Stres-enerji tensörü

Stres-enerji tensörünün karşıdeğişkin bileşenleri.

Stres-enerji tensörü, fizikte uzayzaman içerisinde enerji ve momentumun özkütle ve akısını açıklayan, Newton fiziğindeki stres tensörünü genelleyen bir tensördür. Bu, maddedinin, radyasyonun ve kütleçekimsel olmayan kuvvet alanının bir özelliğidir. Stres-enerji tensörü, genel göreliliğin Einstein alan denklemlerindeki yerçekimi alanının kaynağıdır, tıpkı kütle özkütlesinin Newton yerçekiminde bu tip bir alanın kaynağı olması gibi.

Tanım

Stres-enerji tensörü üstsimge değişkenlerin kullanımını kapsamaktadır. Eğer Uluslararası Birimler Sisteminde Kartezyen koordinatlar kullanılıyorsa, konum dört vektörünün bileşenleri şu şekilde verilir: x⁰ = t, x¹ = x, x² = y ve x³ = z, burada t saniye cinsinden zaman ve x, y, z metre cinsinden uzaklığı belirtmektedir.

Stres-enerji tensörü, ikinci dereceden tensör T^αβ olarak tanımlanmıştır ve bir yüzeydeki sabit x^β koordinatının momentum vektörünün α’’’ncı elemanının akısını verir. Görelilik teorisinde, bu momentum vektörü dört-momentum olarak geçer. Genel görelilikte stres-enerji tensörü simetriktir.

$T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }.$

Einstein-Cartan teorisi gibi diğer alternatif teorilerde, stres-enerji tensörü kusursuzca simetrik olmayabilir çünkü fırıl tensörü sıfırdan farklı olabilir, geometrik olarak bu durum sıfırdan farklı burulma tensörü olarak açıklanmıştır.

Tensörün bileşenlerini tanımlamak

Stres enerji tensörü ikinci dereceden olduğundan dolayı, bileşenleri 4 × 4 matris olarak gösterilebilir:

$T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{pmatrix}}.$

Aşağıdaki denklemlerde i ve k’’ 1’den 3’e kadar değer kümesidir.

Zaman-zaman bileşeni burada göreceli kütle yoğunluğudur ve kütle yoğunluğunun ışık hızının karesine bölümünden elde edilmektedir. Basit fiziksel yorumlamalar içerdiğinden dolayı bu konu özel bir ilgiye sahiptir. Mükemmel sıvılar için bu bileşen;

$T^{00}=\rho ,$'dir

ve boş uzay dışında elektromanyetik alanlarda bu bileşen;

$T^{00}={\epsilon _{0} \over 2}\left({E^{2} \over c^{2}}+B^{2}\right),$'dir.

Burada E elektriksel alan, B ise manyetik alandır.

Göreceli kütlede xⁱ yüzeyi boyunca akı lineer momentumda i'nci bileşenin yoğunluğuna denk gelir.

$T^{0i}=T^{i0}.$

Bileşenler

$T^{ik}$

x^k yüzeyindeki lineer momentumun i‘nci bileşenin akısını gösterir. Özellikle,

$T^{ii}$

(toplanmadan) normal stresi gösterir ve yönden bağımsız olduğu zaman basınç olarak adlandırılır. Geri kalan bileşenler

$T^{ik}\quad i\neq k$

kırkım stresini gösterir (stres tensörü ile karşılaştırıldığında).

Katı hal fiziği ve akışkanlar mekaniğinde, stres tensörü doğru referans çerçevesinde stres enerji tensörünün uzaysal bileşeni olarak tanımlanmıştır. Diğer bir deyişle, mühendislikte stres enerji tensörü buradaki stres enerji tensöründen farklılık gösterir.

Eşdeğişkin ve karışık biçimler

Bu yazının çoğunda stres enerji tensörünün karşıdeğişkin formu T^μν ile ilgileneceğiz. Buna karşın, eşdeğişkin formuyla çalışmak da bazen gerekli olmaktadır.

$T_{\mu \nu }=T^{\alpha \beta }g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu },$

ya da karışık biçimi,

$T^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu },$

ya da karışık tensör yoğunluğu olarak

${\mathfrak {T}}^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu }{}_{\nu }{\sqrt {-g}}\,.$

Korunum Yasası

Özel görelilikte

Stres enerji tensörü uzay zamanı ötelemesiyle ilişkili korunmuş Noether akımıdır.

