Laguerre polinomları - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 İlk birkaç polinom
  • 2 Tümevarımsal tanım
  • 3 Genelleştirilmiş Laguerre polinomları
    • 3.1 Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının özellikleri ve açık örnek
  • 4 Ayrıca bakınız
  • 5 Notlar
  • 6 Kaynakça

Laguerre polinomları

  • Català
  • Čeština
  • Deutsch
  • English
  • Español
  • Suomi
  • Français
  • Bahasa Indonesia
  • İtaliano
  • 日本語
  • 한국어
  • Lietuvių
  • Македонски
  • Nederlands
  • Polski
  • Português
  • Română
  • Русский
  • Српски / srpski
  • Svenska
  • Українська
  • Oʻzbekcha / ўзбекча
  • 中文
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Wikimedia Commons
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Laguerre polinomu L n(x)'in karmaşık renk grafiği; n, -1'in 9'a bölümü ve x, -2-2i'den 2+2i'ye kadar 4'ün kuvveti z olmak üzere
Laguerre polinomu L n(x)'in karmaşık renk grafiği; n, -1'in 9'a bölümü ve x, -2-2i'den 2+2i'ye kadar 4'ün kuvveti z olmak üzere

Laguerre polinomları, matematikte adını Edmond Laguerre'den (1834 – 1886) almıştır. Kanonik (benzer) adlandırma Laguerre denklemi'dir:

x y ″ + ( 1 − x ) y ′ + n y = 0 {\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,} {\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,}

İkinci mertebeden bir lineer diferansiyel denklem'dir. Bu denklemin tekil olmayan çözümleri yalnızca n negatif olmayan tam sayı ise vardır. Laguerre polinomlarının sayısal integral hesaplaması için Gaussian dördünü kullanılan formudur

∫ 0 ∞ f ( x ) e − x d x . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.} {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.}

L0, L1, ..., şeklindeki bu polinomları, tanımlayabilmek için Rodrigues formülü tarafından polinomal dizi kullanılmalıdır

L n ( x ) = e x n ! d n d x n ( e − x x n ) . {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right).} {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right).}

Diğer önemli her bir iç çarpım ortogonal polinomlar tarafından verilir.

⟨ f , g ⟩ = ∫ 0 ∞ f ( x ) g ( x ) e − x d x . {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.} {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}

Laguerre polinomlarının dizisi bir Sheffer dizisi'dir.

Laguerre polinomları kuantum mekaniği'nde tek-elektronlu atomun (Hidrojen atomu) Schrödinger denklemi'nin radyal kısmının çözümlemesinde ortaya çıkar.

Laguerre polinomları için Fizikte sıklıkla kullanılan bir tanım, n!, gibi bir faktör tarafından burada kullanılan tanımdır.

İlk birkaç polinom

[değiştir | kaynağı değiştir]

İlk birkaç Laguerre polinomları:

n L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)\,} {\displaystyle L_{n}(x)\,}
0 1 {\displaystyle 1\,} {\displaystyle 1\,}
1 − x + 1 {\displaystyle -x+1\,} {\displaystyle -x+1\,}
2 1 2 ( x 2 − 4 x + 2 ) {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,} {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,}
3 1 6 ( − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6 ) {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,} {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,}
4 1 24 ( x 4 − 16 x 3 + 72 x 2 − 96 x + 24 ) {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,} {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,}
5 1 120 ( − x 5 + 25 x 4 − 200 x 3 + 600 x 2 − 600 x + 120 ) {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,} {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,}
6 1 720 ( x 6 − 36 x 5 + 450 x 4 − 2400 x 3 + 5400 x 2 − 4320 x + 720 ) {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,} {\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,}
ilk altı Laguerre polinomu.

Tümevarımsal tanım

[değiştir | kaynağı değiştir]

Tümevarımsal olarak Laguerre polinomları'nın tanımını yapabiliriz, tanımdaki ilk iki polinom:

L 0 ( x ) = 1 {\displaystyle L_{0}(x)=1\,} {\displaystyle L_{0}(x)=1\,}
L 1 ( x ) = 1 − x {\displaystyle L_{1}(x)=1-x\,} {\displaystyle L_{1}(x)=1-x\,}

ve izleyen polinomlar için özyineleme ile k ≥ 1 'i kullanabiliriz:

L k + 1 ( x ) = 1 k + 1 ( ( 2 k + 1 − x ) L k ( x ) − k L k − 1 ( x ) ) . {\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}\left((2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)\right).} {\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}\left((2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)\right).}

