Süperfaktöriyel

Süperfaktöriyel, sembolü ‼ olan özel tanımlı bir matematiksel fonksiyondur. Matematikte, süperfaktöriyelin birden fazla tanımı vardır.

Neil Sloane ve Simon Plouffe'un tanımı

Neil Sloane ve Simon Plouffe tarafından The Encyclopedia of Integer Sequences (Academic Press, 1995)’de verilen tanıma göre, $n$ bu sayıdan küçük veya ona eşit tam sayıların faktöriyellerinin çarpımı olmak üzere bir doğal sayının üst faktöriyeli olarak tanımlanır:

\mathrm {sf} (n)\equiv \prod _{k=1}^{n}{k!}=1\cdot {2!}\cdot {3!}\cdots {(n-1)!}\cdot {n!}.

Bu şekilde tanımlanan üst faktöriyeller, OEIS 16 Temmuz 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.'in A000178 dizisini temsil eder.

Eşdeğer olarak, süper faktöriyel Vandermonde matrisinin determinantı olan aşağıdaki formülle de verilir:

\mathrm {sf} (n)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(j-i),

Bu süper faktöriyeller dizisi ( $n=0$ ) aşağıdaki gibi başlar:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, ...

Karmaşık sayılar için Neil Sloane ve Simon Plouffe'un tanımına göre üst faktöriyelin genelleştirilmesi, Barnes G fonksiyonu ile temsil edilir, çünkü herhangi bir tam sayı $n$ için,

\mathrm {sf} (n)=G(n+2)

'dir.

Clifford A. Pickover'ın tanımı

Tetrasyon işlemine dayanan bir başka süper faktöriyel tanımı, 1995 yılında Clifford A. Pickover tarafından Keys to Infinity adlı kitabında verilen tanımdır:

n\$\equiv {\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!{\text{ kere}}\end{matrix}},

veya

n\$=n![4]n!,

burada $[4]$ notasyonu tetrasyon operatörünü gösterir veya Knuth yukarı ok gösterimini kullanarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir,

n\$=(n!)\uparrow \uparrow (n!).

Bu süper faktöriyeller dizisi şöyle başlar:

1\$=1;

2\$=2^{2}=4;

3\$=6[4]6={^{6}}6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}};

dikkat edilmesi gereken yer:

a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}

'dir.

Daha fazla detay

6‼=3!×2!=(1×2×3)×(1×2)=1²×2²×3=1×4×3=12'dir. Bu denkleme göre asal sayıların süperfaktöriyeli alındığında, şu şekilde bir denklem oluşur:
P‼=P!×1!=P!×1=P! fakat 6‼, 1! ve 6!'in çarpımı olarak bulunmaz. Çünkü burada 1 ve kendisinden başka çarpanlarının faktöriyelinin çarpımı kuralı vardır.
12 için 1 ve kendisi dışındaki çarpanları 2, 3, 4 ve 6'dır. Bu nedenle ${\sqrt {(2!\times 4!)\times (3!\times 6!)}}$ şeklinde bulunabilir.
18 için 2, 3, 6, 9 olduğundan Karekök (2 Faktöriyel çarpı 6 Faktöriyel) çarpı (3 Faktöriyel çarpı 9 faktöriyel) yani ${\sqrt {(2!\times 6!)\times (3!\times 9!)}}$ şeklinde bulunur.
28 için Karekök (2 Faktöriyel çarpı 7 Faktöriyel) çarpı (4 Faktöriyel çarpı 14 Faktöriyel) yani ${\sqrt {(2!\times 7!)\times (4!\times 14!)}}$ şeklinde bulunur.
9‼ ise $(3!)^{2}$ şeklinde bulunur. Çünkü 9, 3'ün karesidir (3×3=9)