Kütleçekimsel bağlanma enerjisi

Gökada kümeleri, evrende bilinen en büyük kütleçekimsel olarak bağlı olan yapılardır.

Bir sistemin kütleçekimsel bağlanma enerjisi, sistemin kütleçekimsel olarak bağlı durumunu kaybederek birbirinden tamamen ayrılması için kendisine eklenmesi gereken minimum enerjidir. Kütleçekimsel olarak bağlı bir sistem, tamamen ayrıldıklarında parçalarının enerjilerinin toplamından daha düşük (yani daha negatif) bir kütleçekimsel potansiyel enerjiye sahiptir. Bu durum, sistemi minimum toplam potansiyel enerji ilkesine uygun olarak bir arada tutan şeydir.

Tekdüze yoğunluğa sahip bir küresel cisim için, kütleçekimsel bağlanma enerjisi U, şu formülle hesaplanır: $$U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}$$ Burada G kütleçekim sabiti, M kürenin kütlesi ve R ise yarıçapıdır.

Dünya'nın tekdüze yoğunlukta bir küre olduğunu (aslında öyle değildir, fakat kabaca bir büyüklük sırası tahmini yapmak için yeterlidir), kütlesinin M = 5,97×10²⁴ kg ve yarıçapının r = 6,37×10⁶ m olduğunu varsayarsak, o zaman U = 2,24×10³² J olur. Güneş'in bir haftada ürettiği toplam enerjiye kabaca eşittir. Bu enerji, 37,5 MJ/kg'ye denk gelir ve yüzeydeki kilogram başına potansiyel enerjinin mutlak değerinin %60'ı kadardır.

Dünya'nın gerçek yoğunluğunun derinliğe bağlı değişimi, sismik dalga sürelerinden tahmin edilir ve Adams-Williamson denklemiyle hesaplanarak PREM (Preliminary Reference Earth Model) modelinde verilir. Bunu kullanarak, Dünya'nın gerçek kütleçekimsel bağlanma enerjisinin U = 2,49×10³² J olduğunu sayısal olarak hesaplayabiliriz.

Virial teoremine göre, bir yıldızın kütleçekimsel bağlanma enerjisi hidrostatik dengeyi korumak için iç termal enerjisinin yaklaşık iki katıdır. Bir yıldızdaki gaz daha göreli hale geldikçe, hidrostatik denge için gereken kütleçekimsel bağlanma enerjisi sıfıra yaklaşır ve yıldız kararsız hale gelir. Güçlü radyasyon basıncı nedeniyle, yüksek kütleli bir yıldız durumunda bir süpernova ya da nötron yıldızı durumunda bir kara deliğe yol açabilir.

Tekdüze bir küre için türetme

Yarıçapı $R$ olan tekdüze bir kürenin kütleçekimsel bağlanma enerjisi, kürenin birbirinden art arda ayrılan küresel kabuklar halinde sonsuza doğru çekildiği hayal edilerek bulunabilir. Bu kabuklar, en dıştaki kabuktan başlayarak sırayla sonsuza çekilir ve her bir kabuğu sonsuza çekmek için gereken toplam enerji hesaplanır.

Sabit bir yoğunluk $\rho$ varsayıldığında, bir kabuk ve içindeki kürenin kütlesi şu şekildedir: $$m_{\mathrm {shell} }=4\pi r^{2}\rho \,dr$$ ve $$m_{\mathrm {interior} }={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho$$

Bir kabuğu sonsuza çekmek için gereken enerji, kütleçekimsel potansiyel enerjinin negatifidir: $$dU=-G{\frac {m_{\mathrm {shell} }m_{\mathrm {interior} }}{r}}$$

Tüm kabuklar için integral alındığında: $$U=-G\int _{0}^{R}{\frac {\left(4\pi r^{2}\rho \right)\left({\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\rho \right)}{r}}dr=-G{\frac {16}{3}}\pi ^{2}\rho ^{2}\int _{0}^{R}{r^{4}}dr=-G{\frac {16}{15}}{\pi }^{2}{\rho }^{2}R^{5}$$