Genelleştirilmiş Laguerre polinomları

[değiştir | kaynağı değiştir]

ortogonal özellikli durumda üstel dağılım rastgele değişken ile olasılık ağırlık fonksiyonu ise; X ile eşdeğer gösterim

f ( x ) = { e − x if   x > 0 , 0 if   x < 0 , {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}e^{-x}&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.} {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}e^{-x}&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.}

buradan

E [ L n ( X ) L m ( X ) ] = 0   whenever   n ≠ m . {\displaystyle E\left[L_{n}(X)L_{m}(X)\right]=0\ {\mbox{whenever}}\ n\neq m.} {\displaystyle E\left[L_{n}(X)L_{m}(X)\right]=0\ {\mbox{whenever}}\ n\neq m.}

üstel dağılım sadece gamma dağılımı değildir. önemli Bir polinomal dizi orthogonal olasılık ağırlık fonksiyonunun gama dağılımı için,α > −1,

f ( x ) = { x α e − x / Γ ( 1 + α ) if   x > 0 , 0 if   x < 0 , {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha }e^{-x}/\Gamma (1+\alpha )&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.} {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha }e^{-x}/\Gamma (1+\alpha )&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.}

('Genelleştirilmiş Laguerre polinomu için Rodrigues tanımı ile verilen gama fonksiyonu içeren denklemi görebiliriz):

L n ( α ) ( x ) = x − α e x n ! d n d x n ( e − x x n + α ) . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right).} {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right).}

Bazen uyarlanmış Laguerre polinomları olarak adlandırılır;genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının α = 0 durumunda düzenlenmiş polinomları Basit Laguerre polinomları:

L n ( 0 ) ( x ) = L n ( x ) . {\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).} {\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}

Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının özellikleri ve açık örnek

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • melez hipergeometrik fonksiyon tarafından tanımlanan Laguerre fonksiyonları ve Kummer dönüşümü
    • L n ( α ) ( x ) := ( n + α n ) M ( − n , α + 1 , x ) = ( n + α n ) ∑ i = 0 ( − 1 ) i ( n i ) ( α + i i ) x i {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={n+\alpha \choose n}\sum _{i=0}(-1)^{i}{\frac {n \choose i}{\alpha +i \choose i}}x^{i}\,} {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={n+\alpha \choose n}\sum _{i=0}(-1)^{i}{\frac {n \choose i}{\alpha +i \choose i}}x^{i}\,} = e x ⋅ ( n + α n ) M ( α + n + 1 , α + 1 , − x ) {\displaystyle =e^{x}\cdot {n+\alpha \choose n}M(\alpha +n+1,\alpha +1,-x)} {\displaystyle =e^{x}\cdot {n+\alpha \choose n}M(\alpha +n+1,\alpha +1,-x)} = e x sin ⁡ ( n π ) sin ⁡ ( ( n + α ) π ) L − α − n − 1 ( α ) ( − x ) {\displaystyle ={\frac {e^{x}\sin(n\pi )}{\sin((n+\alpha )\pi )}}L_{-\alpha -n-1}^{(\alpha )}(-x)} {\displaystyle ={\frac {e^{x}\sin(n\pi )}{\sin((n+\alpha )\pi )}}L_{-\alpha -n-1}^{(\alpha )}(-x)} = e x ⋅ ∑ i = 0 ( − 1 ) i ( α + n + i n ) x i i ! . {\displaystyle =e^{x}\cdot \sum _{i=0}(-1)^{i}{\alpha +n+i \choose n}{\frac {x^{i}}{i!}}.} {\displaystyle =e^{x}\cdot \sum _{i=0}(-1)^{i}{\alpha +n+i \choose n}{\frac {x^{i}}{i!}}.}
    • Eğer n {\displaystyle n} {\displaystyle n} bir tam sayı ise the function reduces to bir polinomun derecesi n {\displaystyle n} {\displaystyle n}. alternaif bir ifade L n ( α ) ( x ) = ( − 1 ) n n ! U ( − n , α + 1 , x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}U(-n,\alpha +1,x)} {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}U(-n,\alpha +1,x)} içindeki Kummer fonksiyonu'nun ikinci türü terimleridir.
  • Genelleştirilmiş Laguerre polinomunun derecesi n {\displaystyle n} {\displaystyle n} ise L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n + α n − i ) x i i ! {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}} {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}} (diferansiyasyon için Leibniz teoremi tarafından uygulanan Rodrigues' formülü ile eşdeğer eldesi.)
    • İlk birkaç genelleştirilmiş Laguerre polinomları:
L 0 ( α ) ( x ) = 1 {\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1} {\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1}
L 1 ( α ) ( x ) = − x + α + 1 {\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1} {\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1}
L 2 ( α ) ( x ) = x 2 2 − ( α + 2 ) x + ( α + 2 ) ( α + 1 ) 2 {\displaystyle L_{2}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}} {\displaystyle L_{2}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}}
L 3 ( α ) ( x ) = − x 3 6 + ( α + 3 ) x 2 2 − ( α + 2 ) ( α + 3 ) x 2 + ( α + 1 ) ( α + 2 ) ( α + 3 ) 6 {\displaystyle L_{3}^{(\alpha )}(x)={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}} {\displaystyle L_{3}^{(\alpha )}(x)={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}}
    • ilk terimleri is (−1)n/n! katsayı'sıdır;
    • L n ( α ) ( 0 ) = ( n + α n ) ≈ n α Γ ( α + 1 ) ; {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}\approx {\frac {n^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}};} {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}\approx {\frac {n^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}};} merkezindeki değer sabit terim'dir.
  • hesaplamada kullanılan genelleştirilmiş Laguerre polinomları için açık formülü Horner metodu sağlar, bununla beraber, algoritma sonuçları kararlı' değildir.

