Afin dönüşümü - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Matematiksel Tanımı
    • 1.1 Alternatif Tanımlar
  • 2 Gösterimler
    • 2.1 Genişletilmiş matris
  • 3 Düzlemin afin dönüşümü
  • 4 Afin dönüşümlerin örnekleri
    • 4.1 Reel sayılar üzerinde afin dönüşümler
    • 4.2 Sonlu bir alan üzerinde afin dönüşüm
    • 4.3 Düzlem Geometride Afin Dönüşüm
  • 5 Ayrıca bakınız
  • 6 Notlar
  • 7 Kaynakça
  • 8 Dış bağlantılar

Afin dönüşümü

  • العربية
  • Català
  • Čeština
  • Чӑвашла
  • Deutsch
  • English
  • Esperanto
  • Español
  • Eesti
  • فارسی
  • Suomi
  • Français
  • עברית
  • Magyar
  • Հայերեն
  • İtaliano
  • 日本語
  • 한국어
  • Кыргызча
  • Nederlands
  • Norsk bokmål
  • Polski
  • Piemontèis
  • Português
  • Русский
  • سنڌي
  • Slovenščina
  • Српски / srpski
  • Svenska
  • Українська
  • اردو
  • Tiếng Việt
  • 中文
  • 粵語
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Wikimedia Commons
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Bu maddedeki bilgilerin doğrulanabilmesi için ek kaynaklar gerekli. Lütfen güvenilir kaynaklar ekleyerek maddenin geliştirilmesine yardımcı olun. Kaynaksız içerik itiraz konusu olabilir ve kaldırılabilir.
Kaynak ara: "Afin dönüşümü" – haber · gazete · kitap · akademik · JSTOR (Nisan 2012) (Bu şablonun nasıl ve ne zaman kaldırılması gerektiğini öğrenin)
Eğrelti otu benzeri bir fraktal görüntüsü, kendine-benzerlik gösteren bir yapıdır. Her eğrelti yaprağı, bir afin dönüşüm yoluyla diğerleriyle ilişkilidir. Örneğin; yansıma, dönme, ölçekleme ve öteleme gibi işlemlerle kırmızı yaprak, mavi yaprağa dönüştürülebilir.

Geometride, afin dönüşüm (Latince affinis, "ilişkili" anlamında) veya ilgin dönüşüm, afin uzaylar arasında noktaları, doğru parçalarını ve düzlemleri koruyan bir eşlemedir.[1] Ayrıca, paralel doğru kümeleri bir afin dönüşüm sonrasında da paralel kalır. Bir afin dönüşüm, aynı doğru üzerinde bulunan noktalar arasındaki oranları korur; ancak açılar ve mutlak mesafeler genellikle korunmaz.

Öteleme, dönme, ölçekleme, benzeşim, benzerlik dönüşümü, yansıma, kayma eşlemesi ve bunların bileşimleri birer afin dönüşüm örneğidir.

X {\displaystyle X} {\displaystyle X} ve Y {\displaystyle Y} {\displaystyle Y} birer afin uzay olmak üzere, her f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} {\displaystyle f:X\to Y} afin dönüşümü x ↦ M x + b {\displaystyle x\mapsto Mx+b} {\displaystyle x\mapsto Mx+b} biçimindedir. Burada M {\displaystyle M} {\displaystyle M} bir doğrusal dönüşümü, x {\displaystyle x} {\displaystyle x} bir vektörü (X uzayında) ve b {\displaystyle b} {\displaystyle b} Y uzayındaki bir vektörü temsil eder. Doğrusal dönüşümlerin aksine, afin dönüşümler sıfır noktasını sabit tutmak zorunda değildir. Bu nedenle, her doğrusal dönüşüm aynı zamanda bir afin dönüşümdür; ancak her afin dönüşüm doğrusal değildir.

Öklid uzayı, birçok durumda bir afin uzay olarak düşünülebilir. Ancak afin uzay kavramı daha geneldir; yani her Öklid uzayı bir afin uzaydır fakat her afin uzay Öklidyen olmak zorunda değildir. Afin koordinatlar içinde, kartezyen koordinatlar Öklid uzaylarına karşılık gelir. Bir afin dönüşümde her koordinat, başlangıç noktasından itibaren bir doğrusal fonksiyon olarak tanımlanır. Bu nedenle, herhangi bir afin dönüşüm, bir doğrusal dönüşüm ile bir öteleme işleminin birleşimi şeklinde ifade edilebilir.

