Karmaşık eşlenik

$z$ ve eşleniği ${\overline {z}}$ sayılarının karmaşık düzlemdeki geometrik temsili. Karmaşık eşlenik $z$'nin gerçel eksene göre yansıtmasıyla elde edilir.

Matematikte, bir karmaşık sayının karmaşık eşleniği, büyüklük olarak eşit ancak işaret olarak zıt bir sanal kısma ve eşit bir gerçel kısma sahip olan bir karmaşık sayıdır. Yani, $a$ ve $b$ gerçel sayılar ise, o zaman $a+ib$'nin karmaşık eşleniği $a-ib$ olur.

Gösterim

Bir karmaşık sayının eşleniği genelde bu karmaşık sayının üzerine sayıyı kaplayacak şekilde çekilen bir çizgi ile gösterilir. Yani, karmaşık sayı $z=a+ib$ ise, bu sayının eşleniği ${\overline {z}}={\overline {a+ib}}=a-ib$ olur. Matematikte nadir de olsa $z^{*}$ kullanımı da mevcuttur. Ancak, bu tür bir gösterimin bir matrisin eşlenik devrik matrisiyle karıştırılması ihtimali artacağından bu gösterim pek tercih edilmez.

Kutupsal koordinat sisteminde, eğer $r$ ve $\varphi$ gerçel sayılarsa, o zaman $re^{i\varphi }$ sayısının eşleniği $re^{-i\varphi }$ sayısıdır. Bunu Euler formülü aracılığıyla göstermek basittir.

Özellikler

• Bir karmaşık sayının eşleniğiyle çarpımı gerçel bir sayıdır; yani, $z=a+ib$ ya da polar koordinat gösteriminde $z=re^{i\varphi }$ ise o zaman $z{\overline {z}}=a^{2}+b^{2}=r^{2}$ olur.
• Herhangi iki karmaşık sayı için, eşlenik alma işleminin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme üzerine dağılmalıdır. Herhangi iki karmaşık sayı $z$ ve $w$ olsun. O zaman,

${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}},$

${\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}},$

${\overline {zw}}={\overline {z}}\;{\overline {w}},$

${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad ({\text{eğer }}w\neq 0$ ise)

• Bir karmaşık sayının eşleniğinin kendisine eşit olması için bu sayının sanal kısmının sıfıra eşit olması lazımdır. Diğer deyişle, bu karmaşık sayı aslında bir gerçel sayıdır.
• Bir karmaşık sayının mutlak değeri eşlenik altında değişmez; yani, $\left|{\overline {z}}\right|=|z|.$
• Eşlenik alma işlemi bir involüsyondur. Yani, karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği yine karmaşık sayıyı verir.
• Karmaşık bir sayının mutlak değeri karmaşık sayının eşleniğiyle çarpımı üzerinden tanımlabilir: $z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}$. O zaman, her $z\neq 0$ için $z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}$ olur ki bu da bir karmaşık sayının çarpmaya göre tersini hesaplamayı kolaylaştırır.
• Karmaşık sayılar üzerinde
  • eşlenik alma işlemi ile tam sayı üssü alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, her $n\in \mathbb {Z}$ için ${\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n}$ sağlanır.
  • eşlenik alma işlemi ile üstel alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, her $n\in \mathbb {Z}$ için $e^{\overline {z}}={\overline {e^{z}}}$ sağlanır.
  • eşlenik alma işlemi ile logaritma alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, eğer $z$ logaritmanın tanım kümesi içerisindeyse $\ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}$ sağlanır.
• Tek karmaşık değişkenli ver gerçel sayı katsayılı polinomların köklerinden biri karmaşık sayı ise, o zaman bu kökün karmaşık eşleniği de bu polinomun yine köküdür.

Değişken olarak kullanımı

Bir karmaşık değişken $z=x+iy$ veya $z=re^{i\theta }$ halinde verilmiş olsun. O zaman eşleniği kullanarak, $z$-değişkeninin gerçel ve sanal kısımları hesaplanabilir ve basi:

• Gerçel kısım : $x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}$
• Sanal kısım: $y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}$
• Mutlak değer: $r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$
• Argüman: $e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},$ böylece $\theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}$.

Dahası, ${\overline {z}}$ karmaşık düzlemdeki doğruları tanımlamak için de kullanılabilir. Mesela, $$\left\{z:z{\overline {w}}+{\overline {w}}r=0\right\}$$ kümesi orijinden geçen ve ${w}$'ya dik olan bir doğruyu verir. Çünkü, $z\cdot {\overline {r}}$ ifadesinin gerçel kısmının sıfıra eşit olması ancak when the cosine of the angle between $z$ ve ${w}$ arasındaki açının kosinüsünün sıfıra eşit olmasıyla mümkündür. benzer bir şekilde, sabitlenmiş biri birim karmaşık sayısı $u=e^{ib},$ için $${\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}$$ ifadesi de 0 ve $u$'dan geçen doğruya paralel olan ve $z_{0}$'dan geçen bir doğru verir.