Itô izometrisi

Matematiğin bir alt dalı olan stokastik analizde Itô izometrisi Ito integralleriyle alakalı çok temel ve önemli bir özelliktir. Önemli uygulamalarından birisi, Ito integrali hâlindeki bir rassal değişkenin varyansının hesaplanmasını kolay hale getirmesidir. Bu özellik, Japon matematikçi Kiyoshi Itô'nun adını taşımaktadır.

İfadesi

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ bir olasılık uzayı olsun. $W:[0,T]\times \Omega \mapsto \mathbb {R}$ bir $T>0$ zamanı için tanımlanmış Wiener süreci olsun. $X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ ise Wiener süreci üzerinden tanımlanmış doğal filtreleme ${\mathcal {F}}_{*}^{W}$'ye uyarlanmış bir stokastik süreç olsun. $\operatorname {E}$, klâsik Wiener ölçüsü altında beklenen değeri temsil ederse, o zaman,

$\operatorname {E} \left[\left(\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)^{2}\right]=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{T}X_{t}^{2}\mathrm {d} t\right]$

olur.

Başka bir deyişle, Itô integrali, kare-integrallenebilir uyarlanmış süreçlerin uzayı olan $L_{\mathrm {uyar} }^{2}([0,T]\times \Omega )$ uzayından kare-integrallenebilir rassal değişkenlerin uzayı $L^{2}(\Omega )$ya bir operatör olarak düşünüldüğünde, bu iki normlu vektör uzayının izometrisi olmaktadır. Yâni,

${\begin{aligned}(X,Y)_{L_{\mathrm {uyar} }^{2}([0,T]\times \Omega )}&:=\operatorname {E} \left(\int _{0}^{T}X_{t}\,Y_{t}\,\mathrm {d} t\right)\end{aligned}}$

ve

$(A,B)_{L^{2}(\Omega )}:=\operatorname {E} (AB)$

iç çarpımları tarafından üretilen normlar altında Itô integrali izometri olur. Sonuç olarak, Itô integrali bu iç çarpımları da dikkate alır ve $X,Y\in L_{\mathrm {uyar} }^{2}([0,T]\times \Omega )$ için

$\operatorname {E} \left[\left(\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)\left(\int _{0}^{T}Y_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)\right]=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{T}X_{t}Y_{t}\,\mathrm {d} t\right]$

yazılabilir.