Dışbükey fonksiyon

Bir aralık üzerinde dışbükey fonksiyonun grafiği

Bir fonksiyon (Siyahla ile gösterilmiştir) ancak ve ancak grafiğinin üstünde kalan bölge dışbükey kümeyse dışbükeydir.

Matematikte, gerçel değerli bir fonksiyonun grafiğindeki herhangi iki ayrı nokta arasındaki doğru parçası, grafiğin üstünde veya üzerinde yer alıyorsa, bu fonksiyona dışbükey fonksiyon ya da konveks fonksiyon denir. Eşdeğer bir ifâdeyle, bir fonksiyonun epigrafı (fonksiyonun grafiğinin üzerinde veya üstündeki noktaların kümesi) bir dışbükey küme ise fonksiyon dışbükeydir. Yine grafik üzerinden basitçe tarif etmek gerekirse, dışbükey bir fonksiyonun grafiği bir fincan $\cup$ ya da veya doğrusal bir fonksiyonda olduğu gibi düz bir çizgi şeklindedir. İçbükey bir fonksiyonun grafiği ise bir şapka $\cap$ gibi şekle sahiptir.

Tek değişkenli bir fonksiyon en az iki kez türevlenebilir ise, o zaman bu fonksiyonun dışbükeyliği ancak ve ancak ikinci türev (fonksiyonun tanım kümesinde) negatif değilse mümkündür. Tek değişkenli dışbükey fonksiyonların iyi bilinen örnekleri arasında $c$ gerçel olmak üzere $f(x)=cx$ biçimindeki doğrusal fonksiyonlar bulunur. $c$ negatif olmayan bir gerçel sayı olmak üzere $cx^{2}$ biçimindeki kuadratik fonksiyonlar ve $ce^{x}$ biçimindeki üstel fonksiyonlar da örnek olarak alınabilir.

Dışbükey fonksiyonlar matematiğin birçok alanında önemli bir rol oynar. Özellikle, optimizasyon problemlerinde kullanışlı özellikleriyle önemlidirler. Örneğin, açık bir küme üzerindeki kesin dışbükey bir fonksiyonun birden fazla minimumu yoktur. Sonsuz boyutlu uzaylarda bile, uygun ek hipotezler altında, dışbükey fonksiyonlar bu tür özellikleri sağlamaya devam eder ve sonuç olarak, varyasyonlar hesabında en çok anlaşılmış fonksiyoneller dışbükey olanlardır. Olasılık teorisinde, bir rassal değişkenin beklenen değerine uygulanan bir dışbükey fonksiyon, her zaman rastgele değişkenin dışbükey fonksiyonunun beklenen değeri ile üstten sınırlıdır. Jensen eşitsizliği olarak bilinen bu sonuç, aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği ve Hölder eşitsizliği gibi eşitsizlikleri çıkarmak için kullanılabilir.

Tanım

$X$ gerçel bir vektör uzayın dışbükey altkümesi olsun ve $f:X\to \mathbb {R}$ bir fonksiyon olsun. Aşağıda verilen ve birbirine denk olanr koşullardan biri $f$ tarafından sağlandığında, $f$'ye dışbükey fonksiyon denir.

1. Her $0\leq t\leq 1$ ve her $x_{1},x_{2}\in X$ için $$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right).$$
Eşitsizliğin sağındaki ifâde, $f$nin grafiğinde $\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)$ ve $\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)$ arasındaki doğruyu $t$nin fonksiyonu olarak belirtir. Soldaki ifâdede ise, $f$ fonksiyonunun argümanı $X$teki $x_{1}$ ve $x_{2}$ elemanları arasındaki doğruyu belirtir. Demek ki, bu koşul ile $f$nin grafiğindeki iki noktayı bağlayan doğrunun ya grafiğin üzerinde ya da üstünde olması istenmektedir.
2. Her $0<t<1$ ve $x_{1}\neq x_{2}$ sağlayan bütün $x_{1},x_{2}\in X$ için $$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right).$$ Bu ikinci tanım şartının birinci tanım şartından temel farkı alınan doğru ile grafiğin kesişmesini istememesidir. Birinci koşulda $t=1$ alırsak, $f\left(x_{1}\right)\leq f\left(x_{1}\right)$, $t=0$ alırsak $f\left(x_{2}\right)\leq f\left(x_{2}\right)$ olacaktır ki bu ifâdeler zâten doğrudur. Yine, $x_{1}=x_{2}$ alırsak her zaman doğru olan ifâdeler ortaya çıkar. O yüzden, bu koşulları tanımdan çıkarmanın bir zararı yoktur.

