Birim aralık

Gerçel doğrunun bir alt kümesi olarak birim aralık

Matematikte birim aralık, 0'a eşit veya büyük ve 1'e eşit veya küçük tüm gerçel sayılar kümesi, yani [0,1] kapalı aralığıdır. Genellikle $I$ (büyük harf I) ile gösterilir.

Gerçel analizdeki rolüne ek olarak birim aralık, topoloji alanında homotopi teorisini incelemek için de kullanılır.

Literatürde "birim aralık" terimi bazen 0'dan 1'e kadar olan aralığın alabileceği diğer şekiller için de kullanılır: (0,1], [0,1) ve (0,1). Ancak $I$ gösterimi en yaygın olarak [0,1] kapalı aralığı için ayrılmıştır.

Özellikler

Birim aralık, genişletilmiş gerçel sayı doğrusuna homeomorfik olan bir tam metrik uzaydır. Bir topolojik uzay olarak kompakt, büzülebilir (contractible), yol bağlantılı (path connected) ve yerel yol bağlantılıdır (locally connected). Hilbert küpü, birim aralığın sayılabilir çokluktaki kopyalarının topolojik çarpımı alınarak elde edilir.

Matematiksel analizde birim aralık, sınırı 0 ve 1 noktalarından oluşan bir boyutlu analitik bir manifolddur. Standart yönlendirmesi (orientability) 0'dan 1'e gider.

Birim aralık tam sıralı bir küme ve tam kafestir (complete lattice; birim aralığın her alt kümesinin bir supremumu ve bir infimumu vardır).

Kardinalite

Bir kümenin boyutu veya kardinalitesi, içerdiği elemanların sayısıdır. Birim aralık, gerçel sayılar $\mathbb {R}$ 'nin bir alt kümesidir. Ancak kümenin tamamıyla aynı boyuta sahiptir: süreklilik kardinalitesi.

Gerçel sayılar sonsuz uzunluktaki bir doğru boyunca noktaları temsil etmek için kullanılabildiğinden, bu durum, o doğrunun bir parçası olan 1 uzunluğundaki bir doğru parçasının, tüm doğruyla aynı sayıda noktaya sahip olduğu anlamına gelir. Dahası, alanı 1 olan bir kareyle, hacmi 1 olan bir küple ve hatta sınırsız n-boyutlu Öklid uzayı $\mathbb {R} ^{n}$ ile aynı sayıda noktaya sahiptir.

Bahsedilen tüm kümelerdeki elemanların (gerçel sayılar veya noktalar) sayısı, doğal sayıların sayısından kesinlikle daha büyük olduğu için sayılamazdır.

Yönlendirme

Birim aralık bir eğridir. (0,1) açık aralığı pozitif gerçel sayıların bir alt kümesidir ve yönlendirmeyi onlardan alır. Aralığa 1'den girildiğinde yönlendirme tersine döner; örneğin x aralık içindeyken doğal logaritmayı tanımlamak için kullanılan $\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}$ integralinde olduğu gibi. Bu durum, bu tür x değerlerinin logaritması için negatif değerler verir.

Aslında bu integral, oradaki ters yönlendirme nedeniyle birim aralık üzerinde negatif alan veren bir işaretli alan (signed area) olarak değerlendirilir.

Genellemeler

Pozitif ve negatif birimlerle sınırlandırılmış iki uzunluğundaki [-1,1] aralığı, sinüs ve kosinüs trigonometrik fonksiyonları ile tanh hiperbolik fonksiyonunun görüntü kümesi (aralığı) gibi yerlerde sıkça karşımıza çıkar. Bu aralık, ters fonksiyonların tanım kümesi için kullanılabilir. Örneğin θ, [−π/2, π/2] ile sınırlandırıldığında $\sin \theta$ bu aralıkta yer alır ve arksinüs burada tanımlanır.

Bazen "birim aralık" terimi, matematiğin çeşitli dallarında, [0,1] aralığının homotopi teorisinde oynadığı role benzer bir rol oynayan nesneleri ifade etmek için kullanılır. Örneğin, sadak (quiver) teorisinde, birim aralığın, köşe kümesi $\{0,1\}$ olan ve kaynağı 0, hedefi 1 olan tek bir e kenarı içeren grafiktir. Daha sonra, sadak homomorfizmaları arasında, sürekli dönüşümler arasındaki homotopi kavramına benzer bir homotopi kavramı tanımlanabilir.

Bulanık mantık

Mantıkta, [0,1] birim aralığı, Boole alanı {0,1}'in bir genellemesi olarak yorumlanabilir; bu durumda sadece 0 veya 1 değerlerini almak yerine, 0 ve 1 dahil olmak üzere aradaki herhangi bir değer varsayılabilir.

Cebirsel olarak, değilleme (DEĞİL), $1 - x$ ile değiştirilir; tümel evetleme (VE), çarpma ( $xy$ ) ile değiştirilir; ve tikel evetleme (VEYA), De Morgan yasaları uyarınca $1 - (1 - x)(1 - y)$ olarak tanımlanır.

Bu değerlerin mantıksal doğruluk değerleri olarak yorumlanması, bulanık mantık ve olasılıksal mantık için temel oluşturan çok-değerli mantık sistemini ortaya çıkarır. Bu yorumlamalarda, bir değer gerçeğin "derecesi" olarak yorumlanır – bir önermenin ne ölçüde doğru olduğu veya önermenin doğru olma olasılığı.

Ayrıca bakınız

Birim kare, küp, çember, hiperbol ve küre
Birim dürtü
Birim vektör

Kaynakça

Robert G. Bartle, 1964, The Elements of Real Analysis, John Wiley & Sons.