Sınırlı fonksiyon

Matematikte, görüntü kümesi sınırlı olan bir fonksiyonlara sınırlı fonksiyon denir.^[1] Sınırlılık özelliği, analiz başta olmak üzere matematiğin analizle irtibatı olan hemen hemen her alanında kullanılan temel bir özelliktir.

Tanım

Bir $f$ fonksiyonu bir $X$ kümesi üzerinde tanımlıysa ve $X$ kümesi üzerinde gerçel ya da karmaşık değer alıp da pozitif bir $M$ değeri için

|f(x)|\leq M

bütün $x\in X$ için sağlanıyorsa, o zaman $f$ fonksiyonu sınırlı bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun verilen bir küme üzerindeki değerleri sıırlı bir kümede yer almıyorsa, fonksiyona sınırsız fonksiyon ya da sınırlı olmayan fonksiyon denilir.

Alttan ve üstten sınırlılık

Eğer fonksiyon gerçel değerliyse ve $f(x)\leq M$ her $x\in X$ için sağlanıyorsa, o zaman fonksiyona üstten sınırlı fonksiyon denir ve $M$ , bu fonksiyonun üst sınırı olur. Benzer bir şekilde, eğer fonksiyon gerçel değerliyse ve $f(x)\geq m$ her $x\in X$ için sağlanıyorsa, o zaman fonksiyona alttan sınırlı fonksiyon denir ve $m$ , bu fonksiyonun alt sınırı olur.

Sınırlı diziler

$X$ kümesi doğal sayılar kümesi $\mathbb {N}$ olduğunda, fonksiyon özel bir hâl alır ve gerçel ya da karmaşık değerli bir dizi olur. Bu durumda, bu fonksiyonun görüntü kümesi ile gösterimi olur ve genelde $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ ya da $\{a_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ gibi gösterimler mevcuttur. Sonuç olarak, $X$ kümesi doğal sayılar kümesi $\mathbb {N}$ olduğunda, sınırlı fonksiyona, sınırlı dizi denir ve her $n\in \mathbb {N}$ için

|a_{n}|\leq M

eşitsizliğini sağlayan bir $M$ sayısı vardır.

Sınırlılığın genelleştirilmesi

Sınırlılık görüntü kümesinin gerçel ya da karmaşık sayılar olmadığı durumlara da genelleştirilebilir. Bu tür genelleştirmelerede, bir değer kümesi $Y$ 'nin daha genel olduğu durumlarda, $f:X\rightarrow Y$ fonksiyonu için, $f(X)$ görüntü kümesinin $Y$ içinde sınırlı olması istenir. Örneğin,

$Y$ kümesi $\|\cdot \|$ normuna sahip bir normlu uzay ise,

\sup\{\|f(x)\|\;|\;x\in X\}<\infty

özelliği istenir.

$Y$ metrik uzaysa; yani, üzerinde $d$ metriği tanımlıysa, o zaman,

\operatorname {diam} (f(X))=\sup\{d(f(x),f(y))\;|\;x,y\in X\}<\infty

özelliği istenir.

Her ne kadar, bu genellemeler $X$ tannım kümesinden bağımsız verilmiş olsa da, $Y$ 'nin yukarıdaki gibi olduğu durumlarda, $X$ de daha özel bir durumda olur ve $f$ fonksiyonu genelde özel adlar alır. Örneğin, bir Banach uzayından karmaşık sayılara alınan doğrusal fonksiyonlara doğrusal fonksiyonel ya da kısaca fonksiyonel denir.

Bir $X$ kümesinden bir $S$ kümesine tanımlı bütün sınırlı fonksiyonların kümesi genelde sınrlı kelimesinin İngilizce bounded kelimesine karşılık gelmesine binâen $B(X,S)$ ile gösterilir. Eğer $S=\mathbb {C}$ ya da $S=\mathbb {R}$ ise ya da $S$ kümesinin ne olduğu içerikten açık bir şekilde anlaşılıyorsa, sadece $B(X)$ de yazılır.

Örnekler

Sinüs fonksiyonu $\sin :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ sınırlı bir fonksiyondur; çünkü, her $x\in \mathbb {R}$ için $|\sin(x)|\leq 1$ sağlanır.^[2]
$f(x)=(x^{2}-1)^{-1}$ fonksiyonu −1 ve 1 haricindeki tüm $x$ değerleri için tanımlıdır; ancak, fonksiyon sınırlı bir fonksiyon değildir. $x$ −1 ya da 1 değerine yaklaştığında, fonksiyonun değerleri kontrolsüzce büyür ve herhangi sabit bir sayıdan küçük olamaz. Yine de, bu tip fonksiyonları problemli uzak tutup daha dar tanım kümelerinde sınırlı yapmak mümkündür. Örneğin, fonksiyonu sadece $[2,\infty )$ kümesi üzerinde kısıtlarsak, o zaman, fonksiyonun değerleri ${\frac {1}{3}}$ ve $0$ değerleri arasında olacaktır ve sonuç olarak fonksiyon sınırlı olacaktır.
${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$ fonksiyonu tüm $x$ değerleri için tanımlıdır ve her $x$ için ${\textstyle |f(x)|\leq 1}$ olduğundan fonksiyon sınırlıdır. Fonksiyonun her zaman 1'den küçük olduğu paydanın nerede en küçük değeri aldığı düşünülerek elde edilebilir.
$y=\arctan(x)$ veya $x=\tan(y)$ olarak tanımlı ters tanjant fonksiyonu bütün gerçel $x$ değerleri için tanımlıdır. Bu fonksiyon, geçel sayılar üzerinde kesin artan bir fonksiyondur ve $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$ özelliği sağlanır. Bu yüzden, ters tanjant fonksiyonu sınırlı bir fonksiyondur.^[3]
Uç değer teoremi sayesinde, iki tarafından kapalı bir aralık üzerinde tanımlı her sürekli fonksiyon sınırlıdır. Bu özelliğin tıkız uzaylara da genelleştirmesi vardır. Yâni, tıkız bir metrik uzaydan bir metrik uzaya tanımlı sürekli fonksiyonlar da yine sınırlıdır.
Sabit olmayan tam fonksiyonlar Liouville teoremi sayesinde sınırlı olamazlar.