Gerçel sayı doğrusu $\mathbb {R}$de değer alan dışbükey fonksiyonları karakterize eden ikinci ifade ayrıca genişletilmiş gerçel sayı doğrusunda, yâni, $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ kümesinde, değer alan dışbükey fonksiyonları tanımlamak için de kullanılan ifadedir. Diğer deyişle, bir $f$ fonksiyonu $\pm \infty$ değerleri alıyorsa, o zaman ikinci ifâdeyi kullanmak daha elverişlidir. Birinci ifâdenin kullanılmamasının ilk sebebi $t$nin $0$ veya $1$ değeri almasına izin verilmesidir ki bu durumda sırasıyla $f\left(x_{1}\right)=\pm \infty$ veya $f\left(x_{2}\right)=\pm \infty$ olursa, $0\cdot \infty$ and $0\cdot (-\infty )$ ifâdelerinin tanımsızlığından dolayı $tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)$ ifâdesi de tanımsız olur. Yine, $-\infty +\infty$ ifâdesi de tanımsızdır. Bu yüzden, genişletilmiş gerçel sayı doğrusunda değer alan dışbükey fonksiyonların $-\infty$ ve $+\infty$ değerlerinden genelde sadece bir tanesini almasına izin verilir.

Kesin dışbükeylik

İkinci ifade, kesin dışbükeyliğin tanımını elde etmek için de değiştirilebilir ki burada eşitliğe de izin veren küçük eşittir gösterimi $(\leq )$ yerini eşitliğe izin vermeyen küçüktür gösterimine $(<)$ bırakır. Daha matematiksel bir ifâdeyle, her $0<t<1$ ve $x_{1}\neq x_{2}$ olan bütün $x_{1},x_{2}\in X$ için $$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)<tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)$$ özelliğini sağlayan fonksiyonlara kesin dışbükey denir.

Kesin dışbükey fonksiyonların grafiğindeki iki farklı noktayı birleştiren doğru parçasının üç noktaları hariç geriye kalan bütün noktaları fonksiyonun grafiğinin üstünde kalır. Dışbükey olup da kesin dışbükey olmayan bir fonksiyona $f(x,y)=x^{2}+y$ örneği verilebilir.

Bir fonksiyonun negatifi dışbükeyse (ya da kesin dışbükeyse), o zaman fonksiyona içbükey fonksiyon (ya da kesin içbükey fonksiyon) denir.

Dışbükeyimsi fonksiyon

Ana madde: Dışbükeyimsi fonksiyon

Bir aralıkta (veya daha genel olarak vektör uzayındaki bir dışbükey kümede) tanımlı ve gerçel değerli bir $f$ fonksiyonu eğer her $\alpha \in [0,1]$ için

$f((1-\alpha )x+\alpha y)\leq \max(f(x),f(y))$

eşitsizliğini tanım kümesindeki her $x$ ve $y$ için sağlıyorsa, o zaman fonksiyona dışbükeyimsi fonksiyon denir.

Özellikler

Dışbükey fonksiyonların birçok özelliği, tek değişkenli fonksiyonlar için olduğu gibi çok değişkenli fonksiyonlar için de basitlikle ifâde edilebilir ve genelde de aynı formülasyona sahiptir. Bu yüzden, çok değişkenli fonksiyonlar için aşağıda verilen özelliklere de bakınız; bu özelliklerden bir değişkenli fonksiyonlar kısmında ayrıca bahsedilmemiştir.

