Vikipedi, özgür ansiklopedi
Matematikte Hankel dönüşümü , diğer adıyla Fourier–Bessel dönüşümü , herhangi bir f (r ) fonksiyonunu sonsuz sayıda birinci tip Bessel fonksiyonlarının Jν (kr )integral dönüşümü ilk kez matematikçi Hermann Hankel tarafından tasvir edilmiştir. Formülü ve ters dönüşümü sırasıyla şu şekilde verilebilir:[ 1]
F
ν
(
k
)
=
∫
0
∞
f
(
r
)
J
ν
(
k
r
)
r
d
r
{\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r}
f
(
r
)
=
∫
0
∞
F
ν
(
k
)
J
ν
(
k
r
)
k
d
k
{\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k}
Fourier dönüşümü ile Fourier serisi arasındaki ilişkinin benzeri Hankel dönüşümü ile Fourier-Bessel serisi arasında da vardır. Hankel dönüşümü iki boyutlu Fourier dönüşümünün dairesel olarak simetrik bir versiyonu olarak düşünülebilir; bu nedenle bu dönüşüm fizik ve mühendislikte silindirik veya dairesel simetrinin bulunduğu birçok problemde kullanılır.[ 2] [ 3]
Bazı yaygın Hankel dönüşümleri şu şekilde gösterilebilir:[ 4]
f
(
r
)
{\displaystyle f(r)}
F
0
(
k
)
{\displaystyle F_{0}(k)}
1
{\displaystyle 1}
δ
(
k
)
k
{\displaystyle {\frac {\delta (k)}{k}}}
1
r
{\displaystyle {\frac {1}{r}}}
1
k
{\displaystyle {\frac {1}{k}}}
r
{\displaystyle r}
−
1
k
3
{\displaystyle -{\frac {1}{k^{3}}}}
r
3
{\displaystyle r^{3}}
9
k
5
{\displaystyle {\frac {9}{k^{5}}}}
r
m
{\displaystyle r^{m}}
2
m
+
1
Γ
(
m
2
+
1
)
k
m
+
2
Γ
(
−
m
2
)
,
−
2
<
ℜ
(
m
)
<
−
1
2
{\displaystyle {\frac {2^{m+1}\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)}{k^{m+2}\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\quad -2<\Re (m)<-{\tfrac {1}{2}}}
1
r
2
+
z
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}
e
−
k
|
z
|
k
{\displaystyle {\frac {e^{-k|z|}}{k}}}
1
z
2
+
r
2
{\displaystyle {\frac {1}{z^{2}+r^{2}}}}
K
0
(
k
z
)
,
z
∈
C
{\displaystyle K_{0}(kz),\quad z\in \mathbf {C} }
e
i
a
r
r
{\displaystyle {\frac {e^{iar}}{r}}}
i
a
2
−
k
2
,
a
>
0
,
k
<
a
{\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}},\quad a>0,k<a}
1
k
2
−
a
2
,
a
>
0
,
k
>
a
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}},\quad a>0,k>a}
e
−
1
2
a
2
r
2
{\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}}
1
a
2
e
−
k
2
2
a
2
{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}e^{-{\tfrac {k^{2}}{2a^{2}}}}}
1
r
J
0
(
l
r
)
e
−
s
r
{\displaystyle {\frac {1}{r}}J_{0}(lr)e^{-sr}}
2
π
(
k
+
l
)
2
+
s
2
K
(
4
k
l
(
k
+
l
)
2
+
s
2
)
{\displaystyle {\frac {2}{\pi {\sqrt {(k+l)^{2}+s^{2}}}}}K{\bigg (}{\sqrt {\frac {4kl}{(k+l)^{2}+s^{2}}}}{\bigg )}}
−
r
2
f
(
r
)
{\displaystyle -r^{2}f(r)}
d
2
F
0
d
k
2
+
1
k
d
F
0
d
k
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}}
f
(
r
)
{\displaystyle f(r)}
F
ν
(
k
)
{\displaystyle F_{\nu }(k)}
r
s
{\displaystyle r^{s}}
2
s
+
1
k
s
+
2
Γ
(
1
2
(
2
+
ν
+
s
)
)
Γ
(
1
2
(
ν
−
s
)
)
{\displaystyle {\frac {2^{s+1}}{k^{s+2}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}}
r
ν
−
2
s
Γ
(
s
,
r
2
h
)
{\displaystyle r^{\nu -2s}\Gamma (s,r^{2}h)}
1
2
(
k
2
)
2
s
−
ν
−
2
γ
(
1
−
s
+
ν
,
k
2
4
h
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)}
e
−
r
2
r
ν
U
(
a
,
b
,
r
2
)
{\displaystyle e^{-r^{2}}r^{\nu }U(a,b,r^{2})}
Γ
(
2
+
ν
−
b
)
2
Γ
(
2
+
ν
−
b
+
a
)
(
k
2
)
ν
e
−
k
2
4
1
F
1
(
a
,
2
+
a
−
b
+
ν
,
k
2
4
)
{\displaystyle {\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{2\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }e^{-{\frac {k^{2}}{4}}}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)}
r
n
J
μ
(
l
r
)
e
−
s
r
{\displaystyle r^{n}J_{\mu }(lr)e^{-sr}}
Eliptik integraller ile gösterilebilir.[ 5]
−
r
2
f
(
r
)
{\displaystyle -r^{2}f(r)}
d
2
F
ν
d
k
2
+
1
k
d
F
ν
d
k
−
ν
2
k
2
F
ν
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{\nu }}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{\nu }}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}F_{\nu }}
