Hanner eşitsizlikleri

Matematiğin bir alt dalı olan analizde, özellikle fonksiyonel analizde, Hanner eşitsizlikleri p ∈ (1, +∞) için L^p uzaylarının düzgün dışbükeyliğini kanıtlamada kullanılan eşitsizliklerdir. Bu eşitsizliklerle daha önce James Clarkson tarafından 1936 yılında kanıtlanan kanıtlar daha kolay hâle gelmiştir. Eşitsizlikler Olof Hanner'in adını taşımaktadır.

Eşitsizliklerin ifadesi

E bir ölçü uzayı ve f, g ∈ L^p(E) olsun. Eğer p ∈ [1, 2] ise, o zaman

$\|f+g\|_{p}^{p}+\|f-g\|_{p}^{p}\geq {\big (}\|f\|_{p}+\|g\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|f\|_{p}-\|g\|_{p}{\big |}^{p}.$

olur.

F = f + g ve G = f − g alınarak Hanner eşitsizliklerinin ikincisi elde edilir:

$2^{p}{\big (}\|F\|_{p}^{p}+\|G\|_{p}^{p}{\big )}\geq {\big (}\|F+G\|_{p}+\|F-G\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|F+G\|_{p}-\|F-G\|_{p}{\big |}^{p}.$

p ∈ [2, +∞) için, eşitsizlikler tersine döner ama kesin eşitsizlik yoktur (küçük eşittir işareti korunur). $p=2$ için, eşitsizlikler eşitlik hâlini alır ki her ikisi bu durumda paralelkenar yasası olur.

Ayrıca bakınız

• Clarkson eşitsizlikleri