
a
γ
+
b
ν
+
c
τ
)
(
x
y
z
)
=
a
α
x
+
b
λ
x
+
c
ρ
x
+
a
β
y
+
b
μ
y
+
c
σ
y
+
a
γ
z
+
b
ν
z
+
c
τ
z
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ABC} &={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}\left[{\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\right]=\left[{\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}\right]{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha x+\beta y+\gamma z\\\lambda x+\mu y+\nu z\\\rho x+\sigma y+\tau z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\alpha +b\lambda +c\rho &a\beta +b\mu +c\sigma &a\gamma +b\nu +c\tau \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\\&=a\alpha x+b\lambda x+c\rho x+a\beta y+b\mu y+c\sigma y+a\gamma z+b\nu z+c\tau z\,,\end{aligned}}}
Bu durumda CBA A (BC ) = (AB )C
Dikdörtgen matris Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;
A
=
(
a
b
c
x
y
z
)
,
B
=
(
α
ρ
β
σ
γ
τ
)
,
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\x&y&z\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}\alpha &\rho \\\beta &\sigma \\\gamma &\tau \\\end{pmatrix}}\,,}
Burada matris çarpma işlemi şöyledir:
A
B
=
(
a
b
c
x
y
z
)
(
α
ρ
β
σ
γ
τ
)
=
(
a
α
+
b
β
+
c
γ
a
ρ
+
b
σ
+
c
τ
x
α
+
y
β
+
z
γ
x
ρ
+
y
σ
+
z
τ
)
,
{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\x&y&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha &\rho \\\beta &\sigma \\\gamma &\tau \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\alpha +b\beta +c\gamma &a\rho +b\sigma +c\tau \\x\alpha +y\beta +z\gamma &x\rho +y\sigma +z\tau \\\end{pmatrix}}\,,}
Benzer şekilde;
B
A
=
(
α
ρ
β
σ
γ
τ
)
(
a
b
c
x
y
z
)
=
(
α
a
+
ρ
x
α
b
+
ρ
y
α
c
+
ρ
z
β
a
+
σ
x
β
b
+
σ
y
β
c
+
σ
z
γ
a
+
τ
x
γ
b
+
τ
y
γ
c
+
τ
z
)
.
{\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\alpha &\rho \\\beta &\sigma \\\gamma &\tau \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\x&y&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha a+\rho x&\alpha b+\rho y&\alpha c+\rho z\\\beta a+\sigma x&\beta b+\sigma y&\beta c+\sigma z\\\gamma a+\tau x&\gamma b+\tau y&\gamma c+\tau z\end{pmatrix}}\,.}
1. Değişme özelliği yoktur:
Genellikle:
A
B
≠
B
A
{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} \neq \mathbf {B} \mathbf {A} }
Çünkü AB BA çarpılmasına terstir. Matris çarpımını büyüklüğünü kelimelerle ifade etmek için; A B BA A C AC n > 1n × n birim matris (veya herhangi bir skaler çarpımı)dır.
Dizi gösterimi:
∑
k
A
i
k
B
k
j
≠
∑
k
B
i
k
A
k
j
{\displaystyle \sum _{k}A_{ik}B_{kj}\neq \sum _{k}B_{ik}A_{kj}}
2. Matrisin toplama üzerine dağılma özelliği vardır:
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {AB} +\mathbf {AC} }
Sağ dağılım:
(
A
+
B
)
C
=
A
C
+
B
C
{\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {C} =\mathbf {AC} +\mathbf {BC} }
Dizi gösteriminde sırasıyla bunlar:
∑
k
A
i
k
(
B
k
j
+
C
k
j
)
=
∑
k
A
i
k
B
k
j
+
∑
k
A
i
k
C
k
j
{\displaystyle \sum _{k}A_{ik}(B_{kj}+C_{kj})=\sum _{k}A_{ik}B_{kj}+\sum _{k}A_{ik}C_{kj}}
