Fuhrmann üçgeni

Fuhrmann üçgeni (kırmızı): $\triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }$
yayların orta noktaları: $M_{a},M_{b},M_{c}$

Fuhrmann üçgeni (kırmızı): $\triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }$
$\triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }\sim \triangle M_{a}M_{b}M_{c}$

Adını Wilhelm Fuhrmann (1833-1904)'dan alan Fuhrmann üçgeni, verilen rastgele bir üçgene dayanan özel bir üçgendir.

Verilen bir $\triangle ABC$ üçgeni ve üçgenin çevrel çemberi için üçgen kenarları üzerindeki yayların orta noktaları $M_{a},M_{b},M_{c}$ ile gösterilir. Bu orta noktalar, ilgili üçgen kenarlarında yansıyarak $M_{a}^{\prime },M_{b}^{\prime },M_{c}^{\prime }$ noktaları elde edilir ve bu da Fuhrmann üçgeni'ni oluşturur.

Fuhrmann üçgeninin çevrel çemberi, Fuhrmann çemberidir. Ayrıca Furhmann üçgeni yay orta noktalarının oluşturduğu üçgene benzer, yani $\triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }\sim \triangle M_{a}M_{b}M_{c}$'dir. Fuhrmann üçgeninin alanı için aşağıdaki formül geçerlidir:

$|\triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }|={\frac {(a+b+c)|OI|^{2}}{4R}}={\frac {(a+b+c)(R-2r)}{4}}$

Burada $O$ verilen $\triangle ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezini ve $R$ ise dış yarıçapı, $I$ iç teğet çemberinin merkezi ve $r$ ise iç yarıçapı gösterir. Euler teoremine göre ayrıca $|OI|^{2}=R(R-2r)$ eşitliği vardır. Fuhrmann üçgeninin kenarları için aşağıdaki denklemler geçerlidir:

$a^{\prime }={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a+b+c)}{bc}}}|OI|$

$b^{\prime }={\sqrt {\frac {(a-b+c)(a+b+c)}{ac}}}|OI|$

$c^{\prime }={\sqrt {\frac {(a+b-c)(a+b+c)}{ab}}}|OI|$

Burada $a,b,c$ verilen $\triangle ABC$ üçgeninin kenarlarını ve $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ Fuhrmann üçgeninin kenarlarını gösterir (çizime bakınız).