Bir değişkenli fonksiyonlar

• Bir aralık üzerinde tanımlı ve gerçel değişkenli bir $f$ fonksiyonunu ele alalım ve

$$R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$$ fonksiyonunu tanımlayalım. $R$ fonksiyonunda $x_{1}$ ve $x_{2}$ nin yerleri değiştirildiğinde fonksiyonun değeri aynı kaldığı için, $R$ fonksiyonu $(x_{1},x_{2})$ değişkeninde bakışık (simetrik) olur. O zaman, $f$ fonksiyonunun dışbükeyliği için gerekli ve yeterli şart $R(x_{1},x_{2})$ fonksiyonunun sabitlenmiş $x_{2}$ değerleri için $x_{1}$ değişkeninde kesin azalmayan olmasıdır.

• Bir $C$ açık aralığı üzerinde tanımlı ve bir gerçel değişkenli bir fonksiyon dışbükeyse, o zaman bu aralık üzerinde süreklidir. Fonksiyonun aynı zamanda soldan ve sağdan türevleri de vardır ve türevler kesin azalmayandır. Ayrıca, sol türev soldan sürekli, sağ türev ise sağdan süreklidir. Sonuç olarak, fonksiyon en fazla sayılabilir bir küme haricinde türevlidir. Yine de, fonksiyonun türevli olmadığı noktalar yoğun olabilir. Eğer $C$ kapalı aralıksa, $C$nin başlangıç ve bitiş noktalarında fonksiyonun sürekliliği olmayabilir.
• Türevlenebilir bir fonksiyonun bir aralıkta dışbükey olması için gerekli ve yeterli şart türevinin aynı aralıkta kesin azalmayan olmasıdır. Bir fonksiyon hem dışbükey hem de türevlenebilirse, o zaman, sürekli türevlenebilirdir; yâni, türevi de süreklidir.
• Bir gerçel değişkenli ve türevlenebilir bir fonksiyonun dışbükey olması için gerekli ve yeterli şart fonksiyonun grafiğinin bütün teğet doğrularının üstünde yer almasıdır; yâni, her $x$ ve $y$ için

$$f(x)\geq f(y)+f'(y)(x-y)$$

olmalıdır.

• Bir gerçel değişkenli ve iki kere türevlenebilir bir fonksiyonun dışbükey olması için gerekli ve yeterli şart ikinci türevinin negatif olmamasıdır.
• Dışbükey bir $f$ fonksiyonu için $f(0)\leq 0$ varsa, o zaman, bütün pozitif $a$ ve $b$ için $f(a+b)\geq f(a)+f(b)$ sağlanır.

Kanıt: $f$ dışbükey olduğu için, dışbükeylik tanımında $x_{2}=0$ alarak bütün $0\leq t\leq 1$ için

$${\begin{aligned}f(tx_{1})&=f(tx_{1}+(1-t)\cdot 0)\\&\leq tf(x_{1})+(1-t)f(0)\\&\leq tf(x_{1})\\\end{aligned}}$$

elde edilir. $f(tx_{1})\leq tf(x_{1})$ olduğu için

$${\begin{aligned}f(a)+f(b)&=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\\&\leq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)\\&=f(a+b).\\\end{aligned}}$$

Böylece, $f(a)+f(b)\leq f(a+b)$ olur.

• Bir $C$ aralığında tanımlı $f$ fonksiyonu her $x_{1},x_{2}\in C$ için

$$f\!\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}$$

özelliğini sağlıyorsa bu fonksiyon orta nokta dışbükeyliğini sağlıyordur. Bu özellik, dışbükeylikten daha zayıf bir özelliktir ve elbette bütün dışbükey fonksiyonlar bu özelliği sağlar. Tersi yönde ise Sierpiński'nin bir teoremi geçerlidir: Orta nokta dışbükeyliğini sağlayan bütün Lebesgue ölçülebilir fonksiyonlar aynı zamanda dışbükeydir. Daha da özelde, sürekli bir fonksiyon orta nokta dışbükeyliğini sağlıyorsa dışbükeydir.

