Medyant (matematik)

Matematikte, genellikle dört pozitif tam sayıdan oluşan iki bayağı kesirin medyantı,

{\frac {a}{c}}\quad

ve

\quad {\frac {b}{d}}\quad

için

\quad {\frac {a+b}{c+d}}

olarak tanımlanır.

Yani, medyantın payı ve paydası, verilen kesirlerin sırasıyla paylarının ve paydalarının toplamıdır. Kesirlerde toplama işlemini öğrenmenin ilk aşamalarında yaygın bir hata olduğu için buna bazen acemi toplamı (freshman sum) da denir.

Teknik olarak bu, rasyonel sayıların kesirlerin denklik sınıfları olduğu perspektifini önsel olarak (a priori) göz ardı ederek, uygun tam sayıların sıralı ikilileri olarak kabul edilen geçerli kesirler (sıfır olmayan payda) üzerinde bir ikili işlemdir. Örneğin, 1/1 ve 1/2 kesirlerinin medyantı 2/3'tür. Ancak, 1/1 kesri yerine aynı 1 rasyonel sayısını ifade eden denk kesir 2/2 kullanılırsa, 2/2 ve 1/2 kesirlerinin medyantı 3/4 olur. Rasyonel sayılarla daha güçlü bir bağlantı kurmak için, kesirlerin en sade haline getirilmesi, böylece ilgili denklik sınıflarından benzersiz temsilcilerin seçilmesi gerekebilir.

Aslında medyantlar, sürekli kesirlerin ve özellikle Farey kesirlerinin incelenmesinde sıklıkla karşımıza çıkar. n-inci Farey dizisi F_n, b ≤ n koşulunu sağlayan sadeleştirilmiş a/b (aralarında asal a, b ile) kesirlerinin (büyüklüklerine göre sıralanmış) dizisi olarak tanımlanır. Eğer a/c < b/d kesirleri F_n'nin bir segmentinde bitişik (komşu) kesirlerse, yukarıda belirtilen $bc-ad=1$ determinant bağıntısı genellikle geçerlidir ve bu nedenle medyant, (a/c, b/d) aralığındaki en basit kesirdir; bu, en küçük paydaya sahip kesir olması anlamındadır. Böylece medyant, (ilk olarak) (c + d)-inci Farey dizisinde görünecek ve herhangi bir Farey dizisinde a/c ile b/d arasına eklenen "bir sonraki" kesir olacaktır. Bu, F_n Farey dizilerinin artan n ile ardışık olarak nasıl oluşturulduğunun kuralını verir.

Stern–Brocot ağacı, basit bir algoritmaya göre sadece yinelemeli medyant hesaplamasıyla elde edilen, en sade halindeki tüm pozitif rasyonel sayıların medyantlar aracılığıyla bir numaralandırmasını sağlar.

Özellikler

Medyant eşitsizliği: Medyantın önemli bir özelliği (adını da buradan alır), medyantı olduğu iki kesrin kesinlikle arasında yer almasıdır: Eğer $a/c<b/d$ ve $c\cdot d>0$ ise, o zaman ${\frac {a}{c}}<{\frac {a+b}{c+d}}<{\frac {b}{d}}$ olur. Bu özellik şu iki bağıntıdan elde edilir: ${\frac {a+b}{c+d}}-{\frac {a}{c}}={{bc-ad} \over {c(c+d)}}={d \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right)$ ve ${\frac {b}{d}}-{\frac {a+b}{c+d}}={{bc-ad} \over {d(c+d)}}={c \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right).$
Componendo ve Dividendo Teoremleri: Eğer $a/c=b/d$ ve $c\neq 0,\ d\neq 0$ ise, o zaman^[1] ${\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}={\frac {a+b}{c+d}}$

Componendo:^[1]

{\frac {a+c}{c}}={\frac {b+d}{d}}

Dividendo:^[1]

{\frac {a-c}{c}}={\frac {b-d}{d}}

a/c ve b/d kesir çiftinin $bc-ad=1$ determinant bağıntısını sağladığını varsayalım. O zaman medyant, (a/c, b/d) aralığındaki en basit kesir olma, yani en küçük paydaya sahip kesir olma özelliğini taşır. Daha kesin bir ifadeyle, pozitif paydalı $a'/c'$ kesri (kesin olarak) a/c ve b/d arasında yer alıyorsa, payı ve paydası iki pozitif reel (aslında rasyonel) sayı $\lambda _{1},\,\lambda _{2}$ ile $a'=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b$ ve $c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d$ şeklinde yazılabilir. $\lambda _{i}$ 'lerin neden pozitif olması gerektiğini görmek için ${\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}-{\frac {a}{c}}=\lambda _{2}{{bc-ad} \over {c(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}$ ve ${\frac {b}{d}}-{\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}=\lambda _{1}{{bc-ad} \over {d(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}$ ifadelerinin pozitif olması gerektiğine dikkat edin. $bc-ad=1\,$ determinant bağıntısı, $a'=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b$ $c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d$ doğrusal denklem sistemini $\lambda _{1},\lambda _{2}$ için çözerken hem $\lambda _{1}$ hem de $\lambda _{2}$ 'nin tam sayı olması gerektiğini ima eder. Bu nedenle, $c'\geq c+d$ olur.
Tersi de doğrudur: a/c < b/d sadeleştirilmiş kesir (en sade haldeki) çiftinin, (a/c, b/d) aralığında yer alan en küçük paydaya sahip sadeleştirilmiş kesrin bu iki kesrin medyantına eşit olması özelliğine sahip olduğunu varsayalım. O zaman $bc - ad = 1$ determinant bağıntısı geçerlidir. Bu gerçek, örneğin; köşeleri tam sayı koordinatlarına sahip düzlemdeki bir üçgenin alanını, üçgenin (kesinlikle) içindeki kafes noktalarının sayısı v_iç ve üçgenin sınırındaki kafes noktalarının sayısı v_sınır cinsinden ifade eden Pick teoremi yardımıyla çıkarılabilir. Üç köşesi v₁ = (0, 0), v₂ = (a, c), v₃ = (b, d) olan $\Delta (v_{1},v_{2},v_{3})$ üçgenini düşünün. Alanı şuna eşittir: ${\text{alan}}(\Delta )={{bc-ad} \over 2}\,.$ Üçgenin içindeki bir $p=(p_{1},p_{2})$ noktası şu şekilde parametrize edilebilir: $p_{1}=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b,\;p_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d,$ burada $\lambda _{1}\geq 0,\,\lambda _{2}\geq 0,\,\lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1.$ Pick formülü ${\text{alan}}(\Delta )=v_{\mathrm {ic} }+{v_{\mathrm {sinir} } \over 2}-1$ şimdi şunu ima eder: Eğer $bc - ad > 1$ ise (ki o zaman üçgenin alanı $\geq 1$ olur), üçgenin içinde üç köşeden farklı bir $q = (q 1, q 2)$ kafes noktası bulunmalıdır. Karşılık gelen q₁/q₂ kesri, verilen (varsayım gereği sadeleştirilmiş) kesirlerin (kesinlikle) arasında yer alır ve $\lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1$ olduğu için $q_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d\leq \max(c,d)<c+d$ paydasına sahiptir.
İlgili olarak, eğer p/q ve r/s, birim aralık üzerinde |ps − rq| = 1 olacak şekilde sadeleştirilmiş kesirlerse (böylece bunlar bir Farey dizisi satırının bitişik elemanlarıdır), o zaman

