Kaldırılabilir tekillik

Karmaşık analizde, bir kaldırılabilir tekillik veya daha düzgün bir söylemle, bir holomorf fonksiyonun kaldırılabilir tekilliği, fonksiyonun görünüşte holomorf olmadığı; ancak daha yakın bir incelemeden sonra fonksiyonun tanım kümesinin bu tekilliği de içerecek şekilde genişletilebileceği (fonksiyonun holomorf kalacağı şekilde) bir noktadır.

Mesela, z ≠ 0 için

f(z)={\frac {\sin z}{z}}

fonksiyonunun z = 0 'da tekilliği vardır. Bu tekillik, f(0) = 1 tanımlanarak kaldırılabilir. Sonuçtaki fonksiyon bir sürekli (holomorf) fonksiyondur.

Formel olarak, eğer U, karmaşık düzlem C 'nin açık bir kümesi, a, U 'nun bir noktası ve f : U - {a} → C holomorf ise; holomorf bir g : U → C fonksiyonu f 'ye U - {a} üzerinde eşitse, o zaman a 'ya f nin kaldırılabilir tekilliği adı verilir. Böyle bir g varsa, "f, a üzerine holomorf bir şekilde genişletilebilir" denir.

Riemann teoremi

Kaldırılabilir tekillikler üzerine Riemann teoremi bir tekilliğin ne zaman kaldırılabileceğini ifade eder.

Teorem. Aşağıdaki ifadeler birbirine denktir:

i) f, a üzerine holomorf bir şekilde genişletilebilir.

ii) f, a üzerine sürekli bir şekilde genişletilebilir.

iii) Üzerinde f'nin sınırlı olduğu, a 'nın bir komşuluğu vardır.

iv) lim_{z → a}(z - a ) f(z) = 0.

i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) çıkarımları barizdir. iv) ⇒ i) 'i kanıtlamak için, hatırlamamız gereken bir fonksiyonun a noktasında holomorf olmasının a noktasında analitik olmasına denk olduğudur; yani bir kuvvet serisi temsiline sahip olmasıdır.

h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\\\end{cases}}

tanımını yapalım. O zaman,

h(z)-h(a)=(z-a)(z-a)f(z),\,

olur. Burada, varsayımla (z - a)f(z) fonksiyonu D üzerinde sürekli bir fonksiyon olarak görülebilir. Başka bir deyişle, h, D üzerinde holomorftur ve a etrafında Taylor serisine sahiptir:

h(z)=a_{2}(z-a)^{2}+a_{3}(z-a)^{3}+\cdots .

Bu yüzden,

g(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}

f 'nin a üzerine holomorf genişlemesidir. Bu da iddiayı kanıtlar.

Tekilliklerin diğer çeşitleri

Gerçel değişkenli fonksiyonların aksine, holomorf fonksiyonlar korunmalı tekillikleri tamamen sınıflandırılabildiği için yeteri kadar katıdır. Holomorf bir fonksiyonun tekilliği ya aslında tekillik değildir; yani kaldırılabilir tekilliktir ya da aşağıdaki iki çeşitten biridir:

Riemann teoreminin ışığında, kaldırılabilir olmayan bir tekillik verildiğinde, lim_{z → a}(z - a )^m+1f(z) = 0 yapacak bir m doğal sayısının varlığı sorgulanabilir. Böyleyse, a 'ya f 'nin bir kutbu denir ve böyle en küçük bir m 'ye a 'nın mertebesi denir. Böylece, kaldırılabilir tekillikler kesinlikle mertebesi 0 olan kutuplardır. Holomorf bir fonksiyon kutuplarının yakınında düzgün bir şekilde patlama yapar.

f 'nin a noktasındaki korunmalı bir tekilliği kaldırılabilir veya kutup değilse, o zaman bu nokta esaslı tekilliktir. Her açık delikli U - {a} kümesini, f 'nin karmaşık düzlemin açık ve yoğun bir altkümesine gönderdiği de gösterilebilir.

Ayrıca bakınız