Matematiksel Tanımı

[değiştir | kaynağı değiştir]

İki afin uzay arasında tanımlı bir dönüşüm, bu uzaylardaki noktalar arasındaki vektörler üzerinde doğrusal bir etki yapan bir gönderimdir.[1] f : A → B {\displaystyle f:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} {\displaystyle f:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} fonksiyonu için, herhangi iki nokta P , Q ∈ A {\displaystyle P,Q\in {\mathcal {A}}} {\displaystyle P,Q\in {\mathcal {A}}} olmak üzere,

f ( P ) f ( Q ) → = φ ( P Q → ) {\displaystyle {\overrightarrow {f(P)f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})} {\displaystyle {\overrightarrow {f(P)f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})}

veya eşdeğer olarak,

f ( Q ) − f ( P ) = φ ( Q − P ) {\displaystyle f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P)} {\displaystyle f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P)}

eşitlikleri sağlanır. Burada φ {\displaystyle \varphi } {\displaystyle \varphi }, doğrusal bir dönüşümdür.

Bu tanım farklı şekillerde de yorumlanabilir.

Eğer O ∈ A {\displaystyle O\in {\mathcal {A}}} {\displaystyle O\in {\mathcal {A}}} noktası seçilirse, bu noktanın görüntüsü B = f ( O ) ∈ B {\displaystyle B=f(O)\in {\mathcal {B}}} {\displaystyle B=f(O)\in {\mathcal {B}}} olur. Bu durumda herhangi bir vektör x → {\displaystyle {\vec {x}}} {\displaystyle {\vec {x}}} için,

f ( O + x → ) = B + φ ( x → ) {\displaystyle f(O+{\vec {x}})=B+\varphi ({\vec {x}})} {\displaystyle f(O+{\vec {x}})=B+\varphi ({\vec {x}})}

eşitliği sağlanır.

Eğer B {\displaystyle {\mathcal {B}}} {\displaystyle {\mathcal {B}}} uzayında yeni bir orijin O ′ ∈ B {\displaystyle O'\in {\mathcal {B}}} {\displaystyle O'\in {\mathcal {B}}} seçilirse, dönüşüm şu şekilde yazılabilir:

g ( O + x → ) = O ′ + φ ( x → ) {\displaystyle g(O+{\vec {x}})=O'+\varphi ({\vec {x}})} {\displaystyle g(O+{\vec {x}})=O'+\varphi ({\vec {x}})}

burada g : A → B {\displaystyle g:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} {\displaystyle g:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} ve O ↦ O ′ {\displaystyle O\mapsto O'} {\displaystyle O\mapsto O'} şeklindedir.

Böylece, b → = O ′ B → {\displaystyle {\vec {b}}={\overrightarrow {O'B}}} {\displaystyle {\vec {b}}={\overrightarrow {O'B}}} olmak üzere, f {\displaystyle f} {\displaystyle f} fonksiyonu bir öteleme ile doğrusal dönüşümün birleşimi olarak yorumlanabilir.

Alternatif Tanımlar

[değiştir | kaynağı değiştir]

Aynı alan üzerinde tanımlı iki afin uzay A {\displaystyle {\mathcal {A}}} {\displaystyle {\mathcal {A}}} ve B {\displaystyle {\mathcal {B}}} {\displaystyle {\mathcal {B}}} verildiğinde, f : A → B {\displaystyle f:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} {\displaystyle f:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} fonksiyonu afin bir gönderimdir ancak ve ancak her aile için ( a i , λ i ) i ∈ I {\displaystyle {(a_{i},\lambda _{i})}_{i\in I}} {\displaystyle {(a_{i},\lambda _{i})}_{i\in I}} (burada a i ∈ A {\displaystyle a_{i}\in {\mathcal {A}}} {\displaystyle a_{i}\in {\mathcal {A}}} ve λ i {\displaystyle \lambda _{i}} {\displaystyle \lambda _{i}} skalarlar) bir ağırlık merkezi tanımlıyorsa ve:

∑ i ∈ I λ i = 1 {\displaystyle \sum _{i\in I}\lambda _{i}=1} {\displaystyle \sum _{i\in I}\lambda _{i}=1} ise,

[2]

şu eşitlik sağlanır:

f ( ∑ i ∈ I λ i a i ) = ∑ i ∈ I λ i f ( a i ) {\displaystyle f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}a_{i}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(a_{i})} {\displaystyle f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}a_{i}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(a_{i})}

Bir diğer ifadeyle, f {\displaystyle f} {\displaystyle f} fonksiyonu barycenter (ağırlık merkezi) yapısını korur.

