Kartezyen koordinat sistemi

Kartezyen koordinat düzleminin çizimi. Dört nokta işaretlenmiş ve koordinatları etiketlenmiştir: Yeşille (2, 3), kırmızıyla (−3, 1), maviyle (−1.5, −2.5) ve morla orijin (0, 0).

Geometride, bir düzlemdeki Kartezyen koordinat sistemi, her noktayı, koordinatlar adı verilen bir çift reel sayı ile benzersiz bir şekilde belirleyen bir koordinat sistemidir. Bu koordinatlar, noktanın iki sabit dik yönlendirilmiş doğruya (bunlara koordinat doğruları, koordinat eksenleri veya kısaca sistemin eksenleri denir) olan işaretli uzaklıklarıdır. Eksenlerin kesiştiği nokta orijin (veya başlangıç noktası) olarak adlandırılır ve koordinatları (0, 0)'dır.

Eksenlerin yönleri bir ortogonal tabanı temsil eder. Orijin ve tabanın kombinasyonu, Kartezyen çatısı (Cartesian frame) adı verilen bir koordinat çatısını oluşturur. Benzer şekilde, üç boyutlu uzaydaki herhangi bir noktanın konumu, noktanın birbirine dik üç düzleme olan işaretli uzaklıkları olan üç Kartezyen koordinat ile belirtilebilir. Daha genel olarak, n Kartezyen koordinat, herhangi bir n boyutu için n-boyutlu bir Öklid uzayındaki noktayı belirtir. Bu koordinatlar, noktanın birbirine dik n sabit hiperdüzleme olan işaretli uzaklıklarıdır.

Orijin merkezli, yarıçapı 2 olan bir çemberin kırmızıyla işaretlendiği Kartezyen koordinat sistemi. Bir çemberin denklemi, (a, b) merkez koordinatları ve r yarıçap olmak üzere (x − a)² + (y − b)² = r² şeklindedir.

Kartezyen koordinatlar, 17. yüzyıldaki icatlarıyla; geometri problemlerinin cebir ve kalkülüs kullanılarak ifade edilmesine olanak tanıyarak matematikte devrim yaratan René Descartes'a atfen isimlendirilmiştir. Kartezyen koordinat sistemi kullanılarak, geometrik şekiller (örneğin eğriler), şeklin noktalarının koordinatlarını içeren denklemlerle tanımlanabilir. Örneğin, düzlemin orijininde merkezlenmiş 2 yarıçaplı bir çember, koordinatları x ve y olan ve x² + y² = 4 denklemini sağlayan tüm noktaların kümesi olarak tanımlanabilir; alan, çevre ve herhangi bir noktadaki teğet doğrusu, herhangi bir eğriye uygulanabilecek bir yöntemle integraller ve türevler kullanılarak bu denklemden hesaplanabilir.

Kartezyen koordinatlar, analitik geometrinin temelidir ve lineer cebir, karmaşık analiz, diferansiyel geometri, çok değişkenli kalkülüs, grup teorisi ve daha fazlası gibi matematiğin diğer birçok dalı için aydınlatıcı geometrik yorumlar sağlar. Tanıdık bir örnek, fonksiyon grafiği kavramıdır. Kartezyen koordinatlar ayrıca astronomi, fizik, mühendislik ve daha pek çok geometri ile ilgilenen uygulamalı disiplinler için temel araçlardır. Bilgisayar grafikleri, bilgisayar destekli geometrik tasarım ve diğer geometri ile ilgili veri işleme alanlarında kullanılan en yaygın koordinat sistemidir.

Tarihçe

Kartezyen sıfatı, bu fikri Hollanda'da ikamet ederken 1637'de yayınlayan Fransız matematikçi ve filozof René Descartes'a atıfta bulunur. Bu fikir, aynı zamanda üç boyutta da çalışan Pierre de Fermat tarafından bağımsız olarak keşfedilmiş, ancak Fermat bu keşfi yayımlamamıştır. Fransız din adamı Nicole Oresme, Descartes ve Fermat'tan çok önce Kartezyen koordinatlara benzer yapılar kullanmıştır.

Hem Descartes hem de Fermat, incelemelerinde tek bir eksen kullandılar ve bu eksene referansla ölçülen değişken bir uzunluğa sahiptiler. Bir çift eksen kullanma kavramı, Descartes'ın La Géométrie adlı eserinin 1649'da Frans van Schooten ve öğrencileri tarafından Latince'ye çevrilmesinden sonra tanıtıldı. Bu yorumcular, Descartes'ın çalışmasındaki fikirleri netleştirmeye çalışırken birkaç kavram ortaya attılar.

Kartezyen koordinat sisteminin gelişimi, Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından kalkülüsün geliştirilmesinde temel bir rol oynadı. Düzlemin iki koordinatlı tanımı daha sonra vektör uzayları kavramına genelleştirildi.