Çok değişkenli fonksiyonlar

• Herbir değişkeninde ayrı ayrı dışbükey olan bir fonksiyon genel olarak dışbükey olmak zorunda değildir. Mesela, $f(x,y)=xy$fonksiyonu her bir değişkende (diğeri sabit tutularak) doğrusallıktan dolayı dışbükeydir ancak fonksiyonda tüm değişkenler aynı anda hesaba katıldığında dışbükey değildir.
• Genişletilmiş gerçel sayılar doğrusu $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ kümesinde değerler alan bir $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ fonksiyonunun dışbükeyliği için fonksiyonun $$\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}$$

biçiminde yazılabilen epigrafının dışbükey olması gerekli ve yeterlidir.

• Türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun dışbükey olması için $f(x)\geq f(y)+\nabla f(y)^{T}\cdot (x-y)$ eşitsizliğinin fonksiyonun tanım kümesindeki bütün $x,y$ elemanları için sağlanması gerekli ve yeterlidir.
• İki kere türevlenebilen bir fonksiyonun bir dışbükey küme üzerinde dışbükey olması için Hesse matrisinin dışbükey kümenin içinde kesin pozitif matris olması gerekli ve yeterlidir.
• Bir $f$ fonksiyonu dışbükeyse, o zaman $a\in \mathbb {R}$ için $\{x:f(x)<a\}$ ve $\{x:f(x)\leq a\}$ altseviye kümeleri dışbükey kümedir. Bu tür özellikleri sağlayan fonksiyonlara dışbükeyimsi fonksiyon adı verilir ve her zaman dışbükey olmayabilirler.
• Bir dışbükey fonksiyonun yerel minimumu aynı zamanda mutlak minimumudur. Kesin dışbükey fonksiyonun en fazla bir tane mutlak minimumu olabilir.
• Jensen eşitsizliği bütün dışbükey fonksiyonlara uygulanabilir. Eğer $X$ ile gösterilen bir rassal değişkenin değer kümesi, dışbükey bir $f$ fonksiyonunun tanım kümesindeyse $\operatorname {E} (f(X))\geq f(\operatorname {E} (X))$ olur. Burada, $\operatorname {E}$ beklenen değerdir. Gerçekten de, Jensen eşitsizliğinin hipotezini sağlayan fonksiyonlar dışbükey fonksiyonlardır.
• $f(ax,ay)=af(x,y)$ eşitliğini bütün $a,x,y>0$ için sağlayan birinci mertebeden iki değişkenli homojen fonksiyonlar, bir değişkeninde dışbükey ise diğer değişkende de dışbükeydir.