∑
k
(
A
i
k
+
B
i
k
)
C
k
j
=
∑
k
A
i
k
C
k
j
+
∑
k
B
i
k
C
k
j
{\displaystyle \sum _{k}(A_{ik}+B_{ik})C_{kj}=\sum _{k}A_{ik}C_{kj}+\sum _{k}B_{ik}C_{kj}}
3. Skaler çarpma , matris çarpımı ile uyumludur:
λ
(
A
B
)
=
(
λ
A
)
B
{\displaystyle \lambda (\mathbf {AB} )=(\lambda \mathbf {A} )\mathbf {B} }
(
A
B
)
λ
=
A
(
B
λ
)
{\displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {B} )\lambda =\mathbf {A} (\mathbf {B} \lambda )}
Burada λ skalerdir . Eğer matrisin tüm girişleri reel veya karmaşık sayı ise, tüm dört miktarda eşit olur. Daha genel bir ifade ile, eğer λ X λ X = X λ
λ
∑
k
(
A
i
k
B
k
j
)
=
∑
k
(
λ
A
i
k
)
B
k
j
=
∑
k
A
i
k
(
λ
B
k
j
)
{\displaystyle \lambda \sum _{k}(A_{ik}B_{kj})=\sum _{k}(\lambda A_{ik})B_{kj}=\sum _{k}A_{ik}(\lambda B_{kj})}
∑
k
(
A
i
k
B
k
j
)
λ
=
∑
k
(
A
i
k
λ
)
B
k
j
=
∑
k
A
i
k
(
B
k
j
λ
)
{\displaystyle \sum _{k}(A_{ik}B_{kj})\lambda =\sum _{k}(A_{ik}\lambda )B_{kj}=\sum _{k}A_{ik}(B_{kj}\lambda )}
4. Transpoze :
(
A
B
)
T
=
B
T
A
T
{\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}
Burada T , transpozeyi ifade eder.
Dizi gösteriminde:
[
(
A
B
)
T
]
i
j
=
(
A
B
)
j
i
=
∑
k
(
A
)
j
k
(
B
)
k
i
=
∑
k
(
A
T
)
k
j
(
B
T
)
i
k
=
∑
k
(
B
T
)
i
k
(
A
T
)
k
j
=
[
(
B
T
)
(
A
T
)
]
i
j
{\displaystyle {\begin{aligned}\left[(\mathbf {AB} )^{\mathrm {T} }\right]_{ij}&=\left(\mathbf {AB} \right)_{ji}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} \right)_{jk}\left(\mathbf {B} \right)_{ki}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)_{kj}\left(\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\right)_{ik}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\right)_{ik}\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)_{kj}\\&=\left[\left(\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\right)\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)\right]_{ij}\end{aligned}}}
5. Karmaşık eşlenik :A B
(
A
B
)
⋆
=
A
⋆
B
⋆
{\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\star }=\mathbf {A} ^{\star }\mathbf {B} ^{\star }}
olur. Burada * , bir matrisin karmaşık eşleniğini ifade eder.
Dizi gösteriminde:
[
(
A
B
)
⋆
]
i
j
=
[
∑
k
(
A
)
i
k
(
B
)
k
j
]
⋆
=
∑
k
(
A
)
i
k
⋆
(
B
)
k
j
⋆
=
∑
k
(
A
⋆
)
i
k
(
B
⋆
)
k
j
=
(
A
⋆
B
⋆
)
i
j
{\displaystyle {\begin{aligned}\left[(\mathbf {AB} )^{\star }\right]_{ij}&=\left[\sum _{k}\left(\mathbf {A} \right)_{ik}\left(\mathbf {B} \right)_{kj}\right]^{\star }\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} \right)_{ik}^{\star }\left(\mathbf {B} \right)_{kj}^{\star }\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} ^{\star }\right)_{ik}\left(\mathbf {B} ^{\star }\right)_{kj}\\&=\left(\mathbf {A} ^{\star }\mathbf {B} ^{\star }\right)_{ij}\end{aligned}}}
6. Eşlenik transpozesi :
Eğer A B
(
A
B
)
†
=
B
†
A
†
{\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\dagger }=\mathbf {B} ^{\dagger }\mathbf {A} ^{\dagger }}
Burada † , bir matrisin karmaşık transpozesini ifade eder.