Descartes'tan bu yana, düzlem için kutupsal koordinatlar ve üç boyutlu uzay için küresel ve silindirik koordinatlar gibi başka birçok koordinat sistemi geliştirilmiştir.

Tanım

Bir boyut

Ana madde: Sayı doğrusu

Seçilmiş bir Kartezyen koordinat sistemine sahip bir afin doğruya sayı doğrusu denir. Doğru üzerindeki her noktanın bir reel sayı koordinatı vardır ve her reel sayı, doğru üzerinde bir noktayı temsil eder. Bir doğru için Kartezyen koordinat sistemi seçiminde iki serbestlik derecesi vardır; bunlar, doğru boyunca iki farklı nokta seçilerek ve bunlara iki farklı reel sayı (en yaygın olarak sıfır ve bir) atanarak belirtilebilir. Diğer noktalar daha sonra lineer enterpolasyon ile sayılara benzersiz bir şekilde atanabilir.

Eşdeğer olarak, bir nokta belirli bir reel sayıya, örneğin sıfıra karşılık gelen bir orijin noktasına atanabilir ve doğru boyunca yönlendirilmiş bir uzunluk birim olarak seçilebilir; buradaki yönelim (orientation), doğru boyundaki yönler ile pozitif veya negatif sayılar arasındaki ilişkiyi gösterir. Her nokta, orijine olan işaretli uzaklığına karşılık gelir (uzaklığa eşit bir mutlak değere ve yöne göre seçilen bir + veya − işaretine sahip bir sayı).

Doğrunun geometrik transformasyon, bir reel değişkenli fonksiyon ile temsil edilebilir; örneğin, doğrunun ötelenmesi toplamaya, doğrunun ölçeklenmesi ise çarpmaya karşılık gelir. Doğru üzerindeki herhangi iki Kartezyen koordinat sistemi, bir sistemdeki belirli bir noktanın koordinatını diğer sistemdeki koordinatına götüren bir doğrusal fonksiyon ($x\mapsto ax+b$ formundaki fonksiyon) ile birbirine bağlanabilir. İki farklı doğru için birer koordinat sistemi seçmek, bir doğru üzerindeki her noktayı diğer doğru üzerindeki aynı koordinata sahip noktaya götüren, bir doğrudan diğerine bir afin harita oluşturur.

İki boyut

Ayrıca bakınız: İki boyutlu uzay

İki boyutta bir Kartezyen koordinat sistemi (ayrıca dikdörtgen koordinat sistemi veya Kartezyen ortogonal koordinat sistemi olarak da adlandırılır), sıralı bir çift dik doğru (eksenler), her iki eksen için tek bir uzunluk birimi ve her eksen için bir yönelim ile tanımlanır. Eksenlerin kesiştiği nokta her ikisi için de orijin olarak alınır, böylece her eksen bir sayı doğrusuna dönüşür. Herhangi bir P noktası için, P noktasından her bir eksene dik bir doğru çizilir ve ekseni kestiği konum bir sayı olarak yorumlanır. Bu seçilen sıradaki iki sayı, P noktasının Kartezyen koordinatlarıdır. Ters işlem, koordinatları verilen P noktasının belirlenmesini sağlar.

Birinci ve ikinci koordinatlara sırasıyla P noktasının apsisi ve ordinatı denir; eksenlerin kesiştiği nokta ise koordinat sisteminin orijini olarak adlandırılır. Koordinatlar genellikle parantez içinde, virgülle ayrılmış iki sayı olarak yazılır, örneğin (3, −10.5). Böylece orijin (0, 0) koordinatlarına sahiptir ve pozitif yarı eksenler üzerinde, orijinden bir birim uzaklıktaki noktalar (1, 0) ve (0, 1) koordinatlarına sahiptir.

Matematik, fizik ve mühendislikte, birinci eksen genellikle yatay ve sağa doğru yönlendirilmiş, ikinci eksen ise dikey ve yukarı doğru yönlendirilmiş olarak tanımlanır veya tasvir edilir. (Ancak, bazı bilgisayar grafikleri bağlamlarında, ordinat ekseni aşağı doğru yönlendirilmiş olabilir.) Orijin genellikle O olarak etiketlenir ve iki koordinat genellikle X ve Y veya x ve y harfleriyle gösterilir. Eksenler daha sonra X-ekseni ve Y-ekseni olarak adlandırılabilir. Harf seçimleri, bilinmeyen değerleri göstermek için alfabenin son kısımlarını kullanma yönündeki orijinal uzlaşımdan gelir. Alfabenin ilk kısmı bilinen değerleri (sabitleri) belirtmek için kullanılırdı.