Dışbükeyliği koruyan işlemler

• Bir $f$ fonksiyonun dışbükeyliği $-f$ fonksiyonunun içbükeyliğine denktir.
• Herhangi bir $r$ gerçel sayısı için, $r+f$ ancak ve ancak $f$ dışbükeyse dışbükeydir.
• $w_{1},\ldots ,w_{n}\geq 0$ ise ve $f_{1},\ldots ,f_{n}$ fonksiyonlarının hepsi dışbükeyse, o zaman $w_{1}f_{1}+\cdots +w_{n}f_{n}$ de dışbükeydir. Özellikle, iki dışbükey fonksiyonun toplamı yine dışbükeydir. Bu özellik, tanımlı oldukları sürece sonsuz toplamlara, integrallere ve beklenen değerlere de genişletilebilir.
• Dışbükey fonksiyonların bir noktadaki supremumu üzerinden tanımlanan fonksiyon da dışbükeydir. Diğer deyişle, $I$ bir endis kümesi ise ve $\{f_{i}\}_{i\in I}$ kümeleri de bu fonksiyonların bu endis kümesine göre dışbükey bir ailesi ise, o zaman $g(x):=\sup \nolimits _{i\in I}f_{i}(x)$ fonksiyonu da dışbükeydir. Bu özelliğin özel bir durumu olarak,
  • Dışbükey fonksiyonların maksimumu yine dışbükeydir. Yâni, $f_{1},\ldots ,f_{n}$ dışbükey fonksiyonlar ise, o zaman $g(x):=\max \left\{f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x)\right\}$ fonksiyonu da dışbükeydir.
  • Danskin teoremi: $f(x,y)$ fonksiyonu $x$ değişkeninde dışbükey ise, o zaman $g(x):=\sup \nolimits _{y\in C}f(x,y)$ fonksiyonu da, $C$ kümesi dışbükey olmasa bile, dışbükeydir.
• $f(x,y)$ fonksiyonu $(x,y)$ değişkeninde dışbükeyse, o zaman $g(x):=\inf \nolimits _{y\in C}f(x,y)$ fonksiyonu $x$ değişkeninde $C$ kümesi dışbükey ve $g(x)\neq -\infty$ olduğu sürece dışbükeydir.
• $f$ ve $g$ fonksiyonları dışbükey fonksiyonlar ise ve $g$ gerçel doğru üzerindeki bir kümede azalmıyor ise, o zaman $h(x)=g(f(x))$ fonksiyonu da dışbükeydir. Örneğin, $f$ dışbükeyse $e^{f(x)}$ de dışbükeydir çünkü $e^{x}$ dışbükeydir ve kesin artandır. Benzer bir özellik ise şu durumda çıkar. Eğer $f$ içbükeyse, $g$ dışbükeyse ve $g$ gerçel doğru üzerindeki bir kümede artmıyor ise, o zaman $h(x)=g(f(x))$ de dışbükeydir.
• Dışbükeylik afin gönderimler altında değişmez bir özelliğe sahiptir. Diğer deyişle, $f$ fonksiyonu bir $D_{f}\subseteq \mathbf {R} ^{m}$ kümesi üzerinde dışbükey ise, o zaman, $g(x)=f(Ax+b)$ kümesi de dışbükeydir. Burada, $A\in \mathbf {R} ^{m\times n},b\in \mathbf {R} ^{m}$ ve $g$'nin tanım kümesi $D_{g}\subseteq \mathbf {R} ^{n}$ alınmıştır.
• $f$ dışbükeyse, tanım kümesi $\left\{(x,t):{\tfrac {x}{t}}\in \operatorname {Dom} (f),t>0\right\}$ olan $g(x,t)=tf\left({\tfrac {x}{t}}\right)$ fonksiyonu da dışbükeydir.
• $X$ bir vektör uzayı olsun. $f:X\to \mathbf {R}$ fonksiyonun dışbükey olması ve $f(0)\leq 0$ eşitsizliğini sağlaması ancak ve ancak $x,y\in X$ ve $a+b\leq 1$ özelliğini sağlayan her $a,b\geq 0$ için

$f(ax+by)\leq af(x)+bf(y)$

özelliği sağlanıyorsa mümkündür.

Güçlü dışbükey fonksiyonlar

Kesin dışbükeylik kavramını bir paramatre aracılığıyla genelleştiren güçlü dışbükeylik kavramı da mevcuttur. Sezgisel olarak, güçlü dışbükey bir fonksiyon, en az ikinci dereceden bir fonksiyon kadar hızlı büyüyen bir fonksiyondur. Güçlü dışbükey bir fonksiyon kesin dışbükeydir; ancak, bu ifâdenin tersi her zaman doğru değildir. Tek gerçel değişkene bağlı ve tanım kümesi reel sayı doğrusu olan bir $f$ fonksiyonu iki kez sürekli türevlenebilirse dışbükeyliği şu şekilde karakterize edebilir:

• $f$ nin dışbükeyliği ancak ve ancak her $x$ için $f''(x)\geq 0$ ise mümkündür.
• Her $x$ için $f''(x)>0$ ise $f$ kesin dışbükeydir; ancak, bu yeterli bir koşuldur ve gerekli değildir.
• $f$nin güçlü dışbükeyliği ancak ve ancak her $x$ için $f''(x)\geq m>0$ sağlayan pozitif gerçel bir $m$ sayısı ile mümkündür.

