Değişken değiştirme - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Basit örnek
  • 2 Biçimsel tanıtım
  • 3 Diğer örnekler
    • 3.1 Koordinat dönüşümü
    • 3.2 Diferansiyel alma
    • 3.3 İntegral alma
    • 3.4 Diferansiyel denklemler

Değişken değiştirme

  • العربية
  • Български
  • Català
  • کوردی
  • Čeština
  • Deutsch
  • English
  • Español
  • فارسی
  • Français
  • Galego
  • עברית
  • हिन्दी
  • 한국어
  • Nederlands
  • Русский
  • Svenska
  • Українська
  • 中文
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Değişken değiştirme, İntegral, çarpanlara ayırma, denklemler, üslü denklemler, trigonometri ve diferansiyel denklemler başta olmak üzere matematiğin her alanında işlemi basitleştirmek için kullanılan matematiksel bir yöntemdir.

Basit örnek

[değiştir | kaynağı değiştir]

Sistem aşağıdaki denklemlerden oluşsun.

x y + x + y = 71 {\displaystyle xy+x+y=71} {\displaystyle xy+x+y=71} (Denklem I)
x 2 y + x y 2 = 880 {\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=880} {\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=880} (Denklem II)

Burada, x {\displaystyle x} {\displaystyle x} ve y {\displaystyle y} {\displaystyle y} pozitif tam sayı ve x > y {\displaystyle x>y} {\displaystyle x>y} olsun.

Bu sistemin normal çözümü zor değildir. Fakat biraz yorucu olabilir. (Denklem II)'yi şöyle yazabiliriz;

x y ( x + y ) = 880 {\displaystyle xy(x+y)=880} {\displaystyle xy(x+y)=880} (Denklem III)

Burada s = x + y {\displaystyle s=x+y} {\displaystyle s=x+y} ve t = x y {\displaystyle t=xy} {\displaystyle t=xy} değişken değişimlerini uygulayalım. Böylece sistemde

(Denklem I)'e göre s + t = 71 {\displaystyle s+t=71} {\displaystyle s+t=71} ve (Denklem II)'ye göre s t = 880 {\displaystyle st=880} {\displaystyle st=880} olur. Bunun çözümü;

( s , t ) = ( 16 , 55 ) {\displaystyle (s,t)=(16,55)} {\displaystyle (s,t)=(16,55)} veya, (I.çift)
( s , t ) = ( 55 , 16 ) ′ {\displaystyle (s,t)=(55,16)'} {\displaystyle (s,t)=(55,16)'}dır. (II.çift)

(I.çift)'i ele alırsak; x + y = 16 {\displaystyle x+y=16} {\displaystyle x+y=16} ve x y = 55 {\displaystyle xy=55} {\displaystyle xy=55} olur. Bu da, ( x , y ) = ( 11 , 5 ) {\displaystyle (x,y)=(11,5)} {\displaystyle (x,y)=(11,5)}'i verir.

(II.çift)'i ele alırsak; x + y = 55 {\displaystyle x+y=55} {\displaystyle x+y=55} ve x y = 16 {\displaystyle xy=16} {\displaystyle xy=16} olur. Bunun çözümü yoktur. Sonuçta çözüm; ( x , y ) = ( 11 , 5 ) {\displaystyle (x,y)=(11,5)} {\displaystyle (x,y)=(11,5)}'dir.

Biçimsel tanıtım

[değiştir | kaynağı değiştir]

