Gergonne noktası

Adını Fransız matematikçi Joseph Diez Gergonne'dan alan Gergonne noktası, bir üçgenin iç kısmındaki ayırt edici bir noktadır.

Tanım

G, Gergonne noktasıdır.

Bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $M$, kenarlara dokunduğu noktalar ise $X,Y,Z$ olsun. Gergonne, bu temas noktaları ile üçgenin karşı köşesi arasındaki üç doğrunun bir noktada yani Gergonne noktasında kesiştiğini gösterdi. Ayrıca $XYZ$ üçgeninine de Gergonne üçgeni denir.

Bu üç doğrunun bir noktada kesiştiği gerçeği, ${\overline {AZ}}={\overline {AY}}$ vb. ve Ceva teoreminden kaynaklanır.

                     △ABC üçgeni                      İç teğet çember (iç merkezi I noktası)                      △T_AT_BT_C Değme üçgeni                      △ABC ve △T_AT_BT_C'nin zıt köşeleri arasındaki doğrular (G_e Gergonne noktasında kesişir)

Gergonne üçgeni ($\triangle ABC$'nin) üç kenarındaki çemberin üç temas noktası ile tanımlanır. $A$'nın karşısındaki temas noktası $T_{A}$ vb. olarak gösterilir.

Bu $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$ Gergonne üçgeni, $\triangle ABC$'nin değme üçgeni veya temas üçgeni olarak da bilinir. Alanı şöyledir: $$K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}$$

burada $K$, $r$ ve $s$ orijinal üçgenin alanı, iç teğet çember yarıçapı ve yarı çevre, $a$, $b$ ve $c$ ise orijinal üçgenin kenar uzunluklarıdır. Bu alan dış temas üçgeninin alanı ile aynıdır.

Üç $AT_{A}$, $BT_{B}$ ve $CT_{C}$ doğrusu Gergonne noktası adı verilen ve $G_{e}$ (veya üçgen merkezi X₇) olarak gösterilen tek bir noktada kesişir. Gergonne noktası, kendi merkezinden delinmiş açık ortosentroidal disk içinde yer alır ve buradaki herhangi bir nokta olabilir.

Bir üçgenin Gergonne noktası, Gergonne üçgeninin simmedyan noktası olması da dahil olmak üzere bir dizi özelliğe sahiptir.

Değme üçgenin köşeleri için trilineer koordinatlar şu şekilde verilir: $${\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0.\end{array}}$$

Gergonne noktası için trilineer koordinatlar şu şekilde verilir $$\sec ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {C}{2}},$$

ya da eşdeğer olarak Sinüs Yasası yardımıyla barisentrik koordinatlarda,

$${\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.$$

Özellikler

• Gergonne noktası, sentroid ve orta nokta ile düz bir doğru üzerinde yer alır.
• Gergonne noktası ve Nagel noktası, izotomik eşleniktir.

Konuyla ilgili okumalar

• Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv, 71, 1987, 2, S. 230–233.
• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344, S. 78.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Gergonne Point (MathWorld)
• Gergonne-Punkt – GeoGebra ile görselleştirme.