Örneğin, $f$ kesin dışbükey olsun ve diyelim ki $f''(x_{n})={\tfrac {1}{n}}$ özelliğinin sağlandığı bir $(x_{n})$ noktalar dizisi olsun.$f''(x_{n})>0$ olmasına rağmen fonksiyon yine de güçlü dışbükey değildir çünkü $f''(x)$ keyfi olarak küçük olup sıfıra yaklaşacaktır.

Daha genel olarak, türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun bir $m>0$ parametresi aracılığıyla güçlü dışbükeyliği şu şekilde tanımlanabilir. Fonksiyonun tanım kümesindeki her $x,y$ sayısı için $$(\nabla f(x)-\nabla f(y))^{T}(x-y)\geq m\|x-y\|_{2}^{2}$$ sağlanıyorsa fonksiyona güçlü dışbükey denilir.

Daha genel bir ifâdeyle, $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ herhangi bir iç çarpımı temsil etsin ve $\|\cdot \|$ ise bu iç çarpım tarafından doğurulan bir norm olsun. $f$ fonksiyonunun tanım kümesindeki her $x,y$ sayısı için $$\langle \nabla f(x)-\nabla f(y),x-y\rangle \geq m\|x-y\|^{2}$$ sağlanıyorsa fonksiyona güçlü dışbükey denilir. Bazı yazarlar, örneğin , bu eşitsizliği sağlayan fonksiyonlara eliptik fonksiyonlar olarak da adlandırırlar.

Yukarıda verilen şartlara eşdeğer bir şart da şöyle tanımlanabilir: $$f(y)\geq f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+{\frac {m}{2}}\|y-x\|_{2}^{2}.$$

Bir fonksiyonun güçlü dışbükey olması için türevlenebilir olması gerekli değildir. Bir fonksiyonun $m$ parametreli güçlü dışbükeyliliği için üçüncü bir tanım şöyle verilebilir: tanım kümesindeki her $x,y$ ve her $t\in [0,1]$ için $$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)-{\frac {1}{2}}mt(1-t)\|x-y\|_{2}^{2}$$ sağlanıyorsa fonksiyon $m$ parametreli güçlü dışbükeydir. Gerçekten de, $m\to 0$ iken tanım güçlü dışbükeylilik tanımına yaklaşmaktadır ve $m=0$ olduğuğunda da dışbükeylik tanımına özdeştir. Yine de, herhangi bir $m>0$ sayısı için kesin dışbükey olup da güçlü dışbükey olmayan fonksiyonlar da vardır.

Bir $f$ fonksiyonu iki kez türevlenebilirse, o zaman bir $m$ parametresine bağlı güçlü dışbükeyliliği ancak ve ancak tanım kümesindeki her $x$ için $\nabla ^{2}f(x)\succeq mI$ ise mümkündür. Burada, $I$ birim matristir, $\nabla ^{2}f$ ise Hesse matrisidir; $\succeq$ ile kastedilen ise $\nabla ^{2}f(x)-mI$ matrisinin kesin pozitif matris olmasıdır ki bu da her $x$ için $\nabla ^{2}f(x)$ matrisinin en küçük özdeğerinin en az $m$ olması demektir. Eğer tanım kümesi gerçel sayı doğrusu ise $\nabla ^{2}f(x)$ ifadesi ikinci türeve denk gelir. Böylece, güçlü dışbükeylilik için gerekli ve yeterli şart $f''(x)\geq m$ olmasıdır. $m=0$ olursa, o zaman bu durumda Hesse matrisi yarı-kesin pozitif matris olur (ya da tanım kümesi gerçel doğru ise $f''(x)\geq 0$ olur) ki bu durumda da fonksiyon dışbükey olur. Aynı durumda, fonksiyon kesin dışbükey olabilir ama güçlü dışbükey değildir.