Seçilmiş bir Kartezyen koordinat sistemine sahip bir Öklid düzlemi, Kartezyen düzlem olarak adlandırılır. Bir Kartezyen düzlemde, birim çember (yarıçapı uzunluk birimine eşit ve merkezi orijinde olan), birim kare (köşegeni (0, 0) ve (1, 1) uç noktalarına sahip olan), birim hiperbol vb. gibi belirli geometrik şekillerin kurallı (kanonik) temsilcileri tanımlanabilir.

İki eksen düzlemi, kadranlar adı verilen dört dik açıya böler. Kadranlar çeşitli şekillerde adlandırılabilir veya numaralandırılabilir, ancak tüm koordinatların pozitif olduğu kadran genellikle birinci kadran olarak adlandırılır. Bir noktanın koordinatları (x, y) ise, bu noktanın X-eksenine ve Y-eksenine olan uzaklıkları sırasıyla |y| ve |x|'tir; burada | · |, bir sayının mutlak değerini belirtir.

Üç boyut

Ayrıca bakınız: Üç boyutlu uzay

Orijini O ve eksen doğruları X, Y ve Z olan, oklarla gösterildiği gibi yönlendirilmiş üç boyutlu bir Kartezyen koordinat sistemi. Eksenlerdeki çentikler bir uzunluk birimi aralıklıdır. Siyah nokta, x = 2, y = 3 ve z = 4 veya (2, 3, 4) koordinatlarına sahip noktayı gösterir.

Üç boyutlu bir uzay için Kartezyen koordinat sistemi, ortak bir noktadan (orijin) geçen ve çiftler halinde birbirine dik olan sıralı bir üçlü doğrudan (eksenler); her eksen için bir yönelimden; ve üç eksenin tümü için tek bir uzunluk biriminden oluşur. İki boyutlu durumda olduğu gibi, her eksen bir sayı doğrusu haline gelir. Uzayın herhangi bir P noktası için, P noktasından geçen ve her koordinat eksenine dik olan bir düzlem düşünülür ve bu düzlemin ekseni kestiği nokta bir sayı olarak yorumlanır. P noktasının Kartezyen koordinatları, seçilen sıradaki bu üç sayıdır. Ters işlem, üç koordinatı verilen P noktasını belirler.

Alternatif olarak, bir P noktasının her koordinatı, P noktasından diğer iki eksen tarafından tanımlanan düzleme olan uzaklık olarak alınabilir; işaret, ilgili eksenin yönelimine göre belirlenir. Her eksen çifti bir koordinat düzlemi tanımlar. Bu düzlemler uzayı sekiz oktanta böler. Oktantlar şunlardır:

$${\begin{aligned}(+x,+y,+z)&&(-x,+y,+z)&&(+x,-y,+z)&&(+x,+y,-z)\\(+x,-y,-z)&&(-x,+y,-z)&&(-x,-y,+z)&&(-x,-y,-z)\end{aligned}}$$

Koordinatlar genellikle parantez içine alınmış ve virgülle ayrılmış üç sayı (veya cebirsel formül) olarak yazılır, örneğin (3, −2.5, 1) veya (t, u + v, π/2). Böylece, orijin (0, 0, 0) koordinatlarına sahiptir ve üç eksen üzerindeki birim noktalar (1, 0, 0), (0, 1, 0) ve (0, 0, 1)'dir.

Üç eksendeki koordinatlar için standart isimler apsis, ordinat ve apliktir (veya kod). Koordinatlar genellikle x, y ve z harfleriyle gösterilir. Eksenler daha sonra sırasıyla x-ekseni, y-ekseni ve z-ekseni olarak adlandırılabilir. Koordinat düzlemleri ise xy-düzlemi, yz-düzlemi ve xz-düzlemi olarak adlandırılabilir.

Matematik, fizik ve mühendislik bağlamlarında, ilk iki eksen genellikle yatay olarak tanımlanır veya tasvir edilir, üçüncü eksen ise yukarıyı işaret eder. Bu durumda üçüncü koordinata yükseklik veya rakım denebilir. Yönelim genellikle, birinci eksenden ikinci eksene olan 90 derecelik açının (0, 0, 1) noktasından bakıldığında saat yönünün tersine görüneceği şekilde seçilir; bu kural yaygın olarak sağ el kuralı olarak adlandırılır.

Kartezyen koordinatların (x, y, z) koordinat yüzeyleri. z-ekseni dikeydir ve x-ekseni yeşille vurgulanmıştır. Böylece, kırmızı düzlem x = 1 olan noktaları, mavi düzlem z = 1 olan noktaları ve sarı düzlem y = −1 olan noktaları gösterir. Üç yüzey, Kartezyen koordinatları (1, −1, 1) olan P noktasında (siyah küre olarak gösterilen) kesişir.