Yerçekimsel olmayan stres enerjisinin ıraksaması sıfırdır. Diğer bir deyişle, yerçekimsel olmayan enerji ve momentum korunur,

$0=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }{}.\!$

Yerçekimi ihmal edilebilir olduğunda ve uzay zamanı için kartezyen koordinat sistemi kullanıldığında, bu denklem kısmi türev cinsinden şu şekilde gösterilebilir;

$0=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }.\!$

Bunun integral formu şu şekildedir;

$0=\int _{\partial N}T^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{3}s_{\nu }\!$

Burada N’’, uzay zamanın sıkılaştırılmış dört boyutlu herhangi bir bölgesi, $\partial N$ ise üç boyutlu aşırıyüzey sınırı ve $\mathrm {d} ^{3}s_{\nu }$ dışa doğru gösteren normalinden farklı olan sınır elementidir.

Düz uzay zamanında ve kartezyen koordinatlar kullanılarak, eğer biri stres enerji tensörünün simetrisini bununla birleştirirse, açısal momentumun da korunduğunu görebilir:

$0=(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })_{,\nu }.\!$

Genel görelilikte

Yerçekimi ihmal edilemez olduğunda ya da herhangi bir koordinat sistemi kullanıldığında, stres enerjisinin ıraksaması yine kaybolur. Fakat bu durumda eşdeğişkin türevi içeren ıraksamanın koordinatsız tanımı kullanılır.

$0=\operatorname {div} T=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }$

Burada kullanılan $\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }$ Christoffel sembolüdür ve yerçekimsel güç alanını temsil eder.

Bu nedenle, eğer $\xi ^{\mu }$ herhangi bir yıpratıcı vektör alanı ise, bu vektör alanı ile üretilmiş simetrinin korunum yasası şu şekilde gösterilebilir;

$0=\nabla _{\nu }(\xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu })={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\nu }({\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu })$

Bu denklemin integral formu şu şekildedir;

$0=\int _{\partial N}{\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }=\int _{\partial N}\xi ^{\mu }{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }$

Genel görelilikte

Genel görelilikte, simetrik stres tensörü uzay zamanı eğriliğinin kaynağı gibi davranır ve genel eğrileştirilmiş koordinat dönüşümü olan yerçekiminin yerelleştirilmiş bakışım dönüşümüyle ilgili mevcut özkütlesidir. (Eğer burulma varsa, tensör simetrik değildir. Bu Einstein-Cartan yerçekim teorisindeki sıfırdan farklı spin tensörü durumuna denk gelmektedir.)

Genel görelilikte, özel görelilikteki kısmi türevler eşdeğişkin türevlerle yer değiştirir. Bu devamlılık denkleminin bundan böyle tensör tarafından açıklanan yerçekimsel olmayan enerji ve momentumun tamamen korunmasını açıklamadığı anlamına gelir. Başka bir ifadeyle yerçekimsel alan cisim üzerinde iş yapabilir ve tam tersi de mümkündür. Bu durum Newton yerçekiminin klasik sınırlamasında basit bir yorumlamaya sahiptir: enerji tensörün dahil edilmediği yerçekimi potansiyel enerjisi ile değişmektedir ve momentum alandan diğer cisimlere transfer edilmektedir. Genel görelilikte Landau-Lifshitz pseudotensörü yerçekimsel alan enerjisini ve momentum yoğunluklarını açıklamak için eşsiz bir yöntemdir. Bu tür bir stres enerjisi pseudotensörü koordinat dönüşümü ile lokal olarak yok olmak için yapılabilir.

Kavisli uzay zamanında, uzaysal integral genel olarak uzaysal dilime bağlıdır. Genel kavisli uzay zamanında küresel enerji-momentum vektörünü tanımlamanın hiçbir yolu yoktur.

Einstein alan denklemleri

Genel görelilikte, stres tensörü Einstein alan denklemleri konusu içinde işlenir ve şu şekilde yazılır;

$R_{\mu \nu }-{1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },$

Burada $R_{\mu \nu }$ Ricci tensörü, $R$ Ricci skaleri (Ricci tensörünün tensör kasılması), $g_{\mu \nu }\,$ metrik tensör ve $G$ evrensel kütleçekim sabitidir.