Fonksiyonun iki kez sürekli olarak türevlenebilir olduğunu varsayarak $\nabla ^{2}f(x)$ ifadesinin alt sınırının güçlü dışbükeyliliği verdiğini şu şekilde gösterilebiliriz: Taylor teoremi kullanarak $$f(y)=f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+{\frac {1}{2}}(y-x)^{T}\nabla ^{2}f(z)(y-x)$$ eşitliğini sağlayan bir $z\in \{tx+(1-t)y:t\in [0,1]\}$ bulunabilir. Özdeğer varsayımından hareketle $$(y-x)^{T}\nabla ^{2}f(z)(y-x)\geq m(y-x)^{T}(y-x)$$ elde edilir. Yukarıdaki eşitlik kullanılarak yukarıdaki ikinci güçlü dışbükeylik koşulunun sağlandığı gösterilmiş olur.

Yine, bir $f$ fonksiyonunun $m$ parametresine bağlı güçlü dışbükeyliliği $$x\mapsto f(x)-{\frac {m}{2}}\|x\|^{2}$$ gönderiminin dışbükeyliliği aracılığıyla da tanımlanabilir.

Tanım kümesi tıkız bir $X$ olan ve iki kez sürekli türevlenebilen bir $f$ fonksiyonu için $f''(x)>0$ ifadesi her $x\in X$ için sağlanıyorsa, o zaman $f$ fonksiyonu güçlü dışbükeydir. Bu sonucun ispâtı tıkız bir küme üzerinde sürekli bir fonksiyonun bir maksimum ve bir minimuma sahip olduğunu belirten uç değer teoremi kullanılarak verilebilir.

Güçlü dışbükey fonksiyonlar sınıfı daha küçük olduğu için bu tür fonksiyonlarla çalışılması dışbükey veya kesin dışbükey fonksiyonlara göre genellikle daha kolaydır. Kesin dışbükey fonksiyonlar gibi, güçlü dışbükey fonksiyonların da tıkız kümelerde biricik minimumu vardır.

Güçlü-dışbükey fonksiyonların özellikleri

Bir $m$ parametresine bağlı güçlü dışbükey olan bir $f$ fonksiyonunu ele alalım. O zaman,

• Tüm gerçel $r$ sayıları için $\{x|f(x)\leq r\}$ seviye kümeleri tıkızdır.
• $f$ fonksiyonun $\mathbb {R} ^{n}$ üzerinde bir mutlak ve biricik minimumu vardır.

Düzgün dışbükey fonksiyonlar

$\phi$ negatif olmayan ve $\phi (0)=0$ olan bir fonksiyon olsun. Bir $f$ fonksiyonu tanım kümesindeki her $x,y$ ve her $t\in [0,1]$ için $$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)-t(1-t)\phi (\|x-y\|)$$ özelliğini sağlıyorsa, $f$'ye modülü $\phi$ olan düzgün dışbükey fonksiyon denir.. $\phi (\alpha )={\tfrac {m}{2}}\alpha ^{2}$ alarak güçlü dışbükeylik tanımı buradan elde edilebildiği için bu tanım güçlü dışbükeyliğin daha genel bir tanımı olmaktadır. Literatürde bazı yazarlar, $\phi$ fonksiyonunun artan olmasını da koşul olarak koyarlar; ancak, yine de bu koşul her yazar tarafından benimsenmemiştir.