Daha yüksek boyutlar

Kartezyen koordinatlar benzersiz ve belirsizlikten uzak olduğundan, bir Kartezyen düzlemin noktaları reel sayı çiftleri ile tanımlanabilir; yani, $\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ Kartezyen çarpımı ile, burada $\mathbb {R}$ tüm reel sayılar kümesidir. Aynı şekilde, n boyutlu herhangi bir Öklid uzayındaki noktalar, n reel sayıdan oluşan demetler (listeler) ile tanımlanabilir; yani, $\mathbb {R} ^{n}$ Kartezyen çarpımı ile.

Genellemeler

Kartezyen koordinat kavramı, birbirine dik olmayan eksenlere ve/veya her eksen boyunca farklı birimlere izin verecek şekilde genelleştirilebilir. Bu durumda, her koordinat, noktanın bir eksen üzerine, diğer eksene (veya genel olarak diğer tüm eksenler tarafından tanımlanan hiperdüzleme) paralel bir yön boyunca izdüşümü alınarak elde edilir. Böyle bir eğik koordinat sisteminde (oblique coordinate system), uzaklık ve açı hesaplamaları standart Kartezyen sistemlerindekinden farklı olarak değiştirilmelidir ve birçok standart formül (uzaklık için Pisagor formülü gibi) geçerli değildir.

Notasyonlar ve kurallar

Bir noktanın Kartezyen koordinatları genellikle parantez içinde yazılır ve (10, 5) veya (3, 5, 7) örneğinde olduğu gibi virgülle ayrılır. Orijin genellikle O büyük harfi ile etiketlenir. Analitik geometride, bilinmeyen veya genel koordinatlar genellikle düzlemde (x, y) ve üç boyutlu uzayda (x, y, z) harfleriyle gösterilir. Bu alışkanlık, (birçok geometrik problemdeki noktaların koordinatları gibi) bilinmeyen değerler için alfabenin sonundaki harfleri ve verilen nicelikler için alfabenin başındaki harfleri kullanan bir cebir geleneğinden gelir.

Bu geleneksel isimler genellikle fizik ve mühendislik gibi diğer alanlarda da kullanılır, ancak başka harfler de kullanılabilir. Örneğin, basıncın zamanla nasıl değiştiğini gösteren bir grafikte, grafik koordinatları p ve t olarak gösterilebilir. Her eksen genellikle o eksen boyunca ölçülen koordinatın adıyla anılır; bu nedenle x-ekseni, y-ekseni, t-ekseni vb. denir.

Koordinat adlandırmada bir diğer yaygın kural, özellikle n 3'ten büyük veya belirtilmemiş olduğunda, n-boyutlu bir uzaydaki n koordinat için (x₁, x₂, ..., x_n) şeklinde alt indisler kullanmaktır. Bazı yazarlar (x₀, x₁, ..., x_n−1) numaralandırmasını tercih eder. Bu gösterimler özellikle bilgisayar programlamada avantajlıdır: Bir noktanın koordinatlarını bir kayıt yerine bir dizi olarak saklayarak, alt indis koordinatları dizinlemek için kullanılabilir.

İki boyutlu Kartezyen sistemlerin matematiksel çizimlerinde, birinci koordinat (geleneksel olarak apsis olarak adlandırılır) soldan sağa yönlendirilmiş yatay bir eksen boyunca ölçülür. İkinci koordinat (ordinat) ise genellikle aşağıdan yukarıya yönlendirilmiş dikey bir eksen boyunca ölçülür. Kartezyen sistemini öğrenen küçük çocuklar, x-, y- ve z-ekseni kavramlarını oturtmadan önce değerleri okuma sırasını öğrenmek için genellikle 2-boyutlu anımsatıcılarla başlarlar (örneğin, önce x-ekseni boyunca düz gidip sonra y-ekseni boyunca dikey çıkmaya benzetilen 'Koridorda yürü, sonra merdivenleri çık' gibi).

Bununla birlikte, bilgisayar grafikleri ve görüntü işleme, genellikle bilgisayar ekranında y-ekseninin aşağı doğru yönlendirildiği bir koordinat sistemi kullanır. Bu kural, 1960'larda (veya daha öncesinde) görüntülerin görüntü tamponlarında (framebuffer) orijinal olarak saklanma şeklinden gelişmiştir.

