Feynman-Kac formülü

Matematiğin bir alt dalı olan stokastik analizde ve kısmî diferansiyel denklemlerde Feynman-Kac formülü ya da Feynman-Kac teoremi, parabolik kısmî diferansiyel denklemler ile stokastik süreçler arasında bir bağlantı kuran önemli bir teoremdir. Formül adını, fizikçi Richard Feynman ve matematikçi Mark Kac'tan almıştır.

Formül, stokastik bir sürecin rastgele yolaklarını simüle ederek belirli kısmi diferansiyel denklemleri çözme yöntemi sunar. Aksi yönde ise stokastik süreçlerin beklentilerinin önemli bir sınıfı deterministik yöntemlerle hesaplanabildiği elde edilir.

Tarihçe

Mark Kac ile Richard Feynman 1940lı yılların sonuna doğru Cornell Üniversitesi'nde çalışmaktaydılar. 1947 yılında, Kac, Feynman'ın bir sunumuna katıldı ve ikisinin de aynı şey üzerinde farklı yönlerden çalıştıklarını belirten bir yorum yaptı. Yapılan işbirliğinden, Feynman-Kac formülü ortaya çıktı ve bu formül, Feynman yol integrallerini gerçel değerli hâlde kesin olarak kanıtladı. Bir parçacığın spini dahil edildiğinde oluşan karmaşık durum ise hâlen açık bir sorudur.

Formülün ifadesi

$T$ bir parametre olmak üzere, $\mu :[0,T]\times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$, $\sigma :[0,T]\times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ ve $\psi :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ fonksiyonları bilinen fonksiyonlar olsun. Her $x\in \mathbb {R} ^{d}$ ve $t\in [0,T]$ için, $${\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial t}}(t,x)+\mu (t,x){\frac {\partial F}{\partial x}}(t,x)+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(t,x){\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}(t,x)&=0,\\F(T,x)&=\psi (x),\end{aligned}}$$ sınır değer probleminin çözümünün $F$ olduğunu varsayalım. $\{W_{t}\}_{t\geq 0}$ bir $\mathbb {P}$ olasılık ölçüsü altında standard Brown hareketi olmak üzere, $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ ile

$dX_{t}=\mu (t,X_{t})dt+\sigma (t,X_{t})dW_{t},\quad 0\leq t\leq T$

stokastik diferansiyel denkleminin çözümü gösterilsin. Eğer

$\int _{0}^{T}\mathbb {E} \left[(\sigma (s,X_{s}){\frac {\partial F}{\partial x}}(s,X_{s}))^{2}\right]ds<\infty$

ise, o zaman

$F(t,x)=\mathbb {E} ^{P}\left[\psi (X_{T})\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]$

olur.

Ayrıca bakınız

• Ito önsavı
• Kunita-Watanabe eşitsizliği
• Girsanov teoremi
• Geri Kolomogorov denklemi
• İleri Kolomogorov denklemi (Fokker-Planck denklemi olarak da bilinir.)
• İstatiksel mekanik