Özel durumlarda stres enerjisi

Yalıtılmış parçacık

Özel görelilikte, m kütlesine sahip ve etkileşimsiz parçacığın stres enerjisi ve yörüngesi $\mathbf {x} _{\text{p}}(t)$ şu şekildedir;

$T^{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)={\frac {m\,v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))=E{\frac {v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{c^{2}}}\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))$

Burada $v^{\alpha }\!$ hız vektörüdür (dört-hızı ile karıştırılmamalıdır)

$v^{\alpha }=\left(1,{\frac {d\mathbf {x} _{\text{p}}}{dt}}(t)\right)\,,$

Burada δ Dirac delta fonksiyonudur ve $E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}$ parçacığın enerjisidir.

Dengedeki bir sıvının stres enerjisi

Termodinamik dengedeki bir sıvı için stres tensör enerjisi aşağıdaki basit formu alır;

$T^{\alpha \beta }\,=\left(\rho +{p \over c^{2}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }$

Burada $\rho$ kütle energy yoğunluğu (metre küp başına kilogram), $p$ hidrostatik basınç (paskal), $u^{\alpha }$ sıvının dört hızı ve $g^{\alpha \beta }$ metrik tensörün tersidir.

Dört hızı aşağıdakini karşılar;

$u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.$

Sıvının uygun referans çerçevesinde, dört hızı;

$u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,$'dır.

metrik tensörün tersi;

$g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-c^{-2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,,$

ve stress enerji tensörü köşegen matris olarak;

$T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).$

Elektromanyetik stres enerji tensörü

Kaynaksız bir elektrik alanın Hilbert stres enerji tensörü şu şekildedir;

$T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)$

Burada $F_{\mu \nu }$ elektromanyetik alan tensörüdür.

Skalar alan

Skalar alan $\phi$ için Klein-Gordon denklemini sağlayan stres enerji tensörü şu şekildedir;

$T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta })\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi .$

Stres enerjisinin değişken tanımları

Yerçekimsel olmayan stres enerjisinin eş olmayan birçok tanımı vardır:

Hilbert stress enerjisi tensörü

İşlevsel türev olarak tanımlanmıştır;

$T^{\mu \nu }={\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g_{\mu \nu }}}=2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g_{\mu \nu }}}+g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }.$

Burada ${\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }$ eylemin Lagrangian yoğunluğunun yerçekimsel olmayan kısmıdır. Simetrik ve değişmez ölçektedir.

Standart stres enerjisi tensörü

Noethern teoremine göre uzay ve zaman içinde öteleme ile ilişkili korunmuş bir akım vardır. Buna standart stres enerjisi tensörü denir. Genel olarak, simetrik değildir ve eğer elimizde bir ölçü teoremi varsa, bu ölçü sabiti olmayabilir çünkü uzaya bağlı ölçü dönüşümleri mekansal ötelemelerle değişmeyebilir.

Genel görelilikte, ötelemeler koordinat sistemine göredir ve bu yüzden eşdeğişkin olarak dönüşmez.

Belinfante-Rosenfeld stres enerjisi tensörü

Esas açısal momentumda ya da fırılın varlığında, standart Noether stres enerji tensörü simetrik değildir. Belifante-Rosenfeld stres enerji tensörü standar stres enerji tensörü ve fırıl akımı tarafından oluşturulmuştur ve bu durumda hem simetrik hem de korunmuştur. Genel görelilikte, bu modifiye edilmiş tensör Hilbert stres enerji tensörü ile uyuşmaktadır.

Yerçekimsel stres enerjisi

Yerçekimsel stres enerjisinin eşdeğerlik prensibine göre seçilmiş bir çerçevede seçilmiş bir nokta her zaman lokal olarak kaybolacaktır. Bu nedenle, yerçekimsel stres enerjisi sıfırdan farklı bir tensör olarak tanımlanamaz, bunun yerine pseudotensör kullanmak zorundayız.

Genel görelilikte, yerçekimsel stres enerji-momentum pseudotensörünün birçok olası farklı tanımı mevcuttur. Buna Einstein pseudotensörü ve Landau-Lifshıtz pseudotensörü de dahildir. Landau-Liftshitz pseudotensörü düzgün bir koordinat sistemi seçildiği takdirde uzay zamandaki herhangi bir olayda sıfıra indirgenebilir.