Üç boyutlu sistemler için bir kural, xy-düzlemini yatay olarak, z-eksenini ise yüksekliği (yukarı pozitif) temsil edecek şekilde ekleyerek tasvir etmektir. Ayrıca, x-eksenini izleyiciye doğru, sağa veya sola eğilimli olarak yönlendirme geleneği vardır. Bir diyagram (3B projeksiyon veya 2B perspektif çizimi) x- ve y-eksenini sırasıyla yatay ve dikey olarak gösteriyorsa, z-ekseni "sayfanın dışına", izleyiciye veya kameraya doğru işaret eder şekilde gösterilmelidir. 3B koordinat sisteminin böyle bir 2B diyagramında, z-ekseni, varsayılan izleyici veya kamera perspektifine bağlı olarak aşağı ve sola veya aşağı ve sağa işaret eden bir doğru veya ışın olarak görünür.

Herhangi bir diyagramda veya ekranda, üç eksenin bir bütün olarak yönelimi keyfidir. Ancak, eksenlerin birbirine göre yönelimi, aksi belirtilmedikçe her zaman sağ el kuralına uymalıdır. Fiziğin ve matematiğin tüm yasaları, tutarlılığı sağlayan bu sağ elliliği varsayar.

3B diyagramlar için, x ve y için "apsis" ve "ordinat" isimleri nadiren kullanılır. Kullanıldıklarında, z-koordinatı bazen aplik (veya kod) olarak adlandırılır. Apsis, ordinat ve aplik sözcükleri bazen koordinat değerlerinden ziyade koordinat eksenlerine atıfta bulunmak için kullanılır.

Bölgeler ve oktantlar

Ana maddeler: Oktant ve Kadran (geometri)

Bir Kartezyen koordinat sisteminin dört kadranı

İki boyutlu bir Kartezyen sistemin eksenleri, düzlemi, her biri iki yarı eksenle sınırlanan ve kadran adı verilen dört sonsuz alana böler. Bunlar genellikle 1'den 4'e kadar numaralandırılır ve Romen rakamları ile gösterilir: I (koordinatların her ikisinin de pozitif olduğu yer), II (apsisin negatif − ve ordinatın pozitif + olduğu yer), III (hem apsisin hem de ordinatın − olduğu yer) ve IV (apsis +, ordinat −). Eksenler matematiksel geleneğe göre çizildiğinde, numaralandırma sağ üst ("kuzeydoğu") bölgeden başlayarak saat yönünün tersine gider.

Benzer şekilde, üç boyutlu bir Kartezyen sistem, uzayı, noktaların koordinatlarının işaretlerine göre sekiz kadrana veya oktanta böler. Belirli bir oktantı adlandırmak için kullanılan kural, işaretlerini listelemektir; örneğin, (+ + +) veya (− + −). Kadran ve oktantın keyfi sayıda boyuta genellemesi ortanttır ve benzer bir adlandırma sistemi geçerlidir.

Düzlem için Kartezyen formüller

İki nokta arasındaki uzaklık

Kartezyen koordinatları $(x_{1},y_{1})$ ve $(x_{2},y_{2})$ olan düzlemin iki noktası arasındaki Öklid uzaklığı:

$$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$$

Bu, Pisagor teoreminin Kartezyen versiyonudur. Üç boyutlu uzayda, $(x_{1},y_{1},z_{1})$ ve $(x_{2},y_{2},z_{2})$ noktaları arasındaki uzaklık:

$$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},$$

bu da Pisagor teoreminin ardışık iki uygulamasıyla elde edilebilir.

Öklid transformasyonları

Öklid transformasyonları veya Öklid hareketleri, Öklid düzleminin noktalarının kendilerine, noktalar arasındaki uzaklıkları koruyan (birebir ve örten) eşlemeleridir. Bu eşlemelerin (izometriler olarak da adlandırılır) dört türü vardır: Ötelemeler, dönmeler, yansımalar ve ötelemeli yansımalar.

Öteleme

Düzlemdeki bir noktalar kümesini, aralarındaki uzaklıkları ve yönleri koruyarak ötelemek, kümedeki her noktanın Kartezyen koordinatlarına sabit bir (a, b) sayı çifti eklemeye eşdeğerdir. Yani, bir noktanın orijinal koordinatları (x, y) ise, ötelemeden sonra koordinatlar şöyle olacaktır:

$$(x',y')=(x+a,y+b).$$

Dönme

Bir şekli orijin etrafında bir $\theta$ açısı kadar saat yönünün tersine döndürmek, (x,y) koordinatlarına sahip her noktayı (x',y') koordinatlarına sahip nokta ile değiştirmeye eşdeğerdir; burada:

$${\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}$$

Böylece:

$$(x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).$$

Yansıma

(x, y) bir noktanın Kartezyen koordinatları ise, (−x, y), sanki o doğru bir aynaymış gibi, ikinci koordinat ekseni (y-ekseni) boyunca yansımasının koordinatlarıdır. Benzer şekilde, (x, −y), birinci koordinat ekseni (x-ekseni) boyunca yansımasının koordinatlarıdır. Daha genel olarak, x-ekseni ile $\theta$ açısı yapan ve orijinden geçen bir doğru boyunca yansıma, (x, y) koordinatlarına sahip her noktayı (x′,y′) koordinatlarına sahip nokta ile değiştirmeye eşdeğerdir; burada:

$${\begin{aligned}x'&=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \\y'&=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .\end{aligned}}$$

Böylece: $$(x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).$$

Ötelemeli yansıma

Ötelemeli yansıma, bir doğru boyunca yansıma ve ardından o doğru yönünde bir ötelemenin bileşimidir. Bu işlemlerin sırasının önemli olmadığı görülebilir (önce öteleme, ardından yansıma gelebilir).