Tekdüze yoğunluğa sahip nesneler için $\rho$ basitçe toplam kütlenin hacme oranına eşit olduğundan:

$$\rho ={\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}$$

Ve son olarak, bu sonucu denkleme eklediğimizde $$U=-G{\frac {16}{15}}\pi ^{2}R^{5}\left({\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\right)^{2}=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}$$

Kütleçekimsel bağlanma enerjisi $U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}$

Negatif kütle bileşeni

Birbirlerinden R uzaklığına yerleştirilmiş ve karşılıklı olarak hareket etmeyen iki cisim, R küçük olduğunda üçüncü bir cisme biraz daha zayıf bir kütleçekim kuvveti uygular. Bu, sistemin negatif kütle bileşeni olarak görülebilir ve tekdüze küresel çözümler için şuna eşittir: $$M_{\mathrm {binding} }=-{\frac {3GM^{2}}{5Rc^{2}}}$$

Örneğin, Dünya'nın şu anki boyutunda kütleçekimsel olarak bağlı bir küre olması 2,49421×10¹⁵ kg'lik bir kütleye "mâl olur" (Phobos'un kütlesinin kabaca dörtte biri - Joule cinsinden aynı değer için yukarıya bakınız). Eğer atomları keyfi olarak büyük bir hacme dağılmış olsaydı, Dünya şu anda olduğu kütleye ek olarak 2,49421×10¹⁵ kg ağırlığında olurdu (ve üçüncü bir cisim üzerindeki çekim kuvveti de buna göre daha güçlü olurdu).

Bu negatif bileşenin hiçbir zaman sistemin pozitif bileşenini aşamayacağı kolaylıkla gösterilebilir. Sistemin kütlesinden daha büyük bir negatif bağlanma enerjisi, sistemin yarıçapının aşağıdakinden daha küçük olmasını gerektirirdi: $$R\leq {\frac {3GM}{5c^{2}}}$$ Bu değer, Schwarzschild yarıçapının ${\textstyle {\frac {3}{10}}}$'undan daha küçüktür: $$R\leq {\frac {3}{10}}r_{\mathrm {s} }$$ Bu nedenle, sistem hiçbir zaman dışarıdan gözlemlenemez fakat bu, yalnızca Newtoncu bir yaklaşımdır ve genel görelilik koşullarında diğer faktörlerin de hesaba katılması gerekir.

Tekdüze olmayan küreler

Gezegenler ve yıldızlar, düşük yoğunluklu yüzeylerinden çok daha yoğun sıkıştırılmış çekirdeklerine doğru radyal yoğunluk tırmanışlarına sahiptir. Dejenere madde cisimleri (beyaz cüceler, nötron yıldızı atarcaları) radyal yoğunluk tırmanışlarına ek olarak relativistik düzeltmelere sahiptir.

Nötron yıldızı relativistik durum denklemleri, çeşitli modeller için yarıçap-kütle grafiğini içerir. Belirli bir nötron yıldızı kütlesi için en olası yarıçaplar, AP4 (en küçük yarıçap) ve MS2 (en büyük yarıçap) modelleriyle parantez içine alınmıştır. BE, gözlenen nötron yıldızının kütleçekimsel kütlesi M ile yarıçapı R olan kütleçekimsel bağlanma enerjisi kütle eşdeğerinin oranıdır, $$BE={\frac {0.60\,\beta }{1-{\frac {\beta }{2}}}}$$ $$\beta ={\frac {GM}{Rc^{2}}}.$$

Verilen mevcut değerlerle

• $G=6.6743\times 10^{-11}\,\mathrm {m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}$
• $c^{2}=8.98755\times 10^{16}\,\mathrm {m^{2}\cdot s^{-2}}$
• $M_{\odot }=1.98844\times 10^{30}\,\mathrm {kg}$

ve güneş kütlesine göre ifade edilen yıldız kütlesi M, $$M_{x}={\frac {M}{M_{\odot }}},$$

Bu durumda, bir nötron yıldızının göreli kesirsel bağlanma enerjisi:

$$BE={\frac {885.975\,M_{x}}{R-738.313\,M_{x}}}$$

Ayrıca bakınız

• Stres-enerji tensörü