Gösterimler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıda gösterilen bir afin gönderme, iki fonksiyonun bileşimidir: bir öteleme ve bir doğrusal gönderme. Olağan vektör cebirinde, doğrusal göndermeler matris çarpımı ile, ötelemeler ise vektör toplamı ile ifade edilir. Resmî olarak, sonlu boyutlu bir durumda, eğer doğrusal gönderme bir matris A ile çarpım ve öteleme bir vektör b → {\displaystyle {\vec {b}}} {\displaystyle {\vec {b}}}'nin toplamı olarak gösteriliyorsa, bir vektör x → {\displaystyle {\vec {x}}} {\displaystyle {\vec {x}}} üzerindeki etkisi, bir afin gönderme f {\displaystyle f} {\displaystyle f} olarak şu şekilde ifade edilir:

y → = f ( x → ) = A x → + b → . {\displaystyle {\vec {y}}=f({\vec {x}})=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.} {\displaystyle {\vec {y}}=f({\vec {x}})=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.}

Genişletilmiş matris

[değiştir | kaynağı değiştir]
2D düzlem üzerinde afin dönüşümler üç boyutlu olarak gerçekleştirilebilir. Öteleme, z ekseni boyunca kesme şeklinde yapılırken; dönme, z ekseni etrafında gerçekleştirilir.

Bir genişletilmiş matris ve bir genişletilmiş vektör kullanılarak, hem öteleme hem de doğrusal gönderme tek bir matris çarpımı ile temsil edilebilir. Bu tekniğin uygulanabilmesi için tüm vektörlerin sonda bir "1" eklenerek genişletilmesi gerekir. Benzer şekilde, tüm matrisler de bir fazladan satır ve sütunla genişletilir: alt satır sıfırlardan ve son sütun öteleme vektöründen oluşur; sağ alt köşeye ise bir "1" yerleştirilir.

Eğer A bir matris ise,

[ y → 1 ] = [ A b → 0 , … , 0 1 ] [ x → 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\vec {y}}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&{\vec {b}}\\0,\ldots ,0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\vec {x}}\\1\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\vec {y}}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&{\vec {b}}\\0,\ldots ,0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\vec {x}}\\1\end{bmatrix}}}

eşdeğer olarak şunu ifade eder:

y → = A x → + b → . {\displaystyle {\vec {y}}=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.} {\displaystyle {\vec {y}}=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.}

Düzlemin afin dönüşümü

[değiştir | kaynağı değiştir]
Merkezi bir genleşme. Üçgenler A₁B₁Z, A₁C₁Z ve B₁C₁Z sırasıyla A₂B₂Z, A₂C₂Z ve B₂C₂Z ile eşleştirilmiştir.

İki boyutlu (2D) düzlemdeki başlıca afin dönüşümler şunlardır:

  • Tam bir öteleme,
  • Belirli bir yönde, bir doğruya göre yapılan ölçekleme (bu doğru dönüşüm yönüne dik olmak zorunda değildir); bu genellikle bir öteleme ile birleşir. Saf ölçekleme değildir, çünkü izdüşüm gibi durumlarda ölçekleme faktörü sıfır ya da negatif olabilir,
  • Yansıma ve ötelemenin birleşimi olan öteleme yansıması,
  • Dönme ile birleştirilmiş benzerlik dönüşümleri,
  • Bir benzerlik ve öteleme ile birlikte yapılan kesme dönüşümü,
  • Ve yine bir benzerlik ve öteleme ile yapılan sıkı dönüşüm.

Öklid düzleminde genel bir afin dönüşümün görselleştirilmesi için, paralelkenarlar ABCD ve A′B′C′D′ etiketlenmiştir. Seçilen herhangi iki nokta, örneğin A ve A′, bir afin dönüşüm olan T tarafından eşleştirilmiştir. Her tepe noktası bu eşlemenin bir sonucudur.