Transformasyonların genel matris formu

Düzlemin tüm afin transformasyonları, matrisler kullanılarak tekdüze bir şekilde tanımlanabilir. Bu amaçla, bir noktanın $(x,y)$ koordinatları genellikle ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ sütun matrisi olarak temsil edilir. Bir $(x,y)$ noktasına afin dönüşüm uygulamanın sonucu $(x',y')$, şu formülle verilir: $${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+b,$$ burada $$A={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}&A_{2,2}\end{pmatrix}}$$ bir 2×2 matris ve $b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}$ bir sütun matrisidir. Yani, $${\begin{aligned}x'&=xA_{1,1}+yA_{1,1}+b_{1}\\y'&=xA_{2,1}+yA_{2,2}+b_{2}.\end{aligned}}$$

Afin transformasyonlar arasında, Öklid transformasyonları, $A$ matrisinin ortogonal olması gerçeğiyle karakterize edilir; yani, sütunları Öklid normu bir olan ortogonal vektörlerdir veya açıkça, $$A_{1,1}A_{1,2}+A_{2,1}A_{2,2}=0$$ ve $$A_{1,1}^{2}+A_{2,1}^{2}=A_{1,2}^{2}+A_{2,2}^{2}=1.$$

Bu, A ile transpozesinin çarpımının birim matris olmasına eşdeğerdir. Bu koşullar sağlanmazsa, formül daha genel bir afin dönüşümü tanımlar.

Transformasyon, ancak ve ancak A bir birim matris ise bir ötelemedir. Transformasyon, ancak ve ancak A bir dönme matrisi ise (yani ortogonal ve $$A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=1$$ ise) bir nokta etrafında dönmedir.

Aşağıdaki durumda bir yansıma veya ötelemeli yansıma elde edilir: $$A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=-1.$$

Ötelemelerin kullanılmadığı varsayılırsa (yani, $b_{1}=b_{2}=0$), dönüşümler sadece ilişkili dönüşüm matrislerinin çarpılmasıyla bileşke haline getirilebilir. Genel durumda, dönüşümün ekli matrisini (augmented matrix) kullanmak yararlıdır; yani, transformasyon formülünü şu şekilde yeniden yazmak: $${\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}=A'{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}},$$ burada $$A'={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}&b_{1}\\A_{2,1}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}.$$ Bu yöntemle, afin dönüşümlerin bileşkesi, ekli matrislerin çarpılmasıyla elde edilir.

Afin dönüşümü

Çeşitli 2B afin dönüşüm matrislerinin bir birim kare üzerindeki etkisi (yansımalar ölçeklemenin özel durumlarıdır)

Öklid düzleminin afin dönüşümleri, doğruları doğrulara eşleyen ancak uzaklıkları ve açıları değiştirebilen dönüşümlerdir. Önceki bölümde belirtildiği gibi, bunlar ekli matrislerle temsil edilebilir: $${\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{2,1}&b_{1}\\A_{1,2}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.$$

Öklid transformasyonları, $A_{i,j}$'nin 2×2 matrisinin ortogonal olduğu afin dönüşümlerdir. İki afin dönüşümün bileşkesini temsil eden ekli matris, bunların ekli matrislerinin çarpılmasıyla elde edilir. Öklid dönüşümü olmayan bazı afin dönüşümler özel isimler almıştır.

Ölçekleme

Öklid olmayan bir afin dönüşüm örneği ölçekleme ile verilir. Bir şekli daha büyük veya daha küçük yapmak, her noktanın Kartezyen koordinatlarını aynı pozitif m sayısıyla çarpmaya eşdeğerdir. Orijinal şekil üzerindeki bir noktanın koordinatları (x, y) ise, ölçeklenmiş şekil üzerindeki karşılık gelen nokta şu koordinatlara sahiptir:

$$(x',y')=(mx,my).$$

Eğer m 1'den büyükse, şekil büyür; m 0 ile 1 arasındaysa, küçülür.