izlenen kararlı metod: 

  function LaguerreL(n, alpha, x) {
    L1:= 0; LaguerreL:= 1;
    for i:= 1 to n {
        L0:= L1; L1:= LaguerreL;
        LaguerreL:= ((2* i- 1+ alpha- x)* L1- (i- 1+ alpha)* L0)/ i;}
  return LaguerreL;
 }
  • Ln(α) ile n gerçel,kökler kesinlikle pozitif (burada ( ( − 1 ) n − i L n − i ( α ) ) i = 0 n {\displaystyle \left((-1)^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha )}\right)_{i=0}^{n}} {\displaystyle \left((-1)^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha )}\right)_{i=0}^{n}} bir Sturm zinciri'dir), bütün ( 0 , n + α + ( n − 1 ) n + α ] {\displaystyle (0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}]} {\displaystyle (0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}]} aralık'ı içindedir.
  • n {\displaystyle n} {\displaystyle n}'in büyük değerleri için polinomun asimptotik davranışı α {\displaystyle \alpha } {\displaystyle \alpha } sabit ve x > 0 {\displaystyle x>0} {\displaystyle x>0}, verilirse,
L n ( α ) ( x ) ≈ n α 2 − 1 4 π e x 2 x α 2 + 1 4 cos ⁡ ( 2 x ( n + α + 1 2 ) − π 2 ( α + 1 2 ) ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)\approx {\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\cos \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)\right)} {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)\approx {\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\cos \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)\right)}, and
L n ( α ) ( − x ) ≈ n α 2 − 1 4 2 π e − x 2 x α 2 + 1 4 exp ⁡ ( 2 x ( n + α + 1 2 ) ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(-x)\approx {\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-{\frac {x}{2}}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\exp \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}\right)} {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(-x)\approx {\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-{\frac {x}{2}}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\exp \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}\right)}..[1]

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Matematiksel fonksiyonların listesi
  • Ortogonal polinomlar
  • Rodrigues formülü
  • Angelescu polinomları
  • Bessel polinomları
  • Denisyuk polinomları
  • Enine mod; bir dalga kılavuzu veya lazer ışını profili içindeki alan yoğunluğunu tanımlamak için Laguerre polinomlarının önemli bir uygulaması.

Notlar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  1. ^ Abramowitz, p. 506, 13.3.8 29 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22 19 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
  • B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
  • Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial 25 Şubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.", From MathWorld – A Wolfram Web Resource.
  • George Arfken ve Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6. 
  • S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.
Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin
  • BNE: XX5170103
  • BNF: cb12390508z (data)
  • GND: 4293931-8
  • LCCN: sh85073969
  • NLI: 987007550692005171
  • SUDOC: 03299155X
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Laguerre_polinomları&oldid=36409568" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Polinomlar
  • Özel hipergeometrik fonksiyonlar
Gizli kategoriler:
  • Webarşiv şablonu wayback bağlantıları
  • BNE tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • BNF tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • GND tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • LCCN tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • NLI tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • SUDOC tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • ISBN sihirli bağlantısını kullanan sayfalar
  • Sayfa en son 21.24, 17 Kasım 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Laguerre polinomları
Konu ekle