Determinant

Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır.

Bir A matrisin determinant'ı det(A) ya da det A şeklinde gösterilir. Diğer bir gösterim şekli ise matrix elementlerini arasına alan dikey çizgi ikilisidir. Örneğin:

${\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}$ matrisinin determinantı şu şekilde gösterilir: ${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}\$.

Basit bir örnek olarak,

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\,$

matrisinin determinantı şudur:

$\det A=ad-bc.\$

Determinantın açık tanımı

Determinantın açık tanımı bir A matrisinin kofaktörü C ya da minörü M cinsinden gösterilebilir:

$\det(A)=\sum _{j=1}^{n}A_{i,j}C_{i,j}=\sum _{j=1}^{n}A_{i,j}(-1)^{i+j}M_{i,j}$.

Determinant ve geometri

Yukarıda belirtilen 2x2 A matrisinin determinantın mutlak değeri, köşeleri (0,0), (a,b), (a + c, b + d) ve (c,d) noktalarında olan bir paralelkenarın alanına eşittir.

Benzer bir şekilde, 3x3 bir matrisin determinantının mutlak değeri, üç boyutlu paralelyüz cisminin hacmine eşittir.

Determinantın temel özellikleri

• Birim matrisin determinantı birdir:

${\begin{vmatrix}1&0&\ldots &0\\0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &1\end{vmatrix}}=1.$

• Iki matrisin çarpımının determinantı, bu iki matrisin determinantlarının çarpımına eşittir:

${\mathsf {\det(AB)=\det(A)\det(B)}}$.

• det(A) sıfırdan farklı ise, A matrisinin tersi A⁻¹ tanımlıdır. Bu durumda:

${\mathsf {\det(A^{-1})=\left(\det(A)\right)^{-1}}}$.

• A ve B benzer matrisler olsun: $\textstyle {\mathsf {A=X^{-1}BX}}$ ve dönüşüm matrisi X in tersi $\textstyle {\mathsf {X^{-1}}}$ tanımlı olsun. Bu durumda:

${\mathsf {\det(A)=\det(X)^{-1}\det(BX)=\det(X)^{-1}\det(B)\det(X)=\det(B)\det(X)^{-1}\det(X)=\det(B)}}$.

• Bir matrisin transpozunun determinantı kendi determinantına eşittir:

${\mathsf {\det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)}}$.

• Bir matrisin bir sayı ile çarpımının determinantı:

${\mathsf {\det(\alpha A)=\alpha ^{n}det(A)}}$.

Kalıp Matrisler (Blok matrisler)

Boyutları n×n, n×m, m×n ve m×m olan A, B, C ve D matrislerinin olduğunu varsayalım. Bu matrisleri kullanarak n+m × n+m boyutunda büyük bir kare matris M oluşturalım. M'yi oluşturan A, B, C ya da D kalıplarından herhangi birisi sıfır matris ise, M'nin determinantı kolayca hesaplanabilir:

$\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&0\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\0&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(A)\det(D)}}.$

Bu sonuç M matrisini iki matrisin çarpımı şekilde yazarak kolayca gösterilebilir. Anın tersi tanımlı olsun. Bu durumda

${\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&0\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {I}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\mathsf {I}}&{\mathsf {A}}^{-1}{\mathsf {B}}\\0&{\mathsf {D-CA^{-1}B}}\end{pmatrix}}$

denkliği yazılabilir ve buradan determinant

$\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(A)\det(D-CA^{-1}B)}}.$

şeklinde hesaplanır. B ya da Cnin sıfır matris olması durumda yukarıdaki sonucu elde etmiş oluruz.

Ayrıca,

C ve D'nin değişme özelliği var ise, yani CD = DC ise, $\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(AD-BC)}}$.

A ve C'nin değişme özelliği var ise, yani AC = CA ise, $\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(AD-CB)}}$.

B ve D'nin değişme özelliği var ise, yani BD = DB ise, $\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(DA-BC)}}$.

A ve B'nin değişme özelliği var ise, yani AB = BA ise, $\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(DA-CB)}}$.