$?\left({\frac {p+r}{q+s}}\right)={\frac {1}{2}}\left(?\left({\frac {p}{q}}\right)+{}?\left({\frac {r}{s}}\right)\right)$ olur; burada $?$ , Minkowski'nin soru işareti fonksiyonudur.

Medyantların grafiksel olarak belirlenmesi

İki rasyonel sayının medyantının grafiksel olarak belirlenmesi. Mavi ve kırmızı parçaların eğimleri iki rasyonel sayıdır; yeşil parçanın eğimi ise bunların medyantıdır.

Pozitif bir rasyonel sayı, $a,b$ 'nin pozitif doğal sayılar olduğu $a/b$ biçimindeki sayıdır; yani $a,b\in \mathbb {N} ^{+}$ . Bu nedenle pozitif rasyonel sayılar kümesi $\mathbb {Q} ^{+}$ , $\mathbb {N} ^{+}$ 'ın kendisiyle olan Kartezyen çarpımıdır; yani $\mathbb {Q} ^{+}=(\mathbb {N} ^{+})^{2}$ . Koordinatları $(b,a)$ olan bir nokta $a/b$ rasyonel sayısını temsil eder ve koordinat başlangıç noktasını (orijini) bu noktaya bağlayan doğru parçasının eğimi $a/b$ 'dir. $a,b$ 'nin aralarında asal olması gerekmediğinden, $(b,a)$ noktası tek bir rasyonel sayıyı temsil eder, ancak bir rasyonel sayı birden fazla nokta tarafından temsil edilir; örneğin $(4,2),(60,30),(48,24)$ noktalarının hepsi $1/2$ rasyonel sayısının temsilleridir. Bu, rasyonel sayıların biçimsel tanımında yapılan küçük bir değişikliktir; onları pozitif değerlerle sınırlar ve $(b,a)$ sıralı ikilisindeki terimlerin sırasını değiştirerek parça eğiminin rasyonel sayıya eşit olmasını sağlar.

$a,b,c,d\in \mathbb {N} ^{+}$ olmak üzere iki nokta $(b,a)\neq (d,c)$ , (muhtemelen denk) $a/b$ ve $c/d$ rasyonel sayılarının iki temsilidir. Koordinat başlangıç noktasını $(b,a)$ ve $(d,c)$ noktalarına bağlayan doğru parçaları, bir paralelkenarın iki komşu kenarını oluşturur.

Paralelkenarın koordinat başlangıç noktasına zıt olan köşesi, $a/b$ ve $c/d$ 'nin medyantı olan $(b+d,a+c)$ noktasıdır. Paralelkenarın alanı $bc-ad$ 'dir; bu aynı zamanda $\langle b,a\rangle$ ve $\langle d,c\rangle$ vektörlerinin çapraz çarpımının büyüklüğüdür. Rasyonel sayı denkliğinin biçimsel tanımından, eğer $a/b$ ve $c/d$ denk ise alanın sıfır olduğu sonucu çıkar. Bu durumda, eğimleri eşit olduğu için bir doğru parçası diğeriyle çakışır. Stern–Brocot ağacındaki iki ardışık rasyonel sayının oluşturduğu paralelkenarın alanı her zaman 1'dir.^[2]

Genelleştirme

Medyant kavramı n kesre genelleştirilebilir ve genelleştirilmiş bir medyant eşitsizliği geçerlidir;^[3] bu gerçeğin ilk kez Cauchy tarafından fark edildiği görülmektedir. Daha kesin olarak, $a_{1}/b_{1},\ldots ,a_{n}/b_{n}$ şeklindeki n kesrin ağırlıklı medyantı $m_{w}$ , ${\frac {\sum _{i}w_{i}a_{i}}{\sum _{i}w_{i}b_{i}}}$ ile tanımlanır ( $w_{i}>0$ ile). $m_{w}$ 'nin, $a_{i}/b_{i}$ arasındaki en küçük ve en büyük kesir arasında bir yerde olduğu gösterilebilir.