Uyarlanmış süreç

Matematiğin bir alt dalı olan stokastik analizde veya stokastik süreçlerde, bir stokastik sürecin verilen bir zamandaki değeri hakkındaki bilgi yine aynı anda mevcutsa bu sürece uyarlanmış süreç ya da öngörmeyen süreç denilir. Kaba bir yorumla, bir $X$ stokastik sürecinin uyarlanmış olması için, olasılık uzayındaki her gerçekleşme ve her $n$ için $X_{n}$'nin $n$ zamanında tamamen bilinmesi gerekli ve yeterlidir. Uyarlanmış süreç kavramı, Itō integralinin iyi tanımlı olması açısından çok önemlidir.

Tanım

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ bir olasılık uzayı, $I$ doğrusal sıralı $\left(\leq \right)$ bir indis kümesi (genelde, $I$ kümesi $\mathbb {N}$, $\mathbb {N} _{0}$, $[0,T]$ veya $[0,+\infty )$ olarak alınır) ve $\mathbb {F} =\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ bir ${\mathcal {F}}$ sigma cebirinin filtrelemesi olsun. Ayrıca, $(S,\Sigma )$ ölçülebilir bir uzay ve $X_{i}:I\times \Omega \to S$ ise bir stokastik süreç olsun. Her $i\in I$ için, $X_{i}:\Omega \to S$ rassal değişkeni $({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )$-ölçülebilir fonksiyon oluyorsa, o zaman $(X_{i})_{i\in I}$ stokastik süreci için $\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ filtrelemesine uyarlanmış denir.

Örnekler

X : [0, T] × Ω → R stokastik sürecini ele alalım. Gerçel sayılar doğrusu R yi ise açık kümeler tarafından üretilen Borel sigma cebiri ile donatalım.

• B, Rdeki Borel altkümeleri ve 0 ≤ s ≤ t zaman endisi olmak üzere, X_s⁻¹(B) kümeleri tarafından üretilmiş σ-cebiri F_t^X olsun. F_t^Xnin doğal filtrelemesi ise F_•^X ile gösterilsin. O zaman, X hemen F_•^X filtrelemesine uyarlanmış olur. Sezgisel olarak, F_•^X doğal filtrelemesi, X 'in  t zamanına kadarki davranışı hakkındaki bütün bilgileri taşımaktadır.
• X : [0, 2] × Ω → R olsun. F_t ise 0 ≤ t < 1, zamanları için {∅, Ω} kümesinden oluşan bariz σ-cebir olsun. 1 ≤ t ≤ 2 zamanları içinse, F_t = F_t^X alınsın. Bir fonksiyonun bariz σ-cebire göre ölçülebilir olmasının tek yolu sabit olması olduğundan, [0, 1] üzerinde sabit olmayan herhangi bir X süreci F_•'ye uyarlanmış olmayacaktır.

Ayrıca bakınız

• Öngörülebilir süreç
• Progresif ölçülebilir süreç