Dördey analizi

Matematikte dördey analizi ya da kuaternion analizi dördey değerli fonksiyonları inceleyen bir matematik alanıdır.^[1] Matematikte başka bir isim olarak dördey değerli fonksiyonların teorisi olarak da adlandırılabilir.

Dördeyler Sir William Rowan Hamilton tarafından keşfedilmiştir.

Dördey değerli fonksiyonlar

Dördey değerli fonksiyon bağımsız değişkenin ve bağımlı değişkenin her ikisinin de dördey olduğu bir fonksiyondur. Tam olarak, dördey değerli bir fonksiyon tanım kümesinin dördey düzleminin altkümesi olduğu ve yine görüntü kümesinin dördey düzleminin altkümesi olduğu fonksiyondur. Herhangi bir dördey değerli fonksiyonda hem bağımsız değişken hem de bağımlı değişken gerçel ve 3 sanal kısımlara ayrılabilir:

$x,y,z,w\in \Re$ ve $u(x,y,z,w),v(x,y,z,w),r(x,y,z,w),p(x,y,z,w)$ gerçel değerli fonksiyonlar olmak üzere, $q=x+iy+jz+kw$ ifadesi

$f(q)=u(x,y,z,w)+i.v(x,y,z,w)+j.r(x,y,z,w)+k.p(x,y,z,w)$

olarak yazılabilir. Başka bir deyişle, $f(q)$ fonksiyonun bileşenleri olan 4 gerçel değişkenin, gerçel değerli fonksiyonları olarak yorumlanabilir.

Dördey analizin basit kavramları çoğunlukla karmaşık analizin üstel, logaritma ve trigonometrik fonksiyonlar gibi elementer fonksiyonlarının dördey bölgelere genişletilmesiyle elde edilir.

Kısmi Türevler ve Cauchy-Riemann denklemlerin genelleştirilmesi

Karmaşık değerli bir fonksiyonun 2 fonksiyonun bileşimi gibi düşünüldüğü karmaşık analize benzer şekilde, dördey analizinde de bir dördey değerli fonksiyon 4 fonksiyonun bileşimi şeklinde yazılabilir:

$f(q)=u(x,y,z,w)+i.v(x,y,z,w)+j.r(x,y,z,w)+k.p(x,y,z,w)$

Artık bu dört fonksiyonun kısmi türevleri alınabilir:

$f'(q)=\partial u/\partial x+i\partial v/\partial y+j\partial r/\partial z+k\partial p/\partial w$

Örneğin $f(q)=q=x+iy+jz+kw$ fonksiyonunun kısmi türevleri şöyledir:

$f'(q)=\partial u/\partial x+i\partial v/\partial y+j\partial r/\partial z+k\partial p/\partial w$

$f'(q)=1+i+j+k$

Buradaki $1,i,j,k$ düzlemleri temsil eden işlemcilerdir. Örneğin "1" işlemcisi reel düzlemi temsil eder. Diğer i, j ve k işlemcileri ise sanal düzlemleri temsil eder.^{[kaynak belirtilmeli]} Aslında bu fonksiyonun türevi 4'tür. Yani aslında sonuç şudur:

$f'(q)=1.1+1.i+1.j+1.k$

Buradan yola çıkarak Cauchy-Riemann denklemleri dördeylere genelleştirilir:

$\partial u/\partial x=\partial v/\partial y=\partial r/\partial z=\partial p/\partial w$

Ve bu türün 3 farklı formülasyonu vardır. Bunlar:

${\partial v \over \partial x}=-{\partial u \over \partial y}=-{\partial p \over \partial z}$ $={\partial r \over \partial w}$ ,

${\partial p \over \partial x}={\partial r \over \partial y}=-{\partial u \over \partial z}$ $=-{\partial v \over \partial w}$ ,

${\partial r \over \partial x}=-{\partial p \over \partial y}={\partial v \over \partial z}=$ $-{\partial u \over \partial w}$

Örneğin $f(q)=q^{2}=(x+yi+zj+wk)^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}-w^{2}+2xyi+2xzj+2xwk+2yzk+2ywj+2zwi$ fonksiyonu olsun.

Kısmi türevlerinin bazıları şunlardır:

${\partial u \over \partial x}=2x$ = ${\partial v \over \partial y}=2x$ = ${\partial r \over \partial z}=2x$ = ${\partial p \over \partial w}=2x$

${\partial v \over \partial x}=2y=-{\partial u \over \partial y}=2y=-{\partial p \over \partial z}=2y=$ ${\partial r \over \partial w}=2y$

Diğerleri burada gösterilmemiştir, ancak aynı yöntemle elde edilebilir.

Türevin Limit Tanımı

Türevin limit tanımı klasik tek değişkenli kalkülüsteki türev tanımıyla aynıdır:

$m=f(q)$ için,

$f'(q)={dm \over dq}=\lim _{\Delta q\to 0}={f(q+\Delta q)-f(q) \over \Delta q}$

Dördey eşleniği

$x+yi$ karmaşık sayısını 2 boyutlu karmaşık sayı olarak düşünmek yanlış olmaz. O halde dördeyler de $x+yi+zj+wk$ "4 boyutlu karmaşık sayıdır" denebilir. Dördeyler 2 boyutlu karmaşık sayıların 2 sanal düzlemin daha eklenmesiyle genelleştirilmiş halidir.^[1] n boyutlu denilmesinin sebebi karmaşık sayıların vektör gibi davranmasıdır.