Descartes'ın İşaret Kuralı

Matematikte, Descartes'ın İşaret Kuralı, ilk olarak René Descartes tarafından La Géométrie adlı çalışmasında tanımlanmıştır. Bu teknik ile tek değişkenli bir polinonum, maksimum pozitif ve maksimum negatif köklerinin sayısı, ilave olarak karmaşık ve reel köklerinin sayısı, denklemin kökleri bulunmadan, işaret kuralı ile tespit edilebilir.

Descartes'ın İşaret Kuralı

Pozitif Kökler

Tek değişkenli bir polinomun katsayıları arasındaki işaret değişimi sayısı, polinomun sahip olduğu maksimum pozitif kök sayısına eşittir. Sonuç ya bu değerdir; ya da bu değerden 2'nin bir katının çıkarılmış halidir.

Negatif Kökler

Tek değişkenli bir polinomda, x yerine -x koyarak elde ettiğimiz yeni tek değişkenli polinomun katsayıları arasındaki işaret değişimi sayısı, polinomun sahip olduğu maksimum negatif kök sayısına eşittir. Sonuç ya bu değerdir; ya da bu değerden 2'nin bir katının çıkarılmış halidir.

Karmaşık Kökler

n. dereceden  bir polinom n köke sahiptir. Bu polinomun sahip olduğu minimum karmaşık kök sayısı ise aşağıdaki denklemin sonucuna eşittir.

$n-(p+q),\,$

p pozitif kök sayısını, q negatif kök sayısını, n ise denklemin derecesini ifade eder.

Örnek

Polinomumuz

$+x^{7}+x^{6}-x^{4}-x^{3}-x^{2}+x-1\,$ olsun.

Pozitif Kök Sayısı

Katsayıların işaretlerindeki değişimi ifadesini, ++ +− −− −− −+ +−, şeklinde ifade edebiliriz. Görüldüğü gibi toplam işaret değişimi sayısı 3 adettir. (2. ve 3. ; 5.ve 6. ; 6. ve 7.terimleri arasında) Bu sayı bize, polinomun sahip olduğu, maksimum pozitif kök sayısını verir. Yani 3'dür ya da 3-2 = 1'dir.

Negatif Kök Sayısı

Önce polinomda, x yerine -x koyalım. Yeni polinomumuz şu şekilde

$-x^{7}+x^{6}-x^{4}+x^{3}-x^{2}-x-1\,$ olur.

Katsayıların işaretlerindeki değişimi ifadesini, −+ +− −+ +− −− −− şeklinde ifade edebiliriz. Görüldüğü gibi toplam işaret değişimi sayısı 4 adettir. (1. ve 2. ; 2.ve 3. ; 3. ve 4. ; 4. ve 5. terimleri arasında) Bu sayı bize, polinomun sahip olduğu, maksimum negatif kök sayısını verir. Yani 4'tür ya da 4-2=2 ya da 4-2*2=0'dır.

Karmaşık Kök Sayısı

Örneğimizdeki sonuçları denklemde $n-(p+q),\,$ yerine koyarsak, Pozitif Kök Sayısı için ya 1 ya da 3 Negatif Kök Sayımız ya 4 ya 2 ya da 0 idi.

Bulduğumuz değerlerin, minimum değerlerini, ilgili denklemde yerine koyar isek $7-(1+0),\,$ 6 sonucu elde ederiz. Demek ki polinomumuz 6 adet karmaşık köke, 1 adet reel köke sahip imiş.

Yaptığımız işlemlerin sağlamasını Matlab'te yapalım. Polinomun "roots" komutu yardımı ile kökleri bulduğumuzda ise, bu yöntem ile elde ettiğimiz sonuçların doğruluğunu görebiliriz.

a=[ 1 1 0 1 -1 -1 1 -1]

roots(a)
 -1.2918 + 0.1373i - Negatif Karmaşık Kök
 -1.2918 - 0.1373i - Negatif Karmaşık Kök
 -0.0202 + 1.1459i - Negatif Karmaşık Kök
 -0.0202 - 1.1459i - Negatif Karmaşık Kök
  0.3639 + 0.6091i - Pozitif Karmaşık Kök
  0.3639 - 0.6091i - Pozitif Karmaşık Kök
  0.8961  - Pozitif Reel Kök

Görüldüğü üzere, polinom 4 negatif, 3 pozitif köke sahiptir.

Dış bağlantılar

• Descartes’ Rule of Signs 2 Ocak 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. — Proof of the Rule
• http://www.facebook.com/note.php?note_id=190653440975841 — Facebook Matematik Mantık