Yarı çevre

Geometride, bir çokgenin yarı çevresi (veya yarım çevre, İng: semiperimeter), çevre uzunluğunun yarısıdır. Çevreden doğrudan türetilebilmesine rağmen, yarı çevre üçgenler ve diğer şekiller için kullanılan formüllerde oldukça sık görülür ve ayrı/özel bir isim verilir. Yarı çevre, bir formülün parçası olarak ortaya çıktığında, genellikle $s$ harfiyle gösterilir.

Motivasyon: üçgenler

Yarı çevre, en çok üçgenler için kullanılır; kenar uzunlukları $a, b, c$ olan bir üçgenin yarı çevre formülü aşağıdaki gibidir:

s={\frac {a+b+c}{2}}.

Özellikler

Herhangi bir üçgende, herhangi bir tepe noktası ve karşı çevrel çemberin üçgene temas ettiği nokta, üçgenin çevresini iki eşit uzunluğa böler, böylece her biri yarıçapa eşit uzunlukta iki yol oluşturur. Eğer $A, B, B', C'$ şekilde gösterildiği gibiyse, bir tepe noktasını karşıt dış daire teğetiyle birleştiren parçalar ( $AA', BB', CC'$ , diyagramda kırmızı ile gösterilmiştir) ayırıcılar olarak bilinir ve

{\begin{aligned}s&=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|\\&=|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.\end{aligned}}

Üç ayırıcı, üçgenin Nagel noktasında kesişir.

Bir üçgenin keskisi, üçgenin çevresini ikiye bölen ve bir uç noktası üç kenardan birinin orta noktasında olan bir doğru parçasıdır. Dolayısıyla, herhangi bir bölücü gibi herhangi bir keski de üçgeni, her birinin uzunluğu yarım çevreye eşit olan iki izleğe böler. Üç keski, orta noktalar üçgeninin iç teğet çemberi olan Spieker çemberinin merkezinde kesişir; Spieker merkezi, üçgenin kenarlarındaki tüm noktaların kütle merkezidir.

Üçgenin iç teğet çemberin merkezinden geçen bir çizgi ikiye böler ancak ve ancak alanı da ikiye bölerse çevreyi böler.

Bir üçgenin yarı çevresi, orta noktalar üçgeninin çevresine eşittir.

Üçgen eşitsizliği ile, bir üçgenin en uzun kenar uzunluğu yarıçapından daha azdır.

Yarı çevreyi içeren formüller

Üçgenler için

Herhangi bir üçgenin alanı $A$ , iç teğet çemberin yarıçapı ile yarıçapının çarpımıdır:

A=rs.

Bir üçgenin alanı, Heron formülü kullanılarak yarıçapından ve $a, b, c$ kenar uzunluklarından hesaplanabilir:

A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.

Bir üçgenin $R$ çevrel çemberin yarıçapının değeri yarıçap ve kenar uzunluklarından da hesaplanabilir:

R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}.

Bu formül sinüs yasasından türetilebilir.

iç teğet çemberin yarıçapı şudur;

r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.

Kotanjantlar yasası bir üçgenin köşelerindeki yarım açıların kotanjantlarını yarıçap, kenarlar ve iç yarıçap cinsinden verir.

$a$ uzunluğundaki kenarın karşısındaki açının iç açıortayının uzunluğu^[1]

t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}.

Bir dik üçgende, hipotenüs üzerindeki dış teğet çemberin yarıçapı, yarı çevreye eşittir. Yarı çevre, iç teğet çemberin yarıçapı ile çevrel çemberin yarıçapının iki katının toplamıdır. Dik üçgenin alanı $(s-a)(s-b)$ olup, burada $a, b$ dik kenarlardır.

Dörtgenler için

Kenar uzunlukları $a, b, c, d$ olan bir dörtgenin yarı çevresinin formülü şöyledir

s={\frac {a+b+c+d}{2}}.

Yarı çevreyi içeren üçgen alan formüllerinden biri, bir iç teğet çembere sahip olan ve (Pitot teoremine göre) karşılıklı kenar çiftlerinin uzunluklarının toplamı yarı çevreye eşit olan teğetsel dörtgenler için de geçerlidir—yani alan, iç teğet çemberin yarıçapı ile yarı çevrenin çarpımıdır: