Düzgün dışbükey uzay

Matematikte düzgün dışbükey uzay yansımalı Banach uzaylarının en yaygın örneklerindendir. Kavram, James A. Clarkson tarafından 1936 yılında tanımlanmıştır.^[1]

Tanım

Bir düzgün dışbükey uzay, her $0<\varepsilon \leq 2$ için

\|x\|=1,\|y\|=1,\|x-y\|\geq \varepsilon \implies \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta

ifadesinin doğru olmasını sağlayan bir $\delta >0$ sayısının varolduğu normlu bir uzaydır. Sezgisel bir bakışla, bu tür uzaylarda, birim yuvardaki her doğru parçasının orta noktası, doğru parçası kısa olmadığı sürece birim yuvarın oldukça içerisinde yer almaktadır.

Özellikleri

Tanımdaki birim küre şartı kapalı birim yuvar ile değiştirilebilir. O zaman, düzgün dışbükey uzay tanımı, her $0<\varepsilon \leq 2$ için

\|x\|\leq 1,\|y\|\leq 1,\|x-y\|\geq \varepsilon \implies \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta

ifadesinin doğru olmasını sağlayan bir

\delta >0

sayısının varolduğu normlu bir uzay olarak yapılır.

Milman-Pettis teoremi her düzgün dışbükey Banach uzayının yansımalı olduğunu ifade eder; ancak, bunun tersi yönde ifade doğru değildir.
Her düzgün dışbükey Banach uzayı bir Radon-Riesz uzayıdır. Diğer deyişle, düzgün dışbükey bir Banach uzayındaki bir $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ dizisi bir $f$ elemanına zayıf yakınsıyorsa ve $\|f_{n}\|\to \|f\|$ norm yakınsaklığı da sağlanıyorsa, o zaman $f_{n}$ dizisi $f$ 'ye güçlü yakınsar; yani, $\|f_{n}-f\|\to 0$ olur.
Bir Banach uzayının düzgün duşbükey olması ancak ve ancak bu uzayın eşiz uzayı olan $X^{*}$ 'ın düzgün pürüzsüz uzay olmasıyla mümkündür.
Her düzgün dışbükey uzay aynı zamanda kesin dışbükeydir. Sezgisel olarak, kesin dışbükeylik üçgen eşitsizliğinin doğrusal bağımsız olan elemanlar için güçlü bir şekilde sağlanması anlamına gelmektedir; diğer deyişle, $x,y$ doğrusal bağımsız olan elemanlarsa, $\|x+y\|<\|x\|+\|y\|$ sağlanmaktadır. Düzgün dışbükeylikte ise bu özellik doğrusal bağımsızlık koşuluna yer bırakmadan düzgün bir şekilde istenmektedir.

Örnekler

Her iç çarpım uzayı düzgün dışbükeydir.^[2]
Düzgün dışbükey Banach uzaylarının kapalı altuzayları yine düzgün dışbükeydir.
Clarkson eşitsizlikleri sayesinde, $1<p<\infty$ olmak üzere, L^p uzayları düzgün dışbükeydir. Ancak, $L^{\infty }$ düzgün dışbükey uzay değildir.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

^ Clarkson, J. A. (1936). "Uniformly convex spaces". Trans. Amer. Math. Soc. 40 (3). American Mathematical Society. ss. 396-414. doi:10.2307/1989630. JSTOR 1989630. .
^ Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. 2nci. Boca Raton, FL: CRC Press. s. 524, Example 16.2.3. ISBN 978-1-58488-866-6.

Genel kaynaklar

Hanner, O. (1956). "On the uniform convexity of $L^{p}$ and $l^{p}$ ". Ark. Mat. Cilt 3. ss. 239-244. doi:10.1007/BF02589410. .
Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Introduction to Banach Spaces and their Geometry. İyileştirilmiş ikinci. North-Holland. ISBN 0-444-86416-4.
Per Enflo (1972). "Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm". Israel Journal of Mathematics. 13 (3–4). ss. 281-288. doi:10.1007/BF02762802.
Lindenstrauss, Joram and Benyamini, Yoav. Geometric nonlinear functional analysis. Colloquium publications, 48. American Mathematical Society.

[1] Clarkson, J. A. (1936). "Uniformly convex spaces". Trans. Amer. Math. Soc. 40 (3). American Mathematical Society. ss. 396-414. doi:10.2307/1989630. JSTOR 1989630. .

[2] Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. 2nci. Boca Raton, FL: CRC Press. s. 524, Example 16.2.3. ISBN 978-1-58488-866-6.

[1]

[2]