Itô önsavı

Itô önsavı, matematikte, zamana bağlı olarak değişen bir stokastik sürecin diferansiyelini bulmak için kullanılan bir özdeşliktir. Stokastik hesapta, zincir kuralının stokastik karşılığı olarak kabul edilir. Bu önsav, fonksiyonun ikinci türevine kadar olan Taylor serisi açılımı alınarak oluşturulur. Daha detaylı bir şekilde belirtmek gerekirse, zaman artımında birinci dereceye, Wiener süreci artımında ise ikinci dereceye kadar olan terimler alınarak türetilir. Finansal matematikte geniş kullanım alanı bulmuştur ve en iyi bilinen uygulaması Black-Scholes denkleminin türetilmesindedir.

Bu sonuç, Japon matematikçi Kiyoshi Itô tarafından 1951'de keşfedilmiştir.

Motivasyon

Aşağıdaki gibi bir stokastik diferansiyel denklem verildiğini varsayalım:

$$dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t},$$

Burada B_t bir Wiener süreci olup, $\mu _{t},\sigma _{t}$ ise zamana bağlı deterministik fonksiyonlardır. Genel olarak, bu diferansiyel denklemin $X_{t}$ için çözümünü doğrudan $B_{t}$ cinsinden yazmak mümkün değildir. Ancak, aşağıdaki integral çözümünü yazabiliriz:

$$X_{t}=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\ dB_{s}.$$

Bu ifade, $X_{t}$'nin ortalamasını ve varyansını kolayca bulmamızı sağlar. İlk olarak, her bir $\mathrm {d} B_{t}$'nin ortalaması 0 olduğundan, $X_{t}$'nin beklenen değeri sadece sürüklenme fonksiyonunun integralidir:

$$\mathrm {E} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds.$$

Aynı şekilde, $dB$ terimlerinin varyansı 1 olduğundan, $X_{t}$'nin varyansı Itô izometrisi sayesinde şu şekilde bulunur:

$$\mathrm {Var} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\ ds.$$

Itô önsavının matematiksel ifadesi

Bir Itô sürüklenme-difüzyon süreci:

$$dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t},$$

ve sürekli türevlenebilir bir fonksiyon f(t,x) için Itô önsavı şu şekildedir:

$$df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.$$

Bu formül, $f(t,X_{t})$'nin de bir Itô sürüklenme-difüzyon süreci olduğunu gösterir.

Çıkarımı

Itô önsavını elde etmek için Taylor serisi açılımı ve stokastik hesap kuralları kullanılır. Bir Itô süreci olan X_t'nin aşağıdaki stokastik diferansiyel denklemi sağladığını varsayalım:

$$dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}.$$

Burada $B_{t}$ bir Wiener sürecidir.

Sürekli türevlenebilir bir fonksiyon olan $f(t,x)$'in Taylor serisi açılımı şu şekildedir:

$${\begin{aligned}df&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dX_{t}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,(dX_{t})^{2}+\cdots \end{aligned}}$$

Bu özellikleri kullanılarak, $dX_{t}$ ifadesini yerleştirdiğimizde

$$df={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dX_{t}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,(dX_{t})^{2}$$ elde edilir. Son olarak, şu ifade elde edilir:

$$df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)\,dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}$$

Bu sonuç, stokastik diferansiyel denklemlerin çözümünde ve finansal modellemelerde geniş çapta kullanılır. Özellikle, Black-Scholes modeli bu önsav yardımıyla türetilmiştir.

Dış bağlantılar

• Çıkarımı, Prof. Thayer Watkins
• Kanıt, optiontutor