Örnekler

Bir değişkenli fonksiyonlar

• $f(x)=x^{2}$ fonksiyonu için $f''(x)=2>0$ elde edilir. Bu yüzden, f dışbükey fonksiyondur. Aynı zamanda güçlü dışbükeydir (ki bu yüzden kesin dışbükeydir); güçlü dışbükeylik parametresi de 2 olur.
• $f(x)=x^{4}$ fonksiyonu için $f''(x)=12x^{2}\geq 0$ olur. Bu yüzden, f dışbükey fonksiyondur. İkinci türevi bir noktada sıfır değeri alsa da, fonksiyon, yine de kesin dışbükeydir. Ancak, fonksiyon güçlü dışbükey değildir.
• Mutlak değer fonksiyonu dışbükeydir ki gösterimi üçgen eşitsizliğinden kolaylıkla elde edilir. Fonksiyonun grafiğinde $x=0$ noktasınde görülen sivri uç türevin varlığına engeldir. Ayrıca, fonksiyon, kesin dışbükey değildir.
• $f(x)=|x|^{p}$ fonksiyonu $p\geq 1$ için dışbükeydir.
• Üstel fonksiyon $f(x)=e^{x}$ dışbükeydir. $f''(x)=e^{x}>0$ olduğu için kesin dışbükeydir. Ancak, ikinci türev sıfıra keyfi derecede yakın olduğu için güçlü dışbükey değildir. Daha genel olarak, $f$ fonksiyonu dışbükey olduğunda $g(x)=e^{f(x)}$ fonksiyonu logaritmik dışbükey fonksiyon olur.
• $[0,1]$ aralığında $f(0)=f(1)=1,f(x)=0$ olarak tanımlı fonksiyon $0<x<1$ aralığında dışbükeydir. $(0,1)$ açık aralığında süreklidir ama 0 and 1 noktalarında süreklilik yoktur.
• $x^{3}$ fonksiyonunun ikinci türevi $6x$ olur. Bu yüzden, $x\geq 0$ olan noktalarda dışbükeydir, $x\leq 0$ olan noktalarda ise içbükeydir.
• Kesin artan ve dışbükey olmayan fonksiyonlara $f(x)={\sqrt {x}}$ ve $g(x)=\log x$ fonksiyonları örnek olarak verilebilir.
• $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ fonksiyonun ikinci türevi $f''(x)={\tfrac {2}{x^{3}}}$ olur. $x>0$ iken ikinci türev pozitif olur; böylece, $(0,\infty )$ aralığında $f(x)$ dışbükeydir. $(-\infty ,0)$ aralığında ise fonksiyon içbükeydir.
• $f(x)={\tfrac {1}{x^{2}}}$ fonksiyonu $f(0)=\infty$ olarak tanımlansın. O zaman, fonksiyon $(0,\infty )$ ve $(-\infty ,0)$ aralıklarında dışbükeydir. Ancak, $(-\infty ,\infty )$ aralığında fonksiyonun dışbükeyliğinden bahsedilemez; çünkü, $x=0$ nokasındaki tekillik bu dışbükeylik özelliğine izin vermez.

Çok değişkenli fonksiyonlar

• LogSumExp fonksiyonu dışbükeydir.
• Kesin pozitif bir matris olan $X$ için $-\log \det(X)$ fonksiyonu dışbükeydir.
• Gerçel değerli her doğrusal dönüşüm dışbükeydir ama kesin dışbükey değildir. Gerçekten, $f$ doğrusalsa, o zaman $f(a+b)=f(a)+f(b)$ olur. Aynı ifâde, dışbükeyliği içbükeylikle değiştirdiğimizde de doğrudur.
• Gerçel değerli her afin fonksiyon, yâni $f(x)=a^{T}x+b$ biçimindeki fonksiyonlar, hem dışbükey hem de içbükeydir.
• Norm, üçgen eşitsizliği ve mutlak homojenlik özelliği sayesinde dışbükeydir.
• Negatif olmayan bir matrisin spektral yarıçapı köşegen elemanlarının dışbükey fonksiyonudur.

Ayrıca bakınız

• İçbükey fonksiyon
• Dışbükey analiz
• Dışbükey conjugate
• Dışbükey curve
• Dışbükey optimization
• Jeodezik dışbükeylik
• Hahn-Banach teoremi
• Hermite-Hadamard eşitsizliği
• Inveks fonksiyon
• Jensen eşitsizliği
• K-dışbükey fonksiyon
• Kaçurovskiy teoremi
• Karamata eşitsizliği
• Logaritmik dışbükey fonksiyon
• Sözde dışbükey fonksiyon
• Dışbükeyimsi fonksiyon
• Alttürev