Karamata eşitsizliği

Matematikte Karamata eşitsizliği ya da baskılama eşitsizliği gerçel doğru üzerinde tanımlı ve gerçel değerli dışbükey ve içbükey fonksiyonlarla alakalı bir temel cebir teoremidir. Eşitsizlik, Jensen eşitsizliğinin kesikli biçimini genelleştiren bir sonuçtur ve bu genelleştirme Schur-dışbükey fonksiyonu kavramına gitmektedir. Eşitsizlik Sırp matematikçi Jovan Karamata'nın adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

Gerçel doğru üzerindeki bir $I$ aralığında tanımlanmış ve gerçel değerler alan bir dışbükey bir $f$ fonksiyonunu ele alalım. I aralığında x₁, …, x_n ve y₁, …, y_n sayıları verilmiş olsun ve (x₁, …, x_n) sayıları (y₁, …, y_n) sayılarını baskılasın; diğer deyişle,

• $x_{1}\geq x_{2}\geq \cdots \geq x_{n}$    ve    $y_{1}\geq y_{2}\geq \cdots \geq y_{n},$
• her $i\in \{1,\cdots ,n-1\}$ için

$x_{1}+\cdots +x_{i}\geq y_{1}+\cdots +y_{i}$

• $x_{1}+\cdots +x_{n}=y_{1}+\cdots +y_{n}$

olsun. O zaman,

$f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})\geq f(y_{1})+\cdots +f(y_{n})$

olur. Eğer $f$ fonksiyonu kesin dışbükey bir fonksiyonsa, o zaman bu eşitsizlikteki eşitlik hâli ancak ve ancak her i ∈ {1, …, n} için x_i = y_i olursa gerçekleşir.