Dejenere (çakışan ya da sıfır alanlı) durumlar hariç tutulursa, ABCD sıfır olmayan bir alana sahiptir ve bu durumda T tekil bir (benzersiz) afin dönüşümdür. Eğer ABCD taban alınarak tüm düzleme bir grid (ızgara) yayıyorsak, herhangi bir P noktası için T(P) görüntüsü de bu dönüşümle elde edilir.

Daha açık ifade ile:

  • T(A) = A′
  • AB doğrusu üzerindeki tüm noktalar A′B′ doğrusu üzerine,
  • AC doğrusu üzerindekiler ise A′C′ üzerine yansıtılır.

Bu, A tabanlı vektörlerin dönüşümüdür. Örneğin, eğer A, E ve F aynı doğru üzerindeyse, şu oran korunur:

(AF uzunluğu) / (AE uzunluğu) = (A′F′ uzunluğu) / (A′E′ uzunluğu)

Bu geometrik eşitlik sayesinde, ABCD grid'i, T dönüşümüyle A′B′C′D′ grid'ine dönüştürülmüş olur.

Afin dönüşümler, uzunlukları veya açıları korumaz; fakat alanları sabit bir katsayıyla çarpar. Bu oran:

A′B′C′D′ bölgesi / ABCD bölgesi

olarak tanımlanır. Ayrıca bir afin dönüşüm, oryantasyona göre iki şekilde sınıflandırılır:

  • **Doğrudan dönüşüm** (sıralı yönü koruyan),
  • **Dolaylı dönüşüm** (ters yönlendiren).

Bu, dönüşümün işaretiyle belirlenir. Örneğin, vektörlerin çapraz çarpımı bu işareti tanımlar.

Afin dönüşümlerin örnekleri

[değiştir | kaynağı değiştir]

Reel sayılar üzerinde afin dönüşümler

[değiştir | kaynağı değiştir]

f : R → R biçimindeki fonksiyonlar, f(x) = mx + c formülü ile tanımlanır. Burada m ve c sabit reel sayılardır ve bu fonksiyonlar klasik afin dönüşümlerdir.

Sonlu bir alan üzerinde afin dönüşüm

[değiştir | kaynağı değiştir]

Afin bir dönüşüm, Galois alanı GF(28) üzerinde aşağıdaki şekilde ifade edilir:

{ a ′ } = M { a } ⊕ { v } , {\displaystyle \{\,a'\,\}=M\{\,a\,\}\oplus \{\,v\,\},} {\displaystyle \{\,a'\,\}=M\{\,a\,\}\oplus \{\,v\,\},}

Burada:

  • M bir matris,
  • {v} ise bir vektördür.

Matris ve vektör şu şekildedir:

M { a } = [ 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ] {\displaystyle M\{\,a\,\}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&1&1&1&1\\1&1&0&0&0&1&1&1\\1&1&1&0&0&0&1&1\\1&1&1&1&0&0&0&1\\1&1&1&1&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&1&1&0\\0&0&0&1&1&1&1&1\end{bmatrix}}} {\displaystyle M\{\,a\,\}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&1&1&1&1\\1&1&0&0&0&1&1&1\\1&1&1&0&0&0&1&1\\1&1&1&1&0&0&0&1\\1&1&1&1&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&1&1&0\\0&0&0&1&1&1&1&1\end{bmatrix}}}
{ v } = [ 1 1 0 0 0 1 1 0 ] {\displaystyle \{\,v\,\}={\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\\0\\1\\1\\0\end{bmatrix}}} {\displaystyle \{\,v\,\}={\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\\0\\1\\1\\0\end{bmatrix}}}

Bu ifade, özellikle kriptografide ve AES şifreleme algoritmasında kullanılan afin dönüşümün temelini oluşturur.

Örneğin, büyük-sonlu ikili gösteriminde aşağıdaki elemanın afin dönüşümü hesaplanmıştır.