Kesme (Makaslama)

Bir kesme dönüşümü (shear), bir karenin üst kısmını yana doğru iterek bir paralelkenar oluşturur. Yatay kesme şu şekilde tanımlanır:

$$(x',y')=(x+ys,y)$$

Kesme dikey olarak da uygulanabilir:

$$(x',y')=(x,xs+y)$$

Yönelim ve ellilik

Ana madde: Yönlendirilebilirlik

Ayrıca bakınız: Sağ el kuralı

İki boyutta

Sağ el kuralı

x-eksenini sabitlemek veya seçmek, y-eksenini yönüne kadar belirler. Yani, y-ekseni mutlaka x-eksenine, x-ekseni üzerinde 0 ile işaretlenmiş noktadan geçen dikmedir. Ancak dikme üzerindeki iki yarı doğrudan hangisinin pozitif, hangisinin negatif olarak belirleneceği konusunda bir seçim vardır. Bu iki seçimden her biri, Kartezyen düzlemin farklı bir yönelimini (veya elliliğini (handedness)) belirler.

Pozitif x-ekseninin sağa ve pozitif y-ekseninin yukarıyı gösterdiği (ve x-ekseninin "birinci", y-ekseninin "ikinci" eksen olduğu) düzlemi yönlendirmenin olağan yolu, pozitif veya standart yönelim veya sağ elli yönelim olarak kabul edilir. Pozitif yönelimi tanımlamak için yaygın olarak kullanılan bir anımsatıcı sağ el kuralıdır. Başparmak yukarıyı gösterecek şekilde düzlemin üzerine bir miktar kapalı bir sağ el yerleştirildiğinde, parmaklar pozitif yönlendirilmiş bir koordinat sisteminde x-ekseninden y-eksenine doğru işaret eder.

Düzlemi yönlendirmenin diğer yolu, başparmak yukarıyı gösterecek şekilde sol eli düzlemin üzerine yerleştirerek sol el kuralını izlemektir. Başparmak orijinden eksen boyunca pozitife doğru işaret ettiğinde, parmakların eğriliği o eksen boyunca pozitif bir dönüşü gösterir.

Düzlemi yönlendirmek için kullanılan kural ne olursa olsun, koordinat sistemini döndürmek yönelimi koruyacaktır. Herhangi bir ekseni değiştirmek yönelimi tersine çevirir, ancak her ikisini de değiştirmek yönelimi değiştirmeden bırakır.

Üç boyutta

Şekil 7 – Sol elli yönelim solda, sağ elli yönelim sağda gösterilmiştir.

Şekil 8 – Koordinat düzlemlerini gösteren sağ elli Kartezyen koordinat sistemi (İngilizce)

x- ve y-eksenleri belirtildikten sonra, z-ekseninin üzerinde uzanması gereken doğruyu belirlerler, ancak bu doğru için iki olası yönelim vardır. Ortaya çıkan iki olası koordinat sistemine 'sağ elli' ve 'sol elli' denir. xy-düzleminin yatay olduğu ve z-ekseninin yukarıyı gösterdiği (ve xy-düzlemine yukarıdan bakıldığında x- ve y-ekseninin xy-düzleminde pozitif yönlendirilmiş iki boyutlu bir koordinat sistemi oluşturduğu) standart yönelim, sağ elli veya pozitif olarak adlandırılır.

3B Kartezyen koordinat elliliği

İsim sağ el kuralından türetilmiştir. Sağ elin işaret parmağı ileriye doğru uzatılırsa, orta parmak ona dik açıyla içe doğru bükülürse ve başparmak her ikisine de dik açıyla yerleştirilirse, üç parmak sağ elli bir sistemde x-, y- ve z-eksenlerinin göreceli yönelimini gösterir. Başparmak x-eksenini, işaret parmağı y-eksenini ve orta parmak z-eksenini gösterir. Tersine, aynısı sol el ile yapılırsa, sol elli bir sistem ortaya çıkar.

Şekil 7, bir sol ve bir sağ elli koordinat sistemini tasvir etmektedir. Üç boyutlu bir nesne iki boyutlu ekranda temsil edildiğinden, bozulma ve belirsizlik ortaya çıkar. Aşağı (ve sağa) işaret eden eksen aynı zamanda izleyiciye doğru işaret etmeyi amaçlarken, "orta" eksen izleyiciden uzağa işaret etmeyi amaçlar. Kırmızı daire, yatay xy-düzlemine paraleldir ve (her iki durumda da) x-ekseninden y-eksenine dönüşü gösterir. Bu nedenle kırmızı ok z-ekseninin önünden geçer.