Dizi gösteriminde:
[
(
A
B
)
†
]
i
j
=
[
(
A
B
)
⋆
]
j
i
=
∑
k
(
A
⋆
)
j
k
(
B
⋆
)
k
i
=
∑
k
(
A
†
)
k
j
(
B
†
)
i
k
=
∑
k
(
B
†
)
i
k
(
A
†
)
k
j
=
[
(
A
†
)
(
B
†
)
]
i
j
{\displaystyle {\begin{aligned}\left[(\mathbf {AB} )^{\dagger }\right]_{ij}&=\left[\left(\mathbf {AB} \right)^{\star }\right]_{ji}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} ^{\star }\right)_{jk}\left(\mathbf {B} ^{\star }\right)_{ki}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} ^{\dagger }\right)_{kj}\left(\mathbf {B} ^{\dagger }\right)_{ik}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {B} ^{\dagger }\right)_{ik}\left(\mathbf {A} ^{\dagger }\right)_{kj}\\&=\left[\left(\mathbf {A} ^{\dagger }\right)\left(\mathbf {B} ^{\dagger }\right)\right]_{ij}\end{aligned}}}
7. İlkköşegen toplamı :AB A B
t
r
(
A
B
)
=
t
r
(
B
A
)
{\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )}
Dizi gösteriminde:
t
r
(
A
B
)
=
∑
i
∑
k
A
i
k
B
k
i
=
∑
k
∑
i
B
k
i
A
i
k
=
t
r
(
B
A
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tr} (\mathbf {AB} )&=\sum _{i}\sum _{k}A_{ik}B_{ki}\\&=\sum _{k}\sum _{i}B_{ki}A_{ik}\\&=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )\end{aligned}}}
1. Birim matris :
Eğer A
A
I
=
I
A
=
A
{\displaystyle \mathbf {AI} =\mathbf {IA} =\mathbf {A} }
Burada I
2. Tersinir matris :
Eğer A A −1
A
A
−
1
=
A
−
1
A
=
I
{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }
Bu durumda aşağıdaki eşitlik sağlanır;
(
A
B
)
−
1
=
B
−
1
A
−
1
{\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\mathrm {-1} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {-1} }\mathbf {A} ^{\mathrm {-1} }}
3. Determinant :AB A B
det
(
A
B
)
=
det
(
A
)
det
(
B
)
{\displaystyle \det(\mathbf {AB} )=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {B} )}
det(A ) ve det(B ) yalnızca sayıdır. Bu yüzden, AB ≠ BA det(AB ) = det(BA ) olur.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ABC} &={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}\left[{\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\right]=\left[{\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}\right]{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha x+\beta y+\gamma z\\\lambda x+\mu y+\nu z\\\rho x+\sigma y+\tau z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\alpha +b\lambda +c\rho &a\beta +b\mu +c\sigma &a\gamma +b\nu +c\tau \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\\&=a\alpha x+b\lambda x+c\rho x+a\beta y+b\mu y+c\sigma y+a\gamma z+b\nu z+c\tau z\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c6d62200e683fe070d5e66e7e94d11ffdfad2d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[(\mathbf {AB} )^{\mathrm {T} }\right]_{ij}&=\left(\mathbf {AB} \right)_{ji}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} \right)_{jk}\left(\mathbf {B} \right)_{ki}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)_{kj}\left(\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\right)_{ik}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\right)_{ik}\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)_{kj}\\&=\left[\left(\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\right)\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)\right]_{ij}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc6a19c27313397d4104044470bfbf1c7ab4476)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[(\mathbf {AB} )^{\star }\right]_{ij}&=\left[\sum _{k}\left(\mathbf {A} \right)_{ik}\left(\mathbf {B} \right)_{kj}\right]^{\star }\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} \right)_{ik}^{\star }\left(\mathbf {B} \right)_{kj}^{\star }\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} ^{\star }\right)_{ik}\left(\mathbf {B} ^{\star }\right)_{kj}\\&=\left(\mathbf {A} ^{\star }\mathbf {B} ^{\star }\right)_{ij}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9013561a49a213ca7718b1933374923a3fa093c6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[(\mathbf {AB} )^{\dagger }\right]_{ij}&=\left[\left(\mathbf {AB} \right)^{\star }\right]_{ji}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} ^{\star }\right)_{jk}\left(\mathbf {B} ^{\star }\right)_{ki}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} ^{\dagger }\right)_{kj}\left(\mathbf {B} ^{\dagger }\right)_{ik}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {B} ^{\dagger }\right)_{ik}\left(\mathbf {A} ^{\dagger }\right)_{kj}\\&=\left[\left(\mathbf {A} ^{\dagger }\right)\left(\mathbf {B} ^{\dagger }\right)\right]_{ij}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce25a89d4e1e89214866c30d89f78243a785bc9)