Büyük-sonlu onaltılık gösterimde {CA} = {a} = y7 + y6 + y3 + y = {11001010}:

a 0 ′ = a 0 ⊕ a 4 ⊕ a 5 ⊕ a 6 ⊕ a 7 ⊕ 1 = 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1 {\displaystyle a_{0}'=a_{0}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=1} {\displaystyle a_{0}'=a_{0}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=1}
a 1 ′ = a 0 ⊕ a 1 ⊕ a 5 ⊕ a 6 ⊕ a 7 ⊕ 1 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 0 {\displaystyle a_{1}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=0} {\displaystyle a_{1}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=0}
a 2 ′ = a 0 ⊕ a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 6 ⊕ a 7 ⊕ 0 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 1 {\displaystyle a_{2}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1} {\displaystyle a_{2}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1}
a 3 ′ = a 0 ⊕ a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ a 7 ⊕ 0 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 1 {\displaystyle a_{3}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1} {\displaystyle a_{3}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1}
a 4 ′ = a 0 ⊕ a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ a 4 ⊕ 0 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 = 0 {\displaystyle a_{4}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0=0} {\displaystyle a_{4}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0=0}
a 5 ′ = a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ a 4 ⊕ a 5 ⊕ 1 = 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 = 1 {\displaystyle a_{5}'=a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus 1=1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1=1} {\displaystyle a_{5}'=a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus 1=1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1=1}
a 6 ′ = a 2 ⊕ a 3 ⊕ a 4 ⊕ a 5 ⊕ a 6 ⊕ 1 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1 {\displaystyle a_{6}'=a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1=1} {\displaystyle a_{6}'=a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1=1}
a 7 ′ = a 3 ⊕ a 4 ⊕ a 5 ⊕ a 6 ⊕ a 7 ⊕ 0 = 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 1 {\displaystyle a_{7}'=a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1} {\displaystyle a_{7}'=a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1}

Böylece, {a′} = y7 + y6 + y5 + y3 + y2 + 1 = {11101101} = {ED} afin dönüşümü elde edilir.

Düzlem Geometride Afin Dönüşüm

[değiştir | kaynağı değiştir]
Gerçek düzlemde basit bir afin dönüşüm

ℝ2 içinde, dönüşüm aşağıdaki gönderme ile sağ tarafta gösterilmiştir:

[ x y ] ↦ [ 0 1 2 1 ] [ x y ] + [ − 100 − 100 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix}}}

Orijinal üçgen (kırmızı), üç köşe noktasıyla dönüşüm sonucu yeni bir üçgen (mavi) oluşturur. Bu dönüşüm, orijinal üçgeni döndürür ve ötelemeye tabi tutar. Aslında, her üçgen bir afin dönüşüm ile başka bir üçgene eşlenir. Bu durum yalnızca paralelkenarlar için değil, tüm dörtgenler için de geçerlidir.

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Afin dönüşüm için dönüşüm matrisi
  • Afin geometri
  • 3D izdüşüm
  • Düzlem

Notlar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  1. ^ a b Berger, Marcel (1987), p. 38.
  2. ^ Schneider, Philip K. & Eberly, David H. (2003). Geometric Tools for Computer Graphics. Morgan Kaufmann. s. 98. ISBN 978-1-55860-594-7. 13 Ekim 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 11 Ekim 2013. 

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3 
  • Nomizu, Katsumi; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New bas.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3 
  • Sharpe, R. W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9. 

Dış bağlantılar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • "Affine Transformation Example". Hakan Haberdar, University of Houston. 11 Şubat 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
  • Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Affine transformation", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
  • Geometric Operations: Affine Transform 10 Ekim 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., R. Fisher, S. Perkins, A. Walker ve E. Wolfart.
  • Eric W. Weisstein, Affine Transformation (MathWorld)
  • Affine Transform 12 Ekim 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Bernard Vuilleumier tarafından, Wolfram Demonstrations Project.
  • Affine Transformation on PlanetMath 1 Mart 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Free Affine Transformation software
Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin
  • GND: 4141560-7
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Afin_dönüşümü&oldid=35432201" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Afin geometri
  • Dönüşümler
Gizli kategoriler:
  • Ek kaynaklar gereken maddeler Nisan 2012
  • Ek kaynaklar gereken tüm maddeler
  • Webarşiv şablonu wayback bağlantıları
  • GND tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • Sayfa en son 19.47, 3 Haziran 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Afin dönüşümü
Konu ekle