Şekil 8, sağ elli bir koordinat sistemini tasvir etmenin başka bir girişimidir. Yine, üç boyutlu koordinat sistemini düzleme yansıtmaktan kaynaklanan bir belirsizlik vardır. Birçok gözlemci, Şekil 8'i dışbükey bir küp ile içbükey bir "köşe" arasında "gidip gelen" bir şekil olarak görür. Bu, uzayın iki olası yönelimine karşılık gelir. Şekli dışbükey olarak görmek sol elli bir koordinat sistemi verir. Bu nedenle Şekil 8'i görüntülemenin "doğru" yolu, x-ekseninin izleyiciye doğru işaret ettiğini hayal etmek ve böylece içbükey bir köşe görmektir.

Vektörün standart tabanda gösterimi

Kartezyen koordinat sistemindeki uzayda bir nokta, koordinat sisteminin orijininden noktaya işaret eden bir ok olarak düşünülebilen bir konum vektörü ile de temsil edilebilir. Koordinatlar uzaysal konumları (yer değiştirmeleri) temsil ediyorsa, orijinden ilgi noktasına olan vektörü $\mathbf {r}$ olarak temsil etmek yaygındır. İki boyutta, orijinden (x, y) Kartezyen koordinatlarına sahip noktaya olan vektör şöyle yazılabilir:

$$\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} ,$$

burada $\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ve $\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$, sırasıyla x-ekseni ve y-ekseni yönündeki birim vektörlerdir ve genellikle standart taban olarak adlandırılır (bazı uygulama alanlarında bunlara versörler (kuaterniyonun dönme faktörü) de denilebilir).

Benzer şekilde, üç boyutta, orijinden $(x,y,z)$ Kartezyen koordinatlarına sahip noktaya olan vektör şöyle yazılabilir: $$\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,$$

burada $\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},$ $\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},$ ve $\mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

Başka bir vektör elde etmek için vektörleri çarpmanın tüm boyutlarda çalışan doğal bir yorumu yoktur, ancak böyle bir çarpımı sağlamak için karmaşık sayıları kullanmanın bir yolu vardır. İki boyutlu bir kartezyen düzlemde, (x, y) koordinatlarına sahip noktayı z = x + iy karmaşık sayısı ile özdeşleştirin. Burada, i sanal birimdir ve (0, 1) koordinatlarına sahip nokta ile özdeşleştirilir, bu nedenle x-ekseni yönündeki birim vektör değildir. Karmaşık sayılar çarpılarak başka bir karmaşık sayı verebildiğinden, bu özdeşleştirme vektörleri "çarpmak" için bir yol sağlar. Üç boyutlu bir kartezyen uzayda, kuaterniyonların bir alt kümesi ile benzer bir özdeşleştirme yapılabilir.

Ayrıca bakınız

• Ortogonal koordinatlar, bir tür eğrisel koordinat sistemi
• Kutupsal koordinat sistemi
• Küresel koordinat sistemi

Genel ve atıf yapılan referanslar

• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0. 27 Mayıs 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 17 Nisan 2022. 
• Berlinski, David (2011). A Tour of the Calculus. Knopf Doubleday Publishing Group. ISBN 9780307789730. 
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998). Geometry. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59787-6. 
• Burton, David M. (2011). The History of Mathematics/An Introduction (7. bas.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-338315-6. 
• Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0. 
• Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus: Single and Multivariable (6. bas.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0470-88861-2. 
• Kent, Alexander J.; Vujakovic, Peter (4 Ekim 2017). The Routledge Handbook of Mapping and Cartography (İngilizce). Routledge. ISBN 9781317568216. 
• Smart, James R. (1998). Modern Geometries (5. bas.). Pacific Grove: Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-35188-5. 
• Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2021). Calculus: Multivariable. John Wiley & Sons. s. 657. ISBN 978-1-119-77798-4. 

Konuyla ilgili yayınlar

• Descartes, René (2001). Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. Paul J. Oscamp tarafından çevrildi (Revised bas.). Indianapolis, IN: Hackett Publishing. ISBN 978-0-87220-567-3. OCLC 488633510. 
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (1. bas.). New York: McGraw-Hill. ss. 55-79. LCCN 59-14456. OCLC 19959906. 
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. LCCN 55-10911. 
• Moon P, Spencer DE (1988). "Rectangular Coordinates (x, y, z)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd, 3rd print bas.). New York: Springer-Verlag. ss. 9-11 (Table 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2. 
• Morse PM, Feshbach H (1969). Methods of Theoretical Physics, Part I (1. bas.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-043316-8. LCCN 52-11515. 
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. LCCN 67-25285. 

Dış bağlantılar

• Kartezyen Koordinat Sistemi
• Eric W. Weisstein, Cartesian Coordinates (MathWorld)
• Koordinat Dönüştürücü – kutupsal, Kartezyen ve küresel koordinatlar arasında dönüşüm yapar
• Bir noktanın koordinatları – bir noktanın koordinatlarını keşfetmek için etkileşimli araç
• 2B/3B Kartezyen koordinat sistemi manipülasyonu için açık kaynaklı JavaScript sınıfı