A {\displaystyle A} {\displaystyle A}, B {\displaystyle B} {\displaystyle B} diferansiyellenebilir çokkatlı ve Φ : A → B {\displaystyle \Phi :A\rightarrow B} {\displaystyle \Phi :A\rightarrow B} aralarında bir C r {\displaystyle C^{r}} {\displaystyle C^{r}}-diffeomorfizması olsun. Burada: Φ {\displaystyle \Phi } {\displaystyle \Phi }, r {\displaystyle r} {\displaystyle r} kere diferansiyellenebilen, A {\displaystyle A} {\displaystyle A}'dan B {\displaystyle B} {\displaystyle B}'ye bir örten fonksiyon olsun. Bunu tersi yine r {\displaystyle r} {\displaystyle r} kere diferansiyellenebilen B {\displaystyle B} {\displaystyle B}'den A {\displaystyle A} {\displaystyle A}'ya bir fonksiyondur. Burada r {\displaystyle r} {\displaystyle r}, herhangi bir doğal sayı (veya sıfır), ∞ {\displaystyle \infty } {\displaystyle \infty } (düzgün) veya ω {\displaystyle \omega } {\displaystyle \omega } (analitik fonksiyondur).

Φ {\displaystyle \Phi } {\displaystyle \Phi }, düzenli koordinat sistemi olarak adlandırılır. Burada düzenli, Φ {\displaystyle \Phi } {\displaystyle \Phi }'nin C r {\displaystyle C^{r}} {\displaystyle C^{r}}-siz olduğunu ifade eder.

Diğer örnekler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Koordinat dönüşümü

[değiştir | kaynağı değiştir]

Silindirik koordinat sistemi kullanıldığında bazı sistemlerin çözümü kolaylaşır. Örneğin aşağıdaki denklem;

U ( x , y , z ) := ( x 2 + y 2 ) 1 − x 2 x 2 + y 2 = 0. {\displaystyle U(x,y,z):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.} {\displaystyle U(x,y,z):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.}

bazı fiziksel problemlerdeki bir potansiyel enerji fonksiyonu olabilir. Bunun çözümü hemen görülemeyebilir. Fakat aşağıdaki biçime dönüştürülürse;

( x , y , z ) = Φ ( r , θ , z ) {\displaystyle \displaystyle (x,y,z)=\Phi (r,\theta ,z)} {\displaystyle \displaystyle (x,y,z)=\Phi (r,\theta ,z)}, burada Φ ( r , θ , z ) = ( r cos ⁡ ( θ ) , r sin ⁡ ( θ ) , z ) {\displaystyle \displaystyle \Phi (r,\theta ,z)=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ),z)} {\displaystyle \displaystyle \Phi (r,\theta ,z)=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ),z)} olur.

Eğer θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta }, 2 π {\displaystyle 2\pi } {\displaystyle 2\pi } periyodunda örneğin [ 0 , 2 π ] {\displaystyle [0,2\pi ]} {\displaystyle [0,2\pi ]} döndürülürse, Φ {\displaystyle \Phi } {\displaystyle \Phi } örten fonksiyon olmaz. Bu yüzden Φ {\displaystyle \Phi } {\displaystyle \Phi }, örneğin ( 0 , ∞ ] × [ 0 , 2 π ) × [ − ∞ , ∞ ] {\displaystyle (0,\infty ]\times [0,2\pi )\times [-\infty ,\infty ]} {\displaystyle (0,\infty ]\times [0,2\pi )\times [-\infty ,\infty ]} aralığında sınırlanabilir. Φ {\displaystyle \Phi } {\displaystyle \Phi }, orjinde örten fonksiyon olmasaydı r = 0 {\displaystyle r=0} {\displaystyle r=0}'ın nasıl hesaba katılmadığına dikkat edin ( θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta } herhangi bir değer alabilir ve nokta (0, 0, z) olurdu). Ardından yeni ifadede oluşan tüm asıl değişkenler Φ {\displaystyle \Phi } {\displaystyle \Phi } ile değiştirilir ve sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1} {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1} kullanılır. Böylece

V ( r , θ , z ) = r 2 1 − r 2 cos 2 ⁡ θ r 2 = r 2 1 − cos 2 ⁡ θ = r 2 sin ⁡ θ {\displaystyle V(r,\theta ,z)=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}}=r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\sin \theta } {\displaystyle V(r,\theta ,z)=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}}=r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\sin \theta } elde edilir.

Şimdi çözüm sin ⁡ ( θ ) = 0 {\displaystyle \sin(\theta )=0} {\displaystyle \sin(\theta )=0} için bulunabilir. Çünkü θ = 0 {\displaystyle \theta =0} {\displaystyle \theta =0} veya θ = π {\displaystyle \theta =\pi } {\displaystyle \theta =\pi }'dir. Φ {\displaystyle \Phi } {\displaystyle \Phi }'nin tersi kullanılırsa, x ≠ 0 {\displaystyle x\not =0} {\displaystyle x\not =0} iken y = 0 {\displaystyle y=0} {\displaystyle y=0} olur. y = 0 {\displaystyle y=0} {\displaystyle y=0} için fonksiyonun orjin haricinde yok olduğunu gördük.

Burada r = 0 {\displaystyle r=0} {\displaystyle r=0} aldığımıza dikkat edin. Her ne kadar asıl problemde bir çözüm olmazsa bile, orjin de bir çözümdü. Burada Φ {\displaystyle \Phi } {\displaystyle \Phi }'nin örten fonksiyonu çok önemlidir.

Diferansiyel alma

[değiştir | kaynağı değiştir]
Ana madde: Zincir kuralı

Zincir kuralı, karmaşık diferansiyel denklemleri basitleştirmek için kullanılır. Örneğin aşağıdaki denklemin türevini hesaplamak için;

d d x ( sin ⁡ ( x 2 ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sin(x^{2})\right)\,} {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sin(x^{2})\right)\,}

x2 = u şeklinde değişken değişimi yapılabilir. Ardından zincir kuralı ile:

d d x = d d u d u d x = d d x ( u ) d d u = d d x ( x 2 ) d d u = 2 x d d u {\displaystyle {\frac {d}{dx}}={\frac {d}{du}}{\frac {du}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(u\right){\frac {d}{du}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{2}\right){\frac {d}{du}}=2x{\frac {d}{du}}\,} {\displaystyle {\frac {d}{dx}}={\frac {d}{du}}{\frac {du}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(u\right){\frac {d}{du}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{2}\right){\frac {d}{du}}=2x{\frac {d}{du}}\,}

böylece denklem aşağıdaki biçime dönüşür;

d d x ( sin ⁡ ( x 2 ) ) = 2 x d d u ( sin ⁡ ( u ) ) = 2 x cos ⁡ ( x 2 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sin(x^{2})\right)=2x{\frac {d}{du}}\left(\sin(u)\right)=2x\cos(x^{2})\,} {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sin(x^{2})\right)=2x{\frac {d}{du}}\left(\sin(u)\right)=2x\cos(x^{2})\,}

Burada son adım u yerine x2 yazmaktır.

İntegral alma

[değiştir | kaynağı değiştir]

Zor integraller değişken değiştirerek hesaplanabilir. Burada yerine koyarak integralleme yapılır ve yukarıdaki zincir kuralı] kullanılır. Zor integralleri hesaplamak için Jakobi matris ve determinantı kullanılarak değişken değiştirilir. Böylece denklem koordinat sistemlerine dönüştürülür.

Diferansiyel denklemler

[değiştir | kaynağı değiştir]
Ana madde: Diferansiyel denklemler

Diferansiyel ve integral alırken kullanılan değişken değiştirme yöntemi kalkülüste öğretilir.

Değişken değiştirmenin çok geniş kullanımı diferansiyel denklemlerde ortaya çıkar. Buradaki bağımsız değişken zincir kuralı kullanılarak değiştirilebilir veya bağımlı değişkenler bazı diferansiyellerin alınması sonucunda değiştirilir. Can alıcı değişiklikler, bağımlı ve bağımsız değişkenlerin, nokta ve bağlantı dönüşümlerinde katıştırılmasıdır. Bu çok karmaşıktır, fakat bir o kadar da rahattır.

"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Değişken_değiştirme&oldid=31577020" sayfasından alınmıştır
Kategori:
  • Matematiksel fizik
  • Sayfa en son 22.55, 15 Şubat 2024 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Değişken